高中数学第三章3.1导数3.1.2瞬时速度与导数3.1.3导数的几何意义课堂探究新人教选修.docx

3.1.2 瞬时速度与导数 3.1.3 导数的几何意义课堂探究探究一 求导数求函数在点x0处的导数就是求该点的函数值的改变量与自变量的改变量的比的极限，求解过程中要注意对式子的变形和约分，变形不彻底可能会导致不存在，得出错误结论【典型例题1】 已知函数y，求y，y|x1.思路分析：按求导数的步骤求解即可，但要注意变形的技巧解：因为y，所以 .所以y .所以y|x1.点评 函数的导数与在点x0处的导数不是同一概念，在点x0处的导数是函数的导数在xx0处的函数值分子有理化是解决本题的一种重要的变形技巧，要认真体会探究二 利用导数求曲线的切线方程求曲线上某点(x0，y0)处的切线方程，需要先求出f(x0)，即切线的斜率，再用点斜式写出切线方程后化简，但要注意分清“求曲线yf(x)上过点M的切线”与“求曲线yf(x)上在点M处的切线”两者的不同【典型例题2】 如图，已知曲线yx3上一点P，求：(1)点P处的切线方程(2)满足斜率为1的曲线的切线方程思路分析：(1)先利用导数的几何意义求斜率，然后写出切线方程(2)设出切点坐标，利用斜率求出切点坐标，从而得切线方程解：因为yf(x)x3，所以yx2.(1)因为y|x24，所以在点P处的切线方程为y4(x2)，即12x3y160.(2)设切点坐标为M，由于切线斜率k，则1，x01，那么切点坐标M或M，所以所求切线方程为yx1或yx1，即xy0或xy0.探究三 导数几何意义的应用(1)与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题(2)与导数的几何意义相关的综合问题解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切点，切点的坐标是常设的未知量【典型例题3】 已知点M(0，1)，F(0,1)，过点M的直线l与曲线yx34x4在x2处的切线平行(1)求直线l的方程；(2)求以点F为焦点，l为准线的抛物线C的方程思路分析：要求直线l的方程，只需求y|x2，要求抛物线C的方程，可以利用抛物线的定义求解解：(1)设曲线yf(x)，因为y|x2 0，所以直线l的斜率为0，其方程为y1.(2)因为抛物线以点F(0,1)为焦点，y1为准线，所以可设抛物线方程为x22py，则有1，p2.故抛物线C的方程为x24y.探究四 易错辨析易错点混淆切点与切线经过的点【典型例题4】 试求过点P(3,5)且与曲线yx2相切的直线的方程错解：因为函数yx2的导数为y2x，所以y|x3236.所以切线方程为y56(x3)，即y6x13.错因分析：没有注意到点P不在曲线上，点P不是切点，错解中把点P当成了切点，从而导致错误正解：直线的斜率不存在时显然不成立函数yx2的导数为y2x.设所求切线的切点为A(x0，y0)，则y0x20，切线斜率为y|xx02x0.因为切线过P(3,5)和A(x0，y0)两点，所以其斜率为，所以2x0，解得x01或x05，从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)当切点为(1,1)时，切线的斜率为2x02；当切点为(5,25)时，切线的斜率为2x010.所以所求切线有两条，方程分别为y12(x1)或y510(x3)，即y2x1或y10x25.点评 求曲线上在点P处的切线与过点P的切线有区别，在点P处的切线，点P必为切点；求过点P的切