小学数学概念的学习.pptx

小学数学概念的学习 数学概念的学习 一、什么是概念 二、概念的内涵和外延 三、概念间的关系 四、概念的定义 五、概念的划分 六、数学概念及其特点 七、数学概念学习的心理分析 八、数学概念学习的基本理论 九、数学概念的教学课堂模式 十、小学数学中常见的概念 一、什么是概念 概念是反映客观事物本质属性的思维形式。 概念不同于感知，感知是具体的、直接的，概 念却是抽象的、概括的。抽象性和概括性是概念不 同于感知的重要特征。 概念是最基本的思维形式，任何一门学科，都 是由一系列的概念及其体系组成的。如果把人的思 维比作一个有机体，那么概念就是这个有机体的细 胞。 二、概念的内涵和外延 1.概念的内涵是概念所反映的对象本质属性的总和（即概念所反映的 对象的质的方面）； 概念的外延是概念所反映的对象的全体（即概念所指的对象的 范围或集合）。例如， “平行四边形” 的内涵包括：是四边形，对边平行，对边相等，对角 相等，对角线互相平分等等。 “平行四边形” 的外延包括：矩形、菱形、正方形以及各种各样的任 意的平行四边形。 2.概念的内涵与外延之间的反变关系：要对概念加深认识，还要 注意逻辑学中称之为概念的内涵与外延的反变关系，即：概念的内涵 扩大时，其所得的新概念的外延缩小；当概念的内涵缩小时，其所得 的新概念的外延扩大。反之，也成立。例如，在“矩形”概念的内涵 中增加“一组邻边相等”的属性时，就得到外延缩小了的“正方形” 的概念；在“矩形”的概念中去掉“有一个角是直角”的属性，就得 到外延扩大了的“平行四边形”的概念。 利用概念的内涵与外延的反变关系，通过采取扩大概念的内涵同 时缩小概念的外延的方法来研究概念间的关系和性质，这种方法在逻 辑学中称之为“概念的限制”；通过缩小概念内涵的同时扩大概念外 延的方法来认识同类概念的共同性质，这种方法在逻辑学上称之为“ 概念的概括”。 三、概念间的关系（指概念外延间的关系 ） 同一关系 如果两个概念A和B的外延相等，那么这两个概念之间的关系叫做同一关 系，这两个概念叫做同一概念 （图（1）。例如，“等边三角形” 和“正三角形”，一个圆的“直径”和该圆中“最大的弦”都是同一 概念。具有同一关系的两个概念在推理时可以互相代替。 从属关系 如果概念A的外延是概念B的外延的真子集，那么这两个概念之间的关 系叫做从属关系，其中外延较大的概念B叫做属概念，外延较小的概 念A叫做种概念（图（2）。例如“有理数”和“实数”具有从属关 系，这里，“实数”是属概念，“有理数”是种概念。 属概念和种概念是相对的。例如，“矩形”和“平行四边形”具 有从属关系，这时，“矩形”是种概念； “正方形”和“矩形”也 具有从属关系，而这时“矩形”是属概念。 交叉关系 如果概念A的外延和概念B的外延只有一部分重合，那么 这两个概念之间的关系叫做交叉关系，这两个概念叫做交 叉概念（图（3）。例如，“有理数”和“正实数”是 交叉概念，它们外延的交集是“正有理数”的外延。又如 ，“矩形”和“菱形”是交叉概念，它们外延的交集是“ 正方形”的外延。 全异关系 如果概念A的外延和概念B的外延的交集为空集，那么 这两个概念之间的关系叫做全异关系（或不相容关系）， 这两个概念叫做全异概念（图（4）。“直角三角形” 和“等边三角形”、“自然数”和“负有理数”都是全异 概念。在全异关系中，有两种常见的特殊情形： （1）矛盾关系。如果概念A和概念B具有全异关系，且 它们外延的并集等于某一属概念C的外延，那么这两个 概念间的关系（相对于属概念C而言）叫做矛盾关系， 这两个概念叫做矛盾概念（图（5）。例如，“有理 数”和“无理数”相对于实数来说具有矛盾关系。又如 “等腰三角形”和“不等边三角形”相对于三角形是一 对矛盾概念。 (2)对立关系。