平面问题的直角坐标解答.ppt

第三章 平面问题的直角坐标解答 本章要点：利用第二章得出的基本方程， 求解平面问题在直角坐标下的解答。 主要包括以下主要内容： 1. 逆解法与半逆解法； 2. 多项式解答； 3. 位移分量的求出； 4. 简支梁受均布荷载； 5. 楔形体受重力和液体压力； 第三章 平面问题的直角坐标解答 3-1 逆解法与半逆解法 (1) 平衡微分方程解的形式 常体力下问题的基本方程： 边界条件、位移单值条件。 (a ) (b ) 式(a)为非齐次方程，其解： 全解 = 齐次方程通解 +非齐次方程的特解。 1. 特解 常体力下特解形式： (1 ) (2 ) (3 ) 2. 通解 式(a) 的齐次方程： (c) (d ) 的通解。 第三章 平面问题的直角坐标解答 3-1 逆解法与半逆解法 (1) 平衡微分方程解的形式 (d ) 将式(d)第一式改写为 (e ) (f ) 由微分方程理论，必存在 一函数 A(x,y)，使得 同理，将式(d)第二式改写为 (g ) (h ) 比较式( f )与(h)，有 也必存在一函数 B(x,y)，使得 第三章 平面问题的直角坐标解答 3-1 逆解法与半逆解法 (1) 平衡微分方程解的形式 由微分方程理论，必存在 一函数 (x,y)，使得 (i ) (j ) 将式 (i)、(j) 代入 (e)、(f) 、(g)、(h)，得通解 (k) 3. 全解 取特解为： 则其全解为： (3-1) 常体力下平衡方程（常体力下平衡方程（a a）的全解。的全解。 由式(3-1)看：不管(x,y) 是什么函数，都能满足平衡 方程。 (x,y) 平面问题的应力函数 Airy 应力函数 第三章 平面问题的直角坐标解答 3-1 逆解法与半逆解法 (2) 相容方程的应力函数表示 (3-1) 将式(3-1)代入常体力下的相容方程得： 注意到体力 X、 Y 为常量，有 将上式展开，有 (3-2) 应力函数表示的相容方程应力函数表示的相容方程给出了应力函数满足的条件。 第三章 平面问题的直角坐标解答 3-1 逆解法与半逆解法 (2) 相容方程的应力函数表示 (3-2) 式(3-2)可简记为：或： 式中： 满足方程(3-2)的函数(x,y) 称为重调和函数(或双调和函 数)。 按应力求解平面问题(X 、Y = 常量)的归结为： 先由方程（3-2）求出应力函数： 然后将 代入式（3-1）求出应力分量： 1. 2. 第三章 平面问题的直角坐标解答 3-1 逆解法与半逆解法 (3) 应力函数求解方法 1. 逆解法 （1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等）， 假设各种满足相容方程（2-27）的(x,y) 的形式； （2）然后利用应力分量计算式（2-26），求出 （具有待 定系数）； （3）再利用应力边界条件式（2-18），来考察这些应力函数(x,y) 对 应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数(x,y) 可以求 解什么问题。 （1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等）， 假设部分应力分量 的某种函数形式 ； （2）根据 与应力函数(x,y)的关系及 ，求 出(x,y) 的形式； （3）最后利用式（2-26）计算出 并让其满足边界条件和 位移单值条件。 2. 半逆解法 第三章 平面问题的直角坐标解答 3-2 多项式解答 (1) 一次多项式 多项式解答的适用于由一些直线边界构成的弹性体。 多项式解答的目的：考察一些简单多项式函数作为应力 函数(x,y) ，能解决什么样的力学问题。 2. 检验(x,y) 是否满足双调和方程： 显然(x,y) 满足双调和方程，因而可作为应力函数。 3. 对应的应力分量： 若体力：X = Y =0，则有： 1. 设其中： a、b、c 为待定系数。 在该函数(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。 对应于无体力和 无应力状态； 第三章 平面问题的直角坐标解答 3-2 多项式解答 (2) 二次多项式 .其中： a、b、c 为待定系数。 (设X =Y = 0 ; a 0 , b 0, c 0) 检验(x,y) 是否满足双调和方程，显然有. (可作为应力函数) . 由式（2-26）计算应力分量： x y 2c2c 2a 2a 结论：二次多项式对应 于均匀应力分布。 第三章 平面问题的直角坐标解答 3-2 多项式解答 (3) 三次多项式 1. 其中: a、b、c 、d 为待定系数。 检验(x,y) 是否满足双调和方程，显然有2. 