2019届江苏高考数学二轮复习第二篇第21练圆锥曲线的定义、方程与性质试题理.docx

第21练圆锥曲线的定义、方程与性质明晰考情1.命题角度：圆锥曲线的定义、方程与几何性质是高考考查的热点.2.题目难度：中等偏难.考点一圆锥曲线的定义及标准方程方法技巧(1)应用圆锥曲线的定义解题时，一定不要忽视定义中的隐含条件.(2)凡涉及椭圆或双曲线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到焦点距离，一般可以利用定义进行转化.(3)求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”.1.已知A(0,7)，B(0，7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是_.答案y21(y1)解析由两点间距离公式，可得AC13，BC15，AB14，因为A，B都在椭圆上，所以AFACBFBC，AFBFBCAC20，b0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则该双曲线的方程为_.答案1解析由e知ab，且ca.双曲线渐近线方程为yx.又kPF1，c4，则a2b28.故双曲线方程为1.3.已知抛物线yx2，A，B是该抛物线上两点，且AB24，则线段AB的中点P离x轴最近时点P的纵坐标为_.答案8解析由题意得抛物线的标准方程为x216y，焦点F(0,4)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由ABAFBF(y14)(y24)y1y28，y1y216，则线段AB的中点P的纵坐标y8，线段AB的中点P离x轴最近时点P的纵坐标为8.4.(2018如皋调研)已知椭圆C：1的右顶点为A，点M(2,4)，过椭圆C上任意一点P作直线MA的垂线，垂足为H，则2PMPH的最小值为_.答案22解析在椭圆中，a2，c1，所以椭圆的右焦点为F(1，0)，右准线方程为x4.过点P作右准线的垂线，设垂足为G，则PHPG2，由椭圆的第二定义得e，所以PG2PF.因此2PMPH2PM2PF22(PMPF)22MF222，当且仅当M，P，F三点共线时等号成立，所以2PMPH的最小值为22.考点二圆锥曲线的几何性质方法技巧(1)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，就是确立一个关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式.(2)要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.5.(2018全国改编)双曲线1(a0，b0)的离心率为，则其渐近线方程为_.答案yx解析双曲线1的渐近线方程为bxay0.又离心率，a2b23a2，ba(a0，b0).渐近线方程为axay0，即yx.6.若双曲线1(a0，b0)上存在点M，使得右焦点F关于直线OM(O为双曲线的中心)的对称点在y轴上，则该双曲线的离心率的取值范围是_.答案(，)解析若存在点M，使得右焦点F关于直线OM(O为双曲线的中心)的对称点在y轴上，则只要这个双曲线上存在点M，使得OM的斜率的绝对值为1即可，所以只要渐近线的斜率的绝对值大于1，也就是离心率大于.7.(2018全国改编)设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若PF1OP，则C的离心率为_.答案解析如图，过点F1向OP的反向延长线作垂线，垂足为P，连结PF2，由题意可知，四边形PF1PF2为平行四边形，且PPF2是直角三角形.因为F2Pb，F2Oc，所以OPa.又PF1aF2P，PP2a，所以F2Pab，所以ca，所以e.8.在平面直角坐标系xOy中，双曲线1(a0，b0)的右支与焦点为F的抛物线x22py(p0)交于A，B两点，若AFBF4OF，则该双曲线的渐近线方程为_.答案yx解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得a2y22pb2ya2b20，y1,2，y1y2.又AFBF4OF，y1y24，即y1y2p，p，即，双曲线的渐近线方程为yx.考点三圆锥曲线的综合问题方法技巧(1)圆锥曲线范围、最值问题的常用方法定义性质转化法；目标函数法；条件不等式法.(2)圆锥曲线中的定值、定点问题可以利用特例法寻求突破，然后对一般情况进行证明.9.已知方程1表示椭圆，则实数m的取值范围是_.答案解析由1转化成标准方程为1，假设焦点在x轴上，则2m(m1)0，解得m1；假设焦点在y轴上，则(m1)2m0，解得2m.综上可知，m的取值范围为.10.已知F1，F2是双曲线E：1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1，则E的离心率为_.答案解析如图，因为MF1与x轴垂直，所以MF1.又sinMF2F1，所以，即MF23MF1.由双曲线的定义得2aMF2MF12MF1，所以b2a2，所以c2b2a22a2，所以离心率e.11.过抛物线yax2 (a0)的焦点F作一条直线交抛物线于A，B两点，若线段AF，BF的长分别为m，n，则_.答案解析显然直线AB的斜率存在，故设直线方程为ykx，与yax2联立，消去y得ax2kx0，设A(x1，ax)，B(x2，ax)，因为x1,2，所以x1x2，x1x2，xx，max，nax，mn，mn，.12.已知椭圆1(ab0)的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且F1AB的面积为，点P为椭圆上的任意一点，则的取值范围为_.