2018_2019版高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一第2课时基本不等式学案新人教A版.docx

第2课时基本不等式学习目标1.理解并掌握重要不等式(定理1)和基本不等式(定理2).2.能运用这两个不等式解决函数的最值或值域问题，能运用这两个不等式证明一些简单的不等式.3.能运用基本不等式(定理2)解决某些实际问题知识点基本不等式思考回顾a2b22ab的证明过程，并说明等号成立的条件答案a2b22ab(ab)20，即a2b22ab，当且仅当ab时，a2b22ab.梳理(1)重要不等式定理1：如果a，bR，那么a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立(2)基本不等式定理2：如果a，b0，那么，当且仅当ab时，等号成立 .定理2的应用：对两个正实数x，y，()如果它们的和S是定值，则当且仅当xy时，它们的积P取得最大值；()如果它们的积P是定值，则当且仅当xy时，它们的和S取得最小值.类型一不等式的证明例1已知a，b，cR，且abc1.求证：9.证明方法一a，b，c为正实数，且abc1，3332229，当且仅当abc时，等号成立9.方法二a，b，cR，且abc1，(abc)111332229，当且仅当abc时，等号成立9.引申探究1若本例条件不变，求证：1.证明a2b22ab，2ab.同理，2bc，2ca.(2ab)(2bc)(2ca)abc1，1.2若本例条件不变，求证：.证明a2b22ab，2(a2b2)(ab)2.又a，b，cR，|ab|(ab)同理，(bc)，(ac)三式相加，得(abc)，当且仅当abc时取等号反思与感悟用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明跟踪训练1(1)已知a，b，c，dR，求证：(abcd)(acbd)4abcd；(2)已知a0，b0且ab1，求证：9.证明(1)a，b，c，d，R，abcd2，acbd2，(abcd)(acbd)4abcd.当且仅当ad且bc时取等号(2)4215229，当且仅当ab时取等号9.类型二利用基本不等式求最值例2(1)设x0，y0且2xy1，求的最小值；(2)若x0，求f(x)3x的最大值解(1)1(2xy)442448，当且仅当，即x，y时，等号成立，的最小值是8.(2)x0，x0, 故f(x)212，当且仅当3x，即x2时，等号成立，f(x)的最大值是12.反思与感悟在应用基本不等式求最值时，分以下三步进行(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值(2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取1变为同正(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数的单调性或导数解决跟踪训练2若实数a，b满足，则ab的最小值为()A.B2C2D4答案C解析因为，所以a0，b0，因为2 2，所以ab2(当且仅当b2a时取等号)，所以ab的最小值为2.类型三利用基本不等式解决实际应用问题例3某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2019年大型展销会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x(万件)与年促销费用t(万元)之间满足3x与t1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2019年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完(1)将2019年的利润y(万元)表示为促销费用t(万元)的函数；(2)该企业2019年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？解(1)由题意可设3x(k0)，将t0，x1代入，得k2.x3.当年生产x万件时，年生产成本年生产费用固定费用，年生产成本为32x3323.当销售x(万件)时，年销售收入为150%t.由题意，生产x万件化妆品正好销售完，由年利润年销售收入年生产成本促销费用，得年利润y(t0)(2)y50502 50242，当且仅当，即当t7时，等号成立，ymax42，当促销费用定在7万元时，年利润最大反思与感悟利用不等式解决实际应用问题时，首先要仔细阅读题目，弄清要解决的实际问题，确定是求什么量的最值；其次，分析题目中给出的条件，建立y的函数表达式yf(x)(x一般为题目中最后所要求的量)；最后，利用不等式的有关知识解题求解过程中要注意实际问题对变量x的范围制约跟踪训练3围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x(单位：m)，总费用为y(单位：元)(1)将y表示为x的函数；(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用解(1)如题图所示，设矩形的另一边长为a m.则y45x180(x2)1802a225x360a360.