如果概念A和概念B具有全异关系，且 它们外延的并集为某一属概念C的真子集，那么这两个 概念间的关系（相对于属概念C而言）叫做对立关系， 这两个概念叫做对立概念（图（6）例如， “锐角三 角形”和“直角三角形”是一对对立概念。 四、概念的定义和原始概念 把概念的内涵用语言表达出来，就是给概念下定义。（揭示概念内 涵的逻辑方法） 原始概念：一些概念不能再用别的概念来定义，而被作为概念体系 的出发点，这样的概念叫原始概念，或基本概念，或不定义概念 如：点、线、面、空间、集合、元素、对应等。 定义的结构：被定义项（被定义的概念 ）、定义联项（联系词）和 定义项（下定义的概念）。 如：平行四边形就是两组对边分别平行的四边形。 下定义的方法： 邻近的属加种差的定义 邻近的属：在一个概念的各个属概念中，其内涵与这个概念的内涵之差最小的， 叫这个概念的邻近的属。 如平行四边形是矩形的属概念而四边形和多边形则不是。 种差：用于区别该概念和邻近的属概念的属性） 例： 一个角是直角的平行四边形叫做矩形 （种差） （邻近的属）（被定义的项） 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 （种差） （邻近的属） （被定义项） 注： 一个概念的同一个属可以有不同的种差，因此同一个概念可以有不同的定义。 发生定义 用一类事物产生或形成的情况作为种差作出定义。 例如： “圆是由一定线段的一动端点在平面上绕另一不动端点运动而形成的封闭曲线 ”。这种定义一般说来语言叙述比较长，但直观、生动，有时可以用图形直观地 表示出来。 关系定义 用对象之间的关系作为种差而作出的定义。 例如： “偶数就是能被2整除的整数” 外延定义 列举概念的全部对象来下定义。 例如： “有理数是正整数、负整数、正分数、负分数和零的统称” 递归定义 当被定义的对象与自然数性质有关时常采用。 公理定义法 约定式定义） 规定“ ” 下定义的基本要求 定义要下得正确,必须遵守以下规则 （1）定义应当相称 所谓定义相称指下定义概念的外延与被定义概念的外延必须相等,不能扩大, 也不能缩小,即通常说的不能过宽也不能过窄。 定义过宽：下定义概念的外延大于被定义概念的外延。 例如:A、无理数是无限小数；B、直径是弦。 此两例都犯了定义过宽的逻辑错误。例A中的下定义概念“无限小数”外延大 于被定义概念“无理数”外延。因无限小数包含无限循环小数和无限不循环小数, 而无限循环小数就不是无理数。例B中的下定义概念“弦”的外延大于被定义概念 “直径”的外延。 定义过窄：下定义概念的外延小于被定义概念的外延。 例如:A、无理数是有理数的不尽方根；B、各角为直角的菱形是矩形。 此两例都犯了定义过窄的错误。例A中的下定义概念“有理数的不尽方根”的 外 延小于被定义概念“无理数”的外延。因为、e、lg3等都是无理数,它们都不 是有 理数的不尽方根。例B中的下定义概念“各角为直角的菱形”的外延小于被 定义概念“矩形”的外延。因为各角为直角的菱形是正方形,正方形一定是矩形,但 矩形不一 定是正方形。 （2）定义不能恶性循环 在定义中,下定义概念必须能直接地揭示被定义概念的内涵,而不能直接或 间接地依赖于被定义概念。下定义的目的就是要揭示被定义概念的内 涵。如果下定义概念直接或间接地包含了被定义概念,那么就达不到明确 概念内涵的目的。违犯了这条规则,就会犯循环定义的逻辑错误。 循环定义常有以下两种情况： 恶性循环： 在一个科学系统中,如果把概念A作为已知的概念来定义概念B,但 又 用概念B来定义概念A,这种逻辑错误叫做定义恶性循环。例如用两条 直 线垂直来定义直角,反过来又用两直线交成直角来定义垂直。这样定 义 概念不能揭示概念的内涵。 词语反复： 用被定义概念的简单重复来定义被定义的概念,即用自身定义自己, 这种逻辑错误叫做词语反复,结果什么也没有说清楚。以下几例都犯了 词语反复的错误。 1互质数就是互为质数的数。 