若对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)f(x),则称f(x).ppt

1.若对对于函数 f(x) 定义义域内任意一个 x, 都有 f(-x)=f(x), 则则 称 f(x) 为为偶函数. 一、函数的奇偶性 2.若对对于函数 f(x) 定义义域内任意一个 x, 都有 f(-x)=-f(x), 则则 称 f(x) 为为奇函数. 二、简单性质 研究半个区间！ 1.奇函数的图象关于原点对称, 偶函数的图象关于 y 轴对称. 反之成立！ 2.单调性: 3.奇函数: f(0)=0(0 在定义域中), 偶函数: f(x)=f(|x|). 3.若函数 f(x) 不具有上述性质, 则称 f(x) 不具有奇偶性; 若 函数同时具有上述两条性质, 则 f(x) 既是奇函数, 又是偶函数. 例: 函数 f(x)=0(xD, D关于原点对称)是既奇又偶函数. 三、函数奇偶性的判定方法 1.根据定义判定: 首先看函数的定义域是否关于原点对称, 若不对称, 则函数 是非奇非偶函数; 若对称, 再判定 f(-x)=f(x) 或 f(-x)=-f(x). 2.利用定理, 借助函数的图图象判定: 3.性质法判定: 在公共定义域内, 两奇函数之积(商)为偶函数; 两偶函数之积(商)也为偶函数; 一奇一偶函数之积(商)为奇函数. (注意取商时分母不为零!) 有时判定 f(-x)=f(x) 比较困难, 可考虑判定 f(-x) f(x)=0 或判定 =1. f(x) f(-x) 四、函数的周期性 如果存在一个非零常数 T, 使得对对于函数定义义域内的任意 x, 都有 f(x+T)=f(x), 则则称函数 f(x) 为为周期函数, T 为为函数的一个周 期. 若f(x)的周期中, 存在一个最小的正数, 则则称它为为函数的最 小正周期. 五、典型例题 1.判断下列函数的奇偶性： 偶函数 奇函数 既奇又偶函数 非奇非偶函数 若周期函数 f(x) 的最小正周期为 T, 则 f(x)(0) 也为周 期函数, 且最小正周期为 . | T (1) f(x)= ; 2x (1+2x)2 (2) f(x)=lg(x+ x2+1); (3) f(x)=log2( 1-x2 + x2-1 +1); (4) f(x)=(1-x) ; 1-x 1+x 奇函数 (5) f(x)= ; |x+3|-3 lg(1-x2) 偶函数 (6) f(x)=x( + ). 3x-1 1 1 2 2.(1)设设函数 f(x) 的定义义域关于原点对对称, 判断下列函数的奇 偶性: F(x)= f(x)+f(-x); G(x)= f(x)-f(-x); 1 2 1 2 (2)试试将函数 y=2x 表示为为一个奇函数与一个偶函数的和. 3.设f(x)与g(x)分别为奇函数和偶函数, 若f(x)-g(x)=( )x, 比 1 2 较 f(1)、g(0)、g(-2) 的大小. 4.设函数 f(x) 的定义域关于原点对称, 且满足: 存在正常 数 a, 使 f(a)=1; f(x1- x2)= . 求证: (1) f(x) 是奇函 数; (2) f(x) 是周期函数, 并且有一个周期为 4a. f(x1)f(x2)+1 f(x2)-f(x1) f(1)g(0)g(-2) 偶函数 奇函数 y= (2x-2-x)+ (2x+2-x) 1 2 1 2 g(x)=- (2-x+2x). 1 2 f(x)= (2-x-2x), 1 2 f(a+x)=1- , f(x)+1 2 f(2a+x)=- , f(x) 1 f(4a+x)=f(x). 5.已知定义在 R 上的函数 y=f(x) 满足 f(2+x)=f(2-x), 且 f(x) 是偶函数, 当 x0, 2时, f(x)=2x-1, 求 x-4, 0时 f(x) 的表 达式. 6.若对任意的 xR, 都有 f(a+x)=f(a-x), 且 f(b+x)=f(b-x), 其 中 ba. 则 f(x) 是以 2(b-a) 为周期的周期函数. 8.已知 f(x) 是定义在 R 上的不恒为零的函数, 且对于任意的 a, bR 都满足: f(ab)=af(b)+bf(a). (1)求 f(0), f(1) 的值; (2)判断 f(x) 的奇偶性, 并证明你的结论. 9.已知 f(x) 是定义在 R 上的函数, 且对于任意的 a, bR 都 满足: f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b) 且 f(0)0. (1)求证: f(x)是偶函数; (2)若存在正数 m, 使 f(m)=0, 求满足 f(x+T)=f(x) 的一个 T(T0) 的值. f(x)= 2x+7 (-4x-2) -2x-1 (-21, f(2)=a, 则则( ) A. a2 B. a1 D. a0 时时的表达式为为 f(x)=2x - , 则 则当 x0 B. f(x)0 课堂练习 3.函数 f(x)= 的奇偶性是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 |x-2| 4-x2 D B C 4.已知 y=f(x-1) 是偶函数, 则 y=f(x) 的图象关于( ) A.直线 x+1=0 对称 B.直线 x-1=0 对称 C.直线 x- =0 对称 D. y 轴对称 1 2 A 5.奇函数 f(x) 在3, 7上是增函数, 在3, 6上的最大值为 8, 最小值为 -1, 则 2f(-6)+f(-3) 的值为( ) A. 5 B. -5 C. -13 D. -15 6.奇函数 f(x) 在-1, 0上是减函数, , 是锐角三角形的两 个内角, 且 , 则下列不等式中正确的是( ) A. f(cos)f(cos) B. f(sin)f(sin) C. f(cos)f(cos) D. f(sin)f(cos) D D 7.已知 f(x) 的图象关于直线 x=a 对称, 又关于点 (m, n) 对称, 其中 ma. 求证 f(x) 是以 4(a-m) 为周期的周期函数. 证: 由已知, f(x)=f(2a-x), 且 f(x)+f(2m-x)=2n, f