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平面向量的坐标运算(铜鼓中学数学组)学习了向量的坐标表示后,我们可以把向量运算代数化.将数与形紧密结合起来,从而使许多问题转化为我们熟知的数量运算,使问题得以简化.下面举例说明平面向量的坐标运算在解几类题中的应用.一、两向量相等问题例1已知向量和向量的对应关系可用表示,求证:对任意向量及常数,恒有成立证明:设,则,成立点评:两个向量相等,对于用坐标表示的向量,就是这两个向量的坐标相同.为应用题设条件,必须用坐标表示向量,通过坐标进行运算,从而解决问题.二、点的坐标问题例2如图1,已知正方形的顶点的坐标分别为,求点的坐标解:过作轴的垂线,垂足分别为,由是正方形可知易知,即点的坐标为设,则由,得解得故点点评:解决本题的关键在于把握好向量相等或向量加、减运算的坐标表示与图形表示之间的关系,运用“数形结合”的思想转化解题.三、三点共线问题例3过原点的直线与函数的图象交于两点,过分别作轴的垂线交函数的图象于两点求证:三点在一条直线上证明:设,则,根据已知与共线, 又根据题设条件可知,与共线,即三点在一条直线上点评:本题将三点共线的证明转化为论证向量共线关系式.通过构设点的坐标,改用向量的坐标运算来论证,十分简捷、新颖、巧妙.四、几何问题例4已知的面积为,分别为边上的点,且,且交于,求的面积解:如图2,以为原点,为轴建立直角坐标系设,则,点和分别共线,存在和,使,又,由得,代入,化简得,于是,的面积为,的面积为,故的面积为点评:本题是通过建立直角坐标系,构设点的坐标后转化为向量的坐
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