2基础知识就是最基础的知识。 （3）定义一般不用否定形式 定义应从正面对被定义概念的本质属性用肯定形式给予揭示, 一般不用否定形式。例如“不是有理数的数叫做无理数”。这样定 义无理数,既不能揭示无理数的内涵,又不能确定无理数的外延。 但是,有些概念的特有属性就是它缺少某个属性,对这样的概 念 下定义可用否定形式。例如,“同一平面内不相交的两条直线叫 做平 行线”就是用的否定形式。 （4）定义应当简明 （5）定义一般不用比喻说法 在定义中不能应用比喻或含混不清的概念,不应列举非本质属 性,不应含有多余词语,也不能漏掉必须的词语。 例如“无穷小是很小很小的数”,这样定义无穷小是错误的。 从外表看,颇似定义,但它用了比喻词。又如,“正方形是一种有规 则四边形”,“有规则”是一个不可捉摸的含混概念,这样定义不能 揭示出“正方形”的内涵。再如,“对边平行且相等的平面四边形是 平行四边形”。这个定义既不清楚确切,也不简明。定义中漏掉了 “两组”、“分别”、多了“且相等”,“平面”。 五、概念的划分和分类 划分是明确概念外延的逻辑方法，就是将一个概念所指的事物，按 照 不同的属性分成若干小类，从概念来说，就是将一个属概念划分成若 干 种概念，被划分的类叫做划分的母项，若干小类叫做划分的子项。 概念的划分：把一个属概念分为若干个不相容种概念的逻辑方法。 概念的分类是划分的特殊形式，是根据概念所反映对象的本质属性 或特征所进行的划分。 概念分类的要求： （1）排中律： 不能同假，必有一真，即A和A必居其一，且仅居其一，A或A） （2）同一律： 保持同一性，A是A （3）无矛盾律： 使用同一标准，逐级分类等 划分规则 （1）划分后各子项应当互不相容： 子项之间必须有全异关系，违反这条规则叫做犯了子项相容的错 误。 例如： 把平行四边形划分为菱形、正方形和邻边不等的平行四边形。 （2）各个子项必须穷尽母项： 子项的总和应当与母项全同，违反这条规则叫做犯了子项不穷尽错 误。 例如： 把平行四边形划分为菱形、正方形和矩形。 （3）每一次划分应当用同一个划分标准： 划分的标准可以不同，但每一次划分时不能用两种或两种以上的划 分标准。 （4）不能越级划分： 应取最接近的种概念，否则就叫做犯了越级分类的错误。 如：把实数分成整数和分数。 二分法 首先把被划分的概念分为两个互相矛盾的概念，再继续按照此方法进行，最后得 到的种概念就一定能够满足前面的三条规则。 七、数学概念 数学数学概念的意义概念的意义 反映数学对象本质属性的思维形式叫做“数学概念”。 数学概念产生和发展的途径数学概念产生和发展的途径 （1）从现实模型直接得来； （2）经过多级抽象概括得来； （3）从数学内部需要产生出来； （4）把客观事物理想化和纯粹化得出； （5）根据有理论上存在的可能性而提出等 数学概念是发展变化的：原因一方面事物是发展变化的，另一方面人们的认识是不断 深化的。如：自然数集（加零）扩大的自然数集（加正分数）算术数集（加负整 （分）数）有理数集（加无理数）实数集（加虚数）复数集 概念和词语密切联系：语词是概念的语言形式，而概念是语词的思想内容，两者密切 联系，不可分割。概念和语词之间是对应关系，但不是等同关系 数学概念的重要性：非常基本，也非常重要，判断由概念构成，推理由判断构成，论 证由判断和推理构成，因此概念是其他思维形式的基础，是思维的细胞。 数量关系和数量关系和 空间形式空间形式 数学概念的基本特征 概念发展的抽象性 概念表征的多元性 概念理解的层次性 概念联结的系统性 八、数学概念学习的心理分析 概念学习的基本形式 1.概念的形成 概念形成就是让学生从大量同类事物的不同例证中独立发现同类事 物的本质属性，从而形成概念。因此，数学概念的形成实质上是抽象出 数学对象的共同本质特征的过程。