由已知xa360，得a，y225x360(x2)(2)x2，225x2210 800.y225x36010 440，当且仅当225x，即当x24时等号成立，此时修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元1下列不等式中，正确的个数是()若a，bR，则；若xR，则x222；若xR，则x212；若a，bR，则.A0B1C2D3答案C解析显然不正确；正确；对，虽然x22无解，但x222成立，故正确；不正确，如a1，b4.2已知a0，b0，a，b的等差中项是，且a，b，则的最小值是()A3B4C5D6答案C解析ab21，a0，b0，ab115，当且仅当ab时取“”号3下列不等式的证明过程正确的是()A若a，bR，则22B若x0，则cosx22C若x0，则x24D若a，bR，且ab0，则22答案D解析对于A，a，b必须同号；对于B，cos x不一定大于0；对于C，由x0，得x2 4.对于D，由ab0，得0，0，所以22.4当x1时，函数yx的最小值是_答案3解析因为x1，所以yx(x1)1213，当且仅当x1，且x1，即x2时等号成立故函数的最小值为3.5已知a0，b0，且ab1.求证：a2b2.证明a2b22ab，2(a2b2)a2b22ab(ab)21，a2b2，当且仅当ab时，等号成立1对于基本不等式的应用，如果能熟练掌握一些常见结论，可使应用更加灵活快捷(1)ab2.(2)(a，bR)(3)2(a，b同号)(4)(ab)4(a，bR)(5)a2b2c2abbcca.2利用基本不等式求最值，关键是对式子进行恰当的变形，合理构造“和式”与“积式”的互化，必要时可多次应用基本不等式注意一定要求出使“”成立的自变量的值，这也是进一步检验是否存在最值的重要依据一、选择题1设a0，b0，若是3a与3b的等比中项，则的最小值为()A8B4C1D.答案B解析是3a与3b的等比中项，3a3b3ab3，ab1.(ab)24.当且仅当ab时，等号成立2若log4(3a4b)log2，则ab的最小值是()A62B72C64D74答案D解析由题意得所以又log4(3a4b)log2，所以log4(3a4b)log4ab，所以3a4bab，故1.所以ab(ab)772 74，当且仅当时取等号故选D.3已知a0，b0，则2的最小值为()A2B2C4D5答案C解析a0，b0，2224，当且仅当ab时，等号成立4对于x，不等式16恒成立，则p的取值范围为()A(，9) B(9,9C(，9 D9，)答案D解析要使16恒成立，必有p0.又(sin2xcos2x)1p1p2(1)2，当且仅当sin2xcos2x时，等号成立(1)216，即14，3，p9.5下列说法中，正确的个数是()函数yx的最小值是2；函数ycosx的最小值为6；若正数a，b满足2ab2，则ab的最大值为.A0B1C2D3答案B解析当x0时，yx2，当且仅当x，即x1时，等号成立，当x0时，y(x)2，当且仅当x，即x1时，等号成立，所以y2，所以错误；由x，得cos x(0,1)，所以ycos x10，所以错误；由22ab2，得ab，当且仅当a，b1时，等号成立，所以正确6某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站()A5千米处B4千米处C3千米处D2千米处答案A解析由已知y1，y20.8x(x为仓库到车站的距离)费用之和yy1y20.8x28.当且仅当0.8x，即x5时等号成立二、填空题7若a0，b0，ab1，则的最小值是_答案9解析因为1.由a0，b0，ab1，得ab2，所以4，所以9，当ab时取等号8已知x0，y0且满足xy6，则使不等式m恒成立的实数m的取值范围为_答案解析因为x0，y0，(106).当且仅当时等号成立，又xy6，x0，y0，得x，y.所以m的取值范围是.9已知x，y(0，)，2x3y，则的最小值为_答案3解析2x3y，x3y，即xy3.故(xy)23.10若正数a，b满足abab3，则ab的取值范围是_答案9，)解析令t(t0)，由abab323，得t22t3，所以t3或t1(舍去)，所以3，ab9，当ab3时取等号11函数y(x0)的最小值为_答案7解析y(x2)12 17.当且仅当x2，即x1时取等号当x1时，ymin7.三、解答题12(1)已知正数a，b满足a4b4，求的最小值；(2)求函数y的最大值解(1)因为a0，b0，且a4b4，所以(a4b)，当且仅当a，b时取等号，所以的最小值为.(2)令t(t)，则f(t)，当且仅当t2，即x时，取等号故y的最大值为.13如图，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，已知AB3m，AD2m.(1)要使矩形AMPN的面积大于32m2，则AN的长应在什么范围内？(2)当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求最小面积；(3)若AN的长度不小于6m，则当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积解(1)设ANxm(x2)，则ND(x2)m.，AM，x32，3x232x640，(3x8)(x8)0，2x或x8.AN的长的范围为(8，)(2)由(1)知，S矩形AMPN3(x2)1221224.当且仅当x4时取等号当AN的长度为4m时，矩形AMPN的面积最小，矩形AMPN的最小面积为24m2.(3)由(2)得S矩形AMPN3(x2)12(x6)，令x2t(t4)，则S矩形AMPN3t12(t4)设f(t)3t12(t4)，则f(t)3，当t4时，f(t)0，函数f(t)在4，)上单调递增，f(t)minf(4)27，此时x6.若AN的长度不小于6m，则当AN的长度是6m时，矩形AMPN的面积最小，最小面积为27m2.四、探究与拓展