可作为应力函数 (假定：X =Y = 0)3. 由式（2-26）计算应力分量： 结论：三次多项式对应于线性应力分布。 讨论 ： 可算得： x y 1 ll 图示梁对应的边界条件： M M 可见： 对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力分布。 常数 d 与弯矩 M 的关系： (1)由梁端部的边界条件： (2) 此结果与材力中结果相同，说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。 第三章 平面问题的直角坐标解答 3-2 多项式解答 (3) 三次多项式 第三章 平面问题的直角坐标解答 3-3 位移分量的求出 (1) 形变分量 本节以纯弯曲梁为例，说明如何由个应力分量求出形 变分量、位移分量。 由前节可知： 平面应力下的物理方程如下： l 1 h M M (a) 将(a)代入物理方程得： (b) 第三章 平面问题的直角坐标解答 3-3 位移分量的求出 (2) 位移分量 将(b)式代入几何方程得： 将(c)式前两式积分得： 式中 为未知函数 将(d)代入(c)式第三式知： (c) (b) (d ) 几何方程 第三章 平面问题的直角坐标解答 3-3 位移分量的求出 (2) 位移分量 上式左边仅为 x 的函数的函数，右边仅为y的函数，要使 之相等，则 (e)积分左式，得 将上边右式代入式（d），得 (f) 式中：为常数。 第三章 平面问题的直角坐标解答 3-3 位移分量的求出 (2) 位移分量 讨论： 式中：u0、v0、 由位移边界条件确定。 当 x = x0 =常数 u 关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角。 说明： 同一截面上的各铅垂 线段转角相同。 横截面保持平面 材力中“横截面保持平面”的假设成立。 (f) l 1 h M M 第三章 平面问题的直角坐标解答 3-3 位移分量的求出 (2) 位移分量 上式第二式求二阶导数得： (f) 说明：在微小位移下，梁纵向纤维的曲率相同。即 材料力学中挠曲线微分方程。 第三章 平面问题的直角坐标解答 3-3 位移分量的求出 (3) 位移边界条件的利用 1. 两端简支 (f) 如右图其边界条件： 将其代入(f)式，有 将其代回(f)式，有 (3-3) 梁的挠曲线方程： 与材力中结果相同 第三章 平面问题的直角坐标解答 3-3 位移分量的求出 (3) 位移边界条件的利用 2. 悬臂梁 (f) h/2 h/2 边界条件 由式（f）可知，此边界条件无法满足。 边界条件改写为： 代入式（f），有 可求得： 则 第三章 平面问题的直角坐标解答 3-3 位移分量的求出 (3) 位移边界条件的利用 2. 悬臂梁 由前面得出的结论有 则挠曲线方程： 与材料力学得出的结论一致。 h/2 h/2 (3-4) 注：平面应变问题只要将式中 的 换成 即可 第三章 平面问题的直角坐标解答 3-4 简支梁受均布荷载 (1) 应力函数的确定 分析： ll ql ql 1 y z h/2 h/2 q 主要由弯矩引起； 主要由剪力引起； 由 q 引起（挤压应力）。 又 q =常数，图示坐标系和几何对称， 不随 x 变化。则 由应力分量表达式确定应力函数 的形式： 积分得： (a ) (b ) 任意的待定函数 第三章 平面问题的直角坐标解答 3-4 简支梁受均布荷载 (1) 应力函数的确定 ll ql ql 1 y z h/2 h/2 q (a ) (b ) 任意的待定函数 由 确定： 代入相容方程： 第三章 平面问题的直角坐标解答 3-4 简支梁受均布荷载 (1) 应力函数的确定 ll ql ql 1 y z h/2 h/2 q 方程的特点： 关于 x 的二次方程，且要求 l x l 内方程均成立。 由“高等代数”理论，须有x 的一、二次的系数、自由项同时为零。即： 对前两个方程积分： 此处略去了f1(y)中的常数项 对第三个方程得： 积分得： (d ) (c ) 第三章 平面问题的直角坐标解答 3-4 简支梁受均布荷载 (1) 应力函数的确定 (e ) ll ql ql 1 y z h/2 h/2 q (c ) (d) (a ) (b ) 将(c) (d) 代入 (b) ，有 式中含有9个待定常数。 第三章 平面问题的直角坐标解答 3-4 简支梁受均布荷载 (2) 应力分量的确定 由上式知： (e ) (f ) (g ) (h ) 第三章 平面问题的直角坐标解答 3-4 简支梁受均布荷载 (3) 对称条件与边界条件的应用 x y ll ql ql 1 y z h/2 h/2 q 1. 