可概括如下： （1）辨别各种刺激模式，通过比较，在知觉水平上进行分析、辨认， 根据事物的外部特征进行概括。 （2）分化出各种刺激模式的属性。 （3）抽象出各个刺激模式的共同属性。 （4）在特定的情境中检验假设，确认关键属性。 （5）概括，形成概念。 （6）把新概念的共同关键属性推广到同类事物中去。 （7）用习惯的形式符号表示新概念。 2.概念的同化 概念同化的学习形式是利用学生认知结构中的原有概念，以定义的方 式直接向学生揭示概念的本质属性。 由奥苏伯尔的有意义接受学习理论可知，要使学生有意义地同化新概 念，必须： 第一，新概念具有逻辑意义； 第二，学生的认知结构中具备同化新概念的适当知识； 第三，学生积极主动地使这种具有潜在意义的新概念与他认知结构中 的有关观念发生相互作用，改造旧知识，使新概念与已有认知结构中的 相关知识进一步分化和融会贯通。 概念同化的阶段 （1）揭示概念的关键属性，给出定义、名称和符号； （2）对概念进行特殊的分类，讨论这个概念所包含的各种特例， 突 出概念的本质特征； （3）使新概念与已有认知结构中的有关观念建立联系，把新观 念纳 入到已有概念体系中，同化新概念； （4）用肯定例证和否定例证让学生辨认，使新概念与已有认知 结构 中的相关概念分化； （5）把新概念纳入到相应的概念体系中，使有关概念融会贯通， 组 成一个整体。 3.数学化与寻找意义 1)将现实情景用数学符号表达（数学模型） 2）用数学符号解释现实情景 八、概念学习的基本理论 奥苏贝尔的概念学习理论 以色列著名数学教育家斯法德的代数思维 的基本形式（对象过程理论） 美国的杜宾斯基等人 的APOS理论模型 奥苏贝尔有概念学习理论简介 奥苏贝尔(DPAusubel)是意义学习论的创始人。他认为，从接受式-发 现式和意义性-机械性两个维度上划分，可以把学习分为4种，但在学校 情境中，学生学习的书本知识绝大多数是有意义的接受学习。 他指出，有意义学习过程的实质，就是符号所代表的新知识与学习者认 知结构中已有的适当观念建立非人为的(nonarbitrary)和实质性的 (substantive)联系。 所谓非人为的联系，是指新知识与认知结构中有关观念在某种合理的或 逻辑基础上的联系。所谓实质性联系，是指新的符号或符号代表的观念 与学习者认知结构中已有的表象、已经有意义的符号、概念或命题的联 系。 有意义学习的条件有内外两条： 外部条件是指学习材料本身必须具有逻辑意义，即能与人类学习能力范 围内的有关观念建立非人为的和实质性的联系； 内部条件则包括两个方面：一是学习者必须具有意义学习的心向，二是 学习者认知结构中必须具有适当的能力与新知识进行联系的知识。 他强调影响学生学习的首要因素是已有的知识。他在教育心理学：认 知取向一书的扉页上写出这样一句代表他的核心思想的话：“如果要 我只用一句话说明教育心理学的要义，我认为影响学生学习的首要因素 ，是他的先备知识；研究并了解学生学习新知识之前具有的先备知识， 进而配合设计教学，以产生有效的学习，就是教育心理学的任务。 ”(Ausubel，1968)。 奥苏贝尔教育心理学中最重要的观念之一，是他对意义学习（ meaningful learning）的描述。在他看来，学生的学习，如果要有价值 的话，应该尽可能地有意义。为此，他仔细区分了接受学习与发现学 习、机械学习与意义学习之间的关系，具体如下： 接受学习与发现学习之间的区别并不难理解。在接受学习中，学习的 主要内容基本上是以定论的形式传授给学生的。对学生来讲，学习不 包括任何发现，只要求他们把教学内容加以内化(即把它结合进自己的 认知结构之内)，以便将来能够再现或派作他用。发现学习的基本特征 是，学习的主要内容不是现成地给予学生的，而是在学生内化之前， 必须由他们自己去发现这些内容。换言之，学习的首要任务是发现， 然后便同接受学习一样，把发现的内容加以内化，以便以后在一定的 场合下予以运用。