答案1，4解析由已知得2b2，故b1，F1AB的面积为，(ac)b，ac2，又a2c2(ac)(ac)b21，a2，c，又2PF12，1PF4PF14，14，即的取值范围为.1.若点O和点F(2,0)分别为双曲线y21(a0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为_.答案32，)解析由题意，得22a21，即a，设P(x，y)，x，(x2，y)，则(x2)xy2x22x12，因为x，所以的取值范围为32，).2.若椭圆的对称轴是坐标轴，且短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到同侧顶点的距离为，则椭圆的方程为_.答案1或1解析由题意，得所以所以b2a2c29.所以当椭圆焦点在x轴上时，椭圆的方程为1；当椭圆焦点在y轴上时，椭圆的方程为1.故椭圆的方程为1或1.3.已知A(1,2)，B(1,2)，动点P满足.若双曲线1(a0，b0)的渐近线与动点P的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是_.答案(1,2)解析设P(x，y)，由题设条件，得动点P的轨迹方程为(x1)(x1)(y2)(y2)0，即x2(y2)21，它是以(0,2)为圆心，1为半径的圆.又双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，即bxay0，由题意，可得1，即1，所以e1，故1e0)与C交于点P，PFx轴，则k_.答案2解析因为抛物线方程是y24x，所以F(1,0). 又因为PFx轴，所以P(1,2)，把P点坐标代入曲线方程y(k0)，即2，所以k2.4.过抛物线y22px(p0)的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，PQ10，则抛物线的方程是_.答案y28x解析设抛物线y22px(p0)的焦点为F，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由抛物线的定义可知，PQPFQFx1x2(x1x2)p，线段PQ中点的横坐标为3，又PQ10，106p，可得p4，抛物线的方程为y28x.5.已知直线l过点A(1,0)且与B：x2y22x0相切于点D，以坐标轴为对称轴的双曲线E过点D，一条渐近线平行于l，则E的方程为_.答案1解析直线l的斜率存在，可设直线方程为yk(x1)，B：x2y22x0的圆心为(1,0)，半径为1，由相切可得圆心到直线的距离d1，即k，所以直线l的方程为y(x1)，故渐近线方程为yx，联立直线l和圆的方程，解得x，y，即D，设双曲线方程为y2x2m(m0)，代入点D，解得m，所以双曲线方程为1.6.已知双曲线：1(a0，b0)的一条渐近线为l，圆C：(xa)2y28与l交于A，B两点，若ABC是等腰直角三角形，且5(其中O为坐标原点)，则双曲线的离心率为_.答案解析双曲线的渐近线方程为yx，圆(xa)2y28的圆心为(a,0)，半径r2，由于ACB，由勾股定理得AB4，故OAAB1.在OAC，OBC中，由余弦定理得cosBOC，解得a213.由圆心到直线yx的距离为2，得2，结合c2a2b2，解得c，故离心率为.7.(2018天津改编)已知双曲线1(a0，b0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1d26，则双曲线的方程为_.答案1解析如图，不妨设A在B的上方，则A，B.其中的一条渐近线为bxay0，则d1d22b6，b3.又由e2，知a2b24a2，a.双曲线的方程为1.8.设F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得PF1PF23b，PF1PF2ab，则该双曲线的离心率为_.答案解析不妨设P为双曲线右支上一点，PF1r1，PF2r2.根据双曲线的定义，得r1r22a，又r1r23b，故r1，r2.又r1r2ab，所以ab，解得(负值舍去)，故e.9.设F1，F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则PMPF1的最大值为_.答案15解析因为椭圆1中，a5，b4，所以c3，得焦点为F1(3,0)，F2(3,0).根据椭圆的定义，得PMPF1PM(2aPF2)10(PMPF2).因为PMPF2MF2，当且仅当P在MF2的延长线上时等号成立，此时PMPF1的最大值为10515.10.已知F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则FN_.答案6解析如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，PMOF.由题意知，F(2,0)，FOAO2.点M为FN的中点，PMOF，MPFO1.又BPAO2，MBMPBP3.由抛物线的定义知MFMB3，故FN2MF6.11.已知抛物线y22px(p0)上的一点M(1，t)(t0)到焦点的距离为5，双曲线1(a0)的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为_.答案3解析由题意知15，p8.M(1,4)，由于双曲线的左顶点A(a,0)，且直线AM平行于一条双曲线的渐近线，则a3.12.已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上异于长轴端