2019版高考数学二轮复习第二篇第22练圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题精准提分练习文.docx

第22练圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题明晰考情1.命题角度：圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考常考的问题；以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题.2.题目难度：偏难题.考点一圆锥曲线中的定值问题方法技巧(1)求定值问题常见的方法有两种从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.(2)定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的.1.已知椭圆1(ab0)的长轴长为4，且过点.(1)求椭圆的方程；(2)设A，B，M是椭圆上的三点.若，点N为线段AB的中点，C，D，求证：|NC|ND|2.(1)解由已知可得故所以椭圆的方程为y21.(2)证明设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y1.由，得M.因为M是椭圆C上一点，所以21，即2221，得2221，故y1y20.又线段AB的中点N的坐标为，所以22y1y21.从而线段AB的中点N在椭圆2y21上.又椭圆2y21的两焦点恰为C，D，所以|NC|ND|2.2.(2018北京)已知抛物线C：y22px经过点P(1,2)，过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)设O为原点，求证：为定值.(1)解因为抛物线y22px过点(1,2)，所以2p4，即p2.故抛物线C的方程为y24x.由题意知，直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为ykx1(k0)，由得k2x2(2k4)x10.依题意知(2k4)24k210，解得k0或0k1.又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点(1，2).从而k3.所以直线l的斜率的取值范围是(，3)(3,0)(0,1).(2)证明设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)知x1x2，x1x2.直线PA的方程为y2(x1)，令x0，得点M的纵坐标为yM22.同理得点N的纵坐标为yN2.由，得1yM，1yN.所以2.所以为定值.3.已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C上异于A，B的一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|BM|为定值.(1)解由已知，ab1.又a2b2c2，解得a2，b1，c.椭圆C的方程为y21.(2)证明由(1)知，A(2,0)，B(0,1).设椭圆上一点P(x0，y0)，则y1.当x00时，直线PA的方程为y(x2)，令x0，得yM.从而|BM|1yM|.直线PB的方程为yx1.令y0，得xN.|AN|2xN|.|AN|BM|4.当x00时，y01，|BM|2，|AN|2，|AN|BM|4.故|AN|BM|为定值.考点二圆锥曲线中的定点问题方法技巧(1)动直线l过定点问题.设动直线方程(斜率存在)为ykxt，由题设条件将t用k表示为tmk，得yk(xm)，故动直线过定点(m,0).(2)动曲线C过定点问题.引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.4.已知两点A(，0)，B(，0)，动点P在y轴上的投影是Q，且2|2.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过F(1,0)作互相垂直的两条直线分别交轨迹C于点G，H和M，N，且E1，E2分别是GH，MN的中点.求证：直线E1E2恒过定点.(1)解设点P的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(0，y).2|2，(x，y)，(x，y)，|x|，2(x)(x)y2x2，化简得点P的轨迹方程为1.(2)证明当两直线的斜率都存在且不为0时，设lGH：yk(x1)，G(x1，y1)，H(x2，y2)，lMN：y(x1)，M(x3，y3)，N(x4，y4)，联立消去y得(2k21)x24k2x2k240.则0恒成立.x1x2，x1x2.GH中点E1的坐标为.同理，MN中点E2的坐标为，kE1E2，lE1E2的方程为y，即y，直线E1E2恒过定点；当两直线的斜率分别为0和不存在时，lE1E2的方程为y0，也过点.综上所述，lE1E2过定点.5.已知焦距为2的椭圆C：1(ab0)的右顶点为A，直线y与椭圆C交于P，Q两点(P在Q的左边)，Q在x轴上的射影为B，且四边形ABPQ是平行四边形.(1)求椭圆C的方程；(2)斜率为k的直线l与椭圆C交于两个不同的点M，N.若M是椭圆的左顶点，D是直线MN上一点，且DAAM.点G是x轴上异于点M的点，且以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点，求证：点G是定点.(1)解设坐标原点为O，四边形ABPQ是平行四边形，|，|2|，|2|，则点B的横坐标为，点Q的坐标为，代入椭圆C的方程得b22，又c22，a24，即椭圆C的方程为1.(2)证明设直线MN的方程为yk(x2)，N(x0，y0)，DAAM，D(2,4k).由消去y得(12k2)x28k2x8k240，则2x0，即x0，y0k(x02)，则N，设G(t,0)，则t2，若以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点，则DGAN，0恒成立.(2t,4k)，(2t)4k0恒成立，即0恒成立，t0，点G是定点(0,0).6.(2017全国)已知椭圆C：1(ab0)，四点P1(1,1)，P2(0,1)，P3，P4中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点.(1)解由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知椭圆C经过P3，P4两点.又由知，椭圆C不经过点P1，所以点P2在椭圆C上.因此解得故椭圆C的方程为y21.(2)证明设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.如果l与x轴垂直，设l：xt，由题设知t0，且|t|0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.而k1k2.由题设k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0，即(2k1)(m1)0，解得k.当且仅当m1时，0，于是l：yxm，即y1(x2)，所以l过定点(2，1).考点三圆锥曲线中的存在性问题方法技巧解决存在性问题的一般思路：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在，否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.7.(2016全国)在直角坐标系xOy中，直线l：yt(t0)交y轴于点M，交抛物线C：y22px(p0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.