所以，发现学习只是比接受学习多了前面一个阶段 发现，其他没有什么不同。 意义学习和机械学习。奥苏贝尔根据知识学习过程的不同性质，将学习分为 意义学习和机械学习。意义学习是指语言文字或符号所表述的新知识能够与 学习者认知结构中已有的有关旧知识建立一种实质的和非人为的联系。以下 两个先决条件是划分意义学习和机械学习的标准：“(1)学习者表现出一种意 义学习(meaningful learning)的心向，即表现出一种把新学的材料同他已了解 的知识建立非任意的、实质性联系的意向。(2)学习任务对于学习者具有潜在 意义，即学习的任务能够在非任意的和非逐字逐句的基础上同学习者知识结 构联系起来。” 明确了意义学习的先决条件，就不难对意义学习和机械学习做出明确地区 分。拿无意义音节的学习来说，由于学习者头脑中没有与之对应的有关观念 ，无意义音节不能与学习者认知结构中的适当观念建立实质性的联系，因此 ，在学习中只能逐字逐句地背诵它，所以，它只能建立一种逐字逐句的联系 ，因而是机械的学习。有时人们为了便于记亿，往往把无意义的材料赋予某 种意义，但这种意义的赋予不符合逻辑意义，而且是因人而异的。这种联系 是一种人为的或任意的联系，因而也属于机械学习。 当然意义学习和机械学习的划分也不是绝对的。奥苏贝尔认为，“这两种学 习仅是处在一个连续体的两个极端”。“概念、命题和原理的学习是意义学 习，而符号学习便具有某种机械学习的逐字逐句的性质”。有时机械学习和 意义学习也会同时发生，例如，学生通过背诵来学习一首古诗或学习乘法口 诀就是这种情况。 奥苏贝尔把意义学习分为以下四种类型: 1.表征学习(representational learning) 对儿童来说，最主要的理智任务之一，是要学习各种符号的意义。儿童最初学到的符 号，是家长对他们所讲的词汇。我们的任务是要了解，儿童开始时是怎样赋予这些符 号以意义的，以及构成这些符号的意义的认知内容的性质。 2.概念学习(concept learning) 概念具有逻辑的和心理的意义。从逻辑上讲，概念是指在某一领域中因具有共同特征 而被组织在一起的特定事物。例如，“三角形”这一概念是指与其他几何图形明显不 同的一类客体。学生一旦掌握了某一概念的关键属性，即区分某一类别与其他类别的 一组特征，就能确定他所见到的东西是否属于这一概念。 3.命题学习(proposition learning) 命题是以句子的形式来表述的。如“老虎会吃人”就是一个命题，而且是一类重要命 题-概括性陈述的例子，它涉及两个以上概念之间的关系。“动物园那只大老虎会吃 我”，这一命题就不是概括性陈述，因为它只涉及具体客体的名称。但在这两个例句 中，命题学习的任务，都是要了解该句子所表述的意义。 4.发现学习(discovery learning) 奥苏贝尔对发现学习的解释有些与众不同。他认为，发现学习是指学习内容不是以定 论的方式呈现给学生的，而是要求学生在把最终结果并入认知结构之前，先要从事某 些心理活动，如对学习内容进行重新排列、重新组织或转换，因此，发现学习可以在 前面提及的三种学习类型中发生。除此之外，发现学习还涉及其它三种学习类型：运 用、问题解决、创造。这三种学习是有层次的。 有意义学习的另一类较高级的形式叫概念学习。概念学习， 实质上是掌握同类事物的共同的关键特征。例如学习“三角 形”这一概念，就是掌握三角形有三个角和三条相连接的边 这样两个共同的关键特征，而与它的大小、形状、颜色等特 征无关，如果“三角形”这个符号对某个学习者来说，已经 具有这种一般意义，那么它就成了一个概念，成了代表概念 的名词。同类事物的关键特征可以由学习者从大量的同类事 物的不同例证中独立发现，这种获得概念的方式叫概念形 成。也可以用定义的方式直接向学习者呈现，学习者利用认 知结构中原有的有关概念理解新概念，这种获得概念的方式 叫概念同化。 