逆变换与逆矩、矩阵的特征向量.ppt

一、逆变换与逆矩阵 1设是一个线性变换，如果存在线性变换，使得 ，则称变换可逆，并且称是的逆变换 2设A是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B，使 得， 则称矩阵A可逆，或称矩阵A是可逆矩阵，并且称B是A的 逆矩阵 =I BA=AB=E2 3逆矩阵的性质 性质1.设A是一个二阶矩阵，如果A是可逆的，则A的逆 矩阵是_的 性质2.设A，B是二阶矩阵，如果A，B都可逆，则AB也可 逆，且_ 唯一 （AB）-1 =B-1A-1 4定理：二阶阶矩阵阵A 可逆，当且_ detA=ad-bc0 二、逆矩阵与二元一次方程组 1定理：如果关于变量x，y的二元一次方程组 (线性方程组)的系数矩阵A 可逆，那么该方程 组有唯一解 2推论：关于变量x，y的二元一次方程组 其中a，b，c，d是不全为零的常数，有非零解的充 分必要条件是系数矩阵的行列式_ 三、特征向量定义 设矩阵A ，如果存在数以及非零向量， 使得 ，则称是矩阵A的一个特征值，是矩阵A 的属于特征值的一个特征向量 A= 四、特征向量的性质 设1，2是二阶矩阵A的两个不同特征值，1，2是矩阵 A的分别属于特征值1，2的特征向量，对于任意的非 零平面向量，设t11t22(t1，t2为实数)，则对任 意的正整数n，有An . t11n 1+t22n2 1已知B 并且(AB)C 求矩阵阵A. 解：(AB)CA(BC)且BC 故A 2已知M ，求M4. 解：矩阵M的特征多项式为 f() 2230， 所以13，21， 对应的一个特征向量分别为 令m1n2，将具体数据代入有m4，n3， M4M4(4132) 4(M41)3(M42) 3给定矩阵A 求A的特征值1，2及对应特征向量1，2. 解：设A的一个特征值为，由题意知： 即(2)(3)0，解得12，23， 当12时，由 得A属于特征值2的一个特征向量 1 当23时，由 得A属于特征值3的一 个特征向量2 4(2009前黄高级中学高三调研)已知二阶矩阵M有特征值 8及对应的一个特征向量e1 ，并且矩阵M对应 的变换将点(1,2)变换成(2,4) (1)求矩阵M； (2)求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量e2 的坐标之间的关系 解：(1)设M 故 故 联立以上两方程组解得a6，b2， c4，d4， 故M (2)由(1)知，矩阵M的特征多项式为 f()(6)(4)8 21016， 故另一个特征值为2. 设矩阵M的另一个特征向量是e2 ，则Me2 解得2xy0. 1逆矩阵的求法有两种： 一是利用待定系数法 二是利用公式法即当A 时， 有A-1= 2若A，B两个矩阵均存在可逆矩阵时，则有(AB)1B1 A1；若A，B，C为二阶矩阵且A可逆，则当ABAC时， 有BC，即此时矩阵乘法的消去律成立 已知A ，求A1. 求逆矩阵有两种方法.一是利用待定系数法.二是利用 公式法. 解：法一：利用待定系数法 设A1 则 故 矩阵A的逆矩阵A1 . 法二：直接代入公式法 detA3(2)2(4)2 A1 . 1已知A ，试判断变换矩阵A是否可逆，如 果可逆，求矩阵A的逆矩阵A1；如不可逆，请说明 理由 解：detA221(1)50，所以变换矩阵A是可逆的 设矩阵A的逆矩阵为 则 故解得 故变换矩阵A的逆矩阵为 .A-1= 1关于变量x，y的二元一次方程组 (其中a， b，c，d均为常数)写成矩阵形式可以表达成 2如果矩阵A 可逆，则方程组的解可以表达成 用逆矩阵方法求二元一次方程组 的解 首先把方程组表示成矩阵方程，然后求系数矩阵的逆矩阵 ，最后求方程的解. 解：已知方程可以写为： 令M 其行列式 13 (2)90. M1 即方程组的解为 2(2010福州预测卷)用矩阵方法求二元一次方程组 的解 解：已知方程组可以写为 令M 其行列式为： 213(5)170， 所以M1 所以 即方程的解为 1关于特征值问题的一般解法如下： 给定矩阵A ，向量 ，若有特征值， 则 即 即2(ad)(adbc)0. 2对于矩阵来说，矩阵的一个特征向量只是属于A的一 个特征值；属于矩阵A的不同特征值的特征向量相互之 间一定不共线，若是矩阵A的属于特征值的一个特征 向量，则对任意的非零常数k，k也是矩阵A的属于特 征值的特征向量 已知aR，矩阵A 对应的线性变换把 点P(1,1)变成点P(3,3)，求矩阵A的特征值以及属于每个特 征值的一个特征向量 先利用一般解法求出特征值1、2，然后求出相应 的特征向量. 解：由 ，得 a13，a2. 矩阵A的特征多项式为 f() (1)(3) 令f()0，得矩阵A的特征值11，23. 对于特征值11，解相应的线性方程组 因此，1 是矩阵A的属于特征值11的一个特征 向量 对于特征值23，解相应的线性方程组 因此，2 是矩阵A的属于特征值23的一个特征 向量 3求出矩阵阵A 的特征值值和特征向量 解：矩阵A的特征多项式为 令f()0得A的特征值为1或1， 将1代入二元一次方程组得 解得y0. 令xk，kR且k0， 于是矩阵A的属于特征值1的一个特征向量为 ，同理 可得矩阵A的属于特征值1的一个特征向量为 . 逆矩阵的求法以及矩阵的特征值与特征向量，也是 高考新增内容之一.在考查中，多考查矩阵的逆矩阵的求 法及特征值特征向量的求法问题，难度不大，如2009年江 苏高考21题.福建高考21题都考查了此热点内容. (2009福建高