(1)求；(2)除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.解(1)如图，由已知得M(0，t)，P，又N为M关于点P的对称点，故N，ON的方程为yx，代入y22px，整理得px22t2x0，解得x10，x2，因此H.所以N为OH的中点，即2.(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点，理由如下：直线MH的方程为ytx，即x(yt).代入y22px，得y24ty4t20，解得y1y22t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外，直线MH与C没有其他公共点.8.已知椭圆E：1的右焦点为F(c,0)且abc0，设短轴的一个端点D，原点O到直线DF的距离为，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于C，G两点，且|4.(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在过点P(2,1)的直线l与椭圆E相交于不同的两点A，B且使得24成立？若存在，试求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.解(1)由椭圆的对称性知，|2a4，a2.又原点O到直线DF的距离为，bc，又a2b2c24，abc0，b，c1.故椭圆E的方程为1.(2)当直线l与x轴垂直时不满足条件.故可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为yk(x2)1，代入椭圆方程得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80，x1x2，x1x2，32(6k3)0，k.OP24，即4(x12)(x22)(y11)(y21)5，4(x12)(x22)(1k2)5，即4x1x22(x1x2)4(1k2)5，4(1k2)45，解得k，k不符合题意，舍去，存在满足条件的直线l，其方程为x2y0.典例(12分)已知椭圆C：9x2y2m2(m0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；(2)若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由.审题路线图(1)(2)规范解答评分标准(1)证明设直线l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM).2分将ykxb代入9x2y2m2，得(k29)x22kbxb2m20，4k2b24(k29)(b2m2)0，故xM，yMkxMb.4分于是直线OM的斜率kOM，即kOMk9.所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.6分(2)解四边形OAPB能为平行四边形.7分因为直线l过点，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k0，k3.由(1)得OM的方程为yx.设点P的横坐标为xP，由得x，即xP.9分将点的坐标代入l的方程，得b，因此xM.10分四边形OAPB为平行四边形，当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP2xM.于是2，解得k14，k24.因为ki0，ki3，i1,2，所以当l的斜率为4或4时，四边形OAPB为平行四边形.12分构建答题模板第一步先假定：假设结论成立；第二步再推理：以假设结论成立为条件，进行推理求解；第三步下结论：若推出合理结果，经验证成立则肯定假设；若推出矛盾则否定假设；第四步再回顾：查看关键点，易错点(特殊情况、隐含条件等)，审视解题规范性.1.(2017全国)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：y21上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x3上，且1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.(1)解设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)，(xx0，y)，(0，y0).由得x0x，y0y.因为M(x0，y0)在C上，所以1.因此点P的轨迹方程为x2y22.(2)证明由题意知F(1,0).设Q(3，t)，P(m，n)，则(3，t)，(1m，n)，33mtn，(m，n)，(3m，tn).由1，得3mm2tnn21.又由(1)知m2n22，故33mtn0.所以0，即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.2.如图，椭圆E：1(ab0)，经过点A(0，1)，且离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值.(1)解由题设知，b1，结合a2b2c2，解得a，所以椭圆的方程为y21.(2)证明由题设知，直线PQ的方程为yk(x1)1(k2)，代入y21，得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0，由已知0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x20，则x1x2，x1x2，从而直线AP，AQ的斜率之和kAPkAQ2k(2k)2k(2k)，2k(2k)2k2(k1)2.故kAPkAQ为定值2.3.已知椭圆E：1(ab0)的离心率是，点P在椭圆E上.(1)求椭圆E的方程；(2)过点P且斜率为k的直线l交椭圆E于点Q(xQ，yQ)(点Q异于点P)，若0xQ1，求直线l的斜率k的取值范围.解(1)由题意得解得椭圆E的方程为y21.(2)设直线l的方程为yk(x1)，代入方程y21.消去y得(14k2)x2(4k8k2)x4k24k10，xQ1，0xQ1，01，即解得k，经检验，满足题意.直线l的斜率k的取值范围是.4.如图所示，已知椭圆M：1(ab0)的四个顶点构成边长为5的菱形，原点O到直线AB的距离为，其中A(0，a)，B(b,0).直线l：xmyn与椭圆M相交于C，D两点，且以CD为直径的圆过椭圆的右顶点P(其中点C，D与点P不重合).(1)求椭圆M的方程；(2)证明：直线l与x轴交于定点，并求出定点的坐标.解(1)由已知，得a2b252，由点A(0，a)，B(b,0)知，直线AB的方程为1，即axbyab0.又原点O到直线AB的距离为，即，所以a216，b29，c21697.故椭圆M的方程为1.(2)由(1)知P(3,0)，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，将xmyn代入1，整理，得(16m29)y232mny16n21440，则y1y2，y1y2.因为以CD为直径的圆过椭圆的右顶点P，所以0，即(x13，y1)(x23，y2)0，所以(x13)(x23)y1y20.又x1my1n，x2my2n，所以(my1n3)(my2n3)y1y20，整理，得(m21)y1y2m(n3)(y1y2)(n3)20，即(m21)m(n3)(n3)20，所以(n3)20，易知n3，所以16(m21)(n3)32m2n(16m29)(n3)0，整理，得25n210，即n.经检验，n符合题意.所以直线l与x轴交于定点，定点的坐标为.5.在平面直角坐标系xOy中，动点S到点F(1,0)的距离与到直线x2的距离的比值