学习数学概念的目的是为了获得数学概念.所谓获得概念， 是指掌握了概念的内涵和外延，也就是掌握了概念的本质特 征及其范围，并能够识别具有这种本质特征的同类事物.学 习数学概念的基本方法有两种：概念形成和概念同化. 概念形成是学习者在对客观事物的反复感知和进行分析、类 比、抽象的基础上，概括出某一类事物本质属性的过程.总结以 往和近年来有关概念形成的研究结果，概念形成的心理过程应 包括以下几个阶段： 辨别不同的刺激模式.在教学的环境下，这些刺激模式可以是 学生自己感知过的事实，也可以是教师提供的事实，无论哪一 种刺激模式，都必须进行比较，以根据事物的外部特征进行分 析和直观水平上进行辨别.分化和类化各种刺激模式的属性. 为了了解一类刺激模式的属性，就需要对刺激模式的各种属性 予以精确分化.各种具体模式的属性不一定是共同属性，为了找 出共同属性，就需要把从具体刺激模式中分化出来的属性进行 比较，找出共同属性，提出假设和验证.一般来说，事物的共 同属性不一定是本质属性，因此在数学高年学习过程中，学生 首先要提出各个刺激模式本质属性的假设，然后在特定情境中 验证假设以确认出概念的本质属性.把新概念的本质属性推广 到一切同类事物.这个过程实际上是明确概念外延的过程，也是 新概念同其他概念相区别的过程.用符合习惯的数学语言或符 号表示新概念，即形式化. 概念的同化是指在以定义的方式直接提出概念的条件下， 学习者利用已有知识，主动地与原有认知结构中的有关概 念相联系，从而掌握概念的方式就是概念的同化.以概念同 化的方式学习数学概念的心理活动大概包括以下几个阶段 ：接受概念的定义、名称和符号的信息；建立新概念 与原有概念实质性的联系，把新概念纳入到已有的认知结 构中；通过辨认概念的肯定例子和否定例子，使新概念 和原有概念精确分化. 数学概念的形成和数学概念的同化的基本过程是很不相同 的，它们在学生智力发展中的主要作用也是不同的，然而 我们决不应该将它们的作用绝对化.通过概念形成获得数学 概念可以用来解决问题，而通过概念同化获得的数学概念 同样也可以用来解决问题.学生在教学条件下学习数学概念 ，完全不同于人们在自然条件下形成数学概念，也不同于 数学家创造数学概念，应该是在教师指导下的概念形成.这 就是说，教师可以提供适当例子和问题来促进学生概括数 学概念本质属性的进程. 斯法德的对象过程理论简介 斯法德认为可以用两种不同的方式形成抽象的数学概念：构造性的（ 作为对象）或运算性的（作为过程）她认为运算性概念是获得新数 学概念的第一步，从一个“过程的”概念到一个“对象的”概念的过 程既慢又有很大困难两种概念当充分建成后都在数学活动中起着重 要的作用这是数学思维现代研究的一个重要成果，由“过程”向“ 对象”的转化构成了数学思维特别是代数（包括算术）思维的一个基 本形式有不少概念在最初是作为一个过程得到引进的，但最终则又 转化成了一个对象对此我们不仅可以研究它们的性质，也可以此 为直接对象施行某些新的运作（对于所说的“运作”应作广义理解， 即未必是指具体的运算，而也可以包括任何一种数学运演，甚至不一 定要有明确的算法）例如，中学的函数概念就是如此函数可以被 看作一个过程，联系定义域中的对象和值域中的对象，通常这些对象 都是数任何一个具体的函数均可被认为是在这些数上施行运算的过 程：将它们变换成另外的数数之间存在着关系例如，序关系当 学生的数学知识不断增多时，就会感到仅把函数看成在数上施行运算 的过程是不够的，可能遇到对函数进行运算比如微分等于是有必 要把函数看成一个被运算的对象 美国的杜宾斯基等人 的APOS理论模型简介 APOS理论揭示了数学概念学习的本质，是具有学科特色的学 习理论。 美国的杜宾斯基等人在数学教育研究实践中，提出了一种 APOS理论：学生学习数学概念，一般要经过四个阶段： 操作（Action）阶段、过程（Process）阶段、对象（Object ）阶段、模型（Scheme）阶段.