对称条件的应用： 由 q 对称、几何对称： x 的偶函数 x 的奇函数 由此得： 要使上式对任意的 y 成立，须有： 第三章 平面问题的直角坐标解答 3-4 简支梁受均布荷载 (3) 对称条件与边界条件的应用 x y ll ql ql 1 y z h/2 h/2 q 2. 边界条件的应用： (a) 上下边界（主要边界）： 由此解得： 代入(f),(g),(h)式得 第三章 平面问题的直角坐标解答 3-4 简支梁受均布荷载 (3) 对称条件与边界条件的应用 x y ll ql ql 1 y z h/2 h/2 q 2. 边界条件的应用： (a) 上下边界（主要边界）： 代入应力公式得： ( i ) ( j ) ( k ) 第三章 平面问题的直角坐标解答 3-4 简支梁受均布荷载 (3) 对称条件与边界条件的应用 x y ll ql ql 1 y z h/2 h/2 q 2. 边界条件的应用： (b) 左右边界（次要边界）： 由于对称，只考虑右边界即可。 难以满足，需借助于圣维南原理。 静力等效 条件： 轴力 N = 0； 弯矩 M = 0； 剪力 Q = ql； 第三章 平面问题的直角坐标解答 3-4 简支梁受均布荷载 (3) 对称条件与边界条件的应用 x y ll ql ql 1 y z h/2 h/2 q 2. 边界条件的应用： (b) 左右边界（次要边界）： 可见剪力条件自动满足。 第三章 平面问题的直角坐标解答 3-4 简支梁受均布荷载 (3) 对称条件与边界条件的应用 x y ll ql ql 1 y z h/2 h/2 q 2. 边界条件的应用： (b) 左右边界（次要边界）： 将上式代入应力方程有： (p) 截面上的应力分布如下图： 第三章 平面问题的直角坐标解答 3-4 简支梁受均布荷载 (4) 与材料力学结果进行比较 x y ll ql ql 1 y z h/2 h/2 q (p) 截面宽：b=1 截面惯矩： 静矩： 弯矩： 剪力： 将上述参数代入式 ( p ) ，有 (3-6) 根据材料力学理论知 第三章 平面问题的直角坐标解答 3-4 简支梁受均布荷载 (4) 与材料力学结果进行比较 x y ll ql ql 1 y z h/2 h/2 q (3-5) 与材料力学公式比较，得： (1) 第一项与材力结果相同，为主要项。第二项为修正项。当 h / l1，该项误差很小，可略；当 h / l较大时，须修正。 (2) 为梁各层纤维间的挤压应力，材力中不考虑。 (3)与材力中相同。 说明式（3-5）在两端不适用。(4) 第三章 平面问题的直角坐标解答 3-4 简支梁受均布荷载 (5) 解题步骤小结 (1) (2) (3) 根据问题的条件：几何特点、受力特点、约束特点（面力分布规 律、对称性等），估计某个应力分量（ ）的变化形 式。 由 与应力函数 的关系式（2-26），求得应 力函数 的具体形式（具有待定函数）。 (4) (5) 将具有待定函数的应力函数 代入相容方程： 确 定 中的待定函数形式。 由 与应力函数 的关系式（2-26），求得应 力分量 。 由边界条件确定 中的待定常数。 用半逆解法求解梁、矩形长板类弹性力学平面问题的基本步骤： 第三章 平面问题的直角坐标解答 3-5 楔形体受重力和液体压力 (1) 应力函数与应力分量 1. 问题描述 设有楔形体，如右图，左面铅直， 右面与铅直面成角为，下端为无限长， 承受重力及液体压力，楔形体的密度为 ，液体的密度为，由此求应力分量。 x y O 分析： (a ) (b ) 由 推理得： 应力函数可假设为： 的量纲为：N/m3 的量纲为N/m2 的形式应为： 的线形组合。 应为x,y的三次函数。 第三章 平面问题的直角坐标解答 3-5 楔形体受重力和液体压力 (1) 应力函数与应力分量 应力函数为： 将应力函数代入应力方程 x y O 考虑到：X = 0，Y = （常体力）得 (a) 显然，上述应力函数满足相容方程。 第三章 平面问题的直角坐标解答 3-5 楔形体受重力和液体压力 (2) 边界条件 . x=0 （应力边界）： 代入式(a)，则应力分量为： (b ) x y O 第三章 平面问题的直角坐标解答 3-5 楔形体受重力和液体压力 (2) 边界条件 x y O 2. (应力边界)： 将(b)代入，有 其中： 解上式得 第三章 平面问题的直角坐标解答 3-5 楔形体受重力和液体压力 (2) 边界条件 x y O 2. (应力边界)： 代入式（b），有： (3-6) 李维（Levy）解答 沿水平方向的应力分布 与材力结果比较： 沿水平方向不变，在材力中无法求得。 沿水平方向线性分布，与材力中偏心受压 公式算得结果相同。 沿水平方向线性分布，材力中为抛物线分布。 第三章 平面问题的直角坐