取这4个阶段英文单词的首字 母，命名为APOS理论. 操作-A A阶段，或称操作阶段。是理解概念需要的活动或操作。概 括地讲，A阶段就是概念形成之初的特例研究阶段，在特例 中感受将要“出生”的新概念的部分本质. 这里的活动是指个体通过一步一步的外显性（或记忆性）指 令去变换一个客观的数学对象。数学教学是数学活动的教学 ，操作运算行为是数学认知的基础性行为。学生与数学家一 样，要亲自投入，通过实际经验来获得知识，虽然这种实践 性与物理、化学、生物等实验科学的观察试验行为有所不同 ，但数学活动仍需实际操作演算和头脑中的心理操作思想 实验，没有物理操作和心理的操作，数学概念将成为无源之 水、无本之木。大部分数学概念的形成都经历了一个反省抽 象的活动，而要形成反省，被反省的基础，就是操作活动。 过程-P P阶段，是把活动阶段的操作活动综合抽象过程，是由特殊走 向一般的对比抽象归纳概括的过程，是学生对“操作”活动进 行思考，经历思维的内化、压缩过程，学生在头脑中对活动进 行描述和反思，抽象出概念所特有的性质，是把已发现的东西 映射或反射到一个新的层面上，并对此进行重新建构。 P阶段是从用来表征新概念的那些特例个体中抽象归纳出新概 念的性质特征的过程。在此时，新概念只有活生生的形象而没 有名称。先建构概念的形象，而后合理的命名，这是催生数学 概念的认知逻辑顺序。P阶段的归纳推理属于合情推理的过 程。 对象-O O阶段，是通过前面的抽象，认识到概念本质，对其进行“压缩”并赋予形式化 的定义和符号，使其达到精致化，成为一个思维中的具体对象，在以后的学习中 以此来进行新的活动。这实际上是对“过程阶段”新生对象的“凝聚”特别 要说明的是“凝聚”不是简单机械地归纳，不是停留在对旧对象的整合层面，而 是要生发出新的所谓“对象”的“客体”即“O”。 以色列数学教育家斯法德指出，“凝聚”包括三个阶段：内化，压缩，客体化。 当个体意识到可以将“过程”看成一个整体，并可以对其进行变形、转换和操作 时，就会将这个过程作为一个一般意义上的数学对象，此时“过程”便凝聚成了 “对象”。“对象阶段”使过程达到精致化，并视其为一个具体的独立对象进行 新的数学活动，它既操作其他的对象，同时又被较高层次的运算所操作，为从更 高层次进行数学研究创造了条件。当概念达到对象阶段时，就会表现为一种静态 结构关系，有助于个体对概念性质进行整体把握。 概型（图式）-S S阶段，此时的概念，以一种综合的心理图式存在于脑海中，在数学知识 体系中占有特定的地位。这一心理图式含有具体的概念实例的性质、抽 象的过程、完整的定义，乃至和其他概念的区别和联系。图式的概念是 建构主义的一个重要概念，其实就是一个认知的结构。图式的形成要经 过长期的学习活动进一步完善，起初的图式包含反映概念的特例、抽象 过程、定义及符号，经过学习，建立起与其他概念、规则、图形等的联 系，在头脑中形成综合的心理图式。 个体对活动、过程、对象以及他原有的相关方面的图式进行相应的整 合、精致就会产生出新的图式结构（scheme），从而可运用于问题解决 情境。一个数学概念的“图式”是由相应的活动、过程、对象以及相关 的图式所组成的认知框架。其作用和特点就是决定某些刺激是否属于这 个图式，从而就会作出不同的反应。 本阶段对概念进行更高层次的心理加工与整合，对概念的认识与理解进 一步深化，而且“图式阶段”的形成通常需要经过长期的数学学习活动 才能得以实现。 APOS理论的启示 1、APOS理论揭示了数学概念形成的内在本质的逻辑过程，对数学概念 的教学具有很好的指导作用，可以帮助我们进一步领会教材的编排意图 ，把握教材的数学本质和学生的认知过程，提高教师驾驭教材和教学的 能力。传统的概念同化教学方式，抽象概念的过程往往过