2019版高考数学二轮复习第二篇第26练导数与函数的单调性、极值、最值精准提分练习文.docx

第26练导数与函数的单调性、极值、最值明晰考情1.命题角度：讨论函数的单调性、极值、最值以及利用导数求参数范围是高考的热点.2.题目难度：偏难题.考点一利用导数研究函数的单调性方法技巧(1)函数单调性的判定方法：在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在此区间内单调递增；如果f(x)0；当x(2,0)时，h(x)0.则h(x)在(，2)上单调递增，在(2,0)上单调递减.当x(，0)时，h(x)h(2)10，即当x(，0)时，f(x)0，求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)f(x)2x，且g(x)在区间(2，1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围.解(1)f(x)x2axb，由题意得即(2)由(1)得，f(x)x2axx(xa)(a0)，当x(，0)时，f(x)0；当x(0，a)时，f(x)0.所以函数f(x)的单调递增区间为(，0)，(a，)，单调递减区间为(0，a).(3)g(x)x2ax2，依题意，存在x(2，1)，使不等式g(x)x2ax20成立，即当x(2，1)时，a0)，则f(x)x3.当0x2时，f(x)0，f(x)单调递增；当1x2时，f(x)0，f(x)单调递减.f(x)的单调递增区间为(0,1)，(2，)，单调递减区间为(1,2).(2)假设存在实数a，使g(x)f(x)ax在(0，)上是增函数，则g(x)f(x)ax20恒成立，即0在(0，)上恒成立，x22x2a0在(0，)上恒成立，a(x22x)(x1)2恒成立.又(x)(x1)2，x(0，)的最小值为.当a时，g(x)0恒成立.又当a时，g(x)，当且仅当x1时，g(x)0.故当a时，g(x)f(x)ax在(0，)上单调递增.考点二导数与函数的极值、最值要点重组(1)可导函数极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点，如函数f(x)x3，f(0)0，但x0不是极值点.(2)极值点不是一个点，而是一个数x0，当xx0时，函数取得极值，在x0处，f(x0)0是函数f(x)在x0处取得极值的必要不充分条件.(3)一般地，在闭区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么函数yf(x)在a，b上必有最大值与最小值.函数的最值必在极值点或区间的端点处取得.5.已知函数f(x)ax1lnx(aR)，讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数.解f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.当a0时，f(x)0时，由f(x)0，得0x0，得x，f(x)在上单调递减，在上单调递增，故f(x)在x处有极小值，无极大值.综上，当a0时，f(x)在(0，)上没有极值点；当a0时，f(x)在(0，)上有一个极值点.6.(2017北京)已知函数f(x)excosxx.(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.解(1)因为f(x)excosxx，所以f(x)ex(cosxsinx)1，f(0)0，又因为f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y1.(2)由(1)可知，f(x)ex(cosxsinx)1，设h(x)ex(cosxsinx)1，则h(x)ex(cosxsinxsinxcosx)2exsinx.当x时，h(x)0，所以h(x)在区间上单调递减.所以对任意x有h(x)h(0)0，即f(x)0.所以函数f(x)在区间上单调递减.因此f(x)在区间上的最大值为f(0)1，最小值为f.7.已知函数f(x)lnx.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)若对任意x0，均有x(2lnalnx)a恒成立，求正数a的取值范围.解(1)f(x)，x(0，).当a0时，f(x)0，f(x)在(0，)上为增函数，无极值；当a0，x(0，a)时，f(x)0，f(x)在(a，)上为增函数，所以f(x)在(0，)上有极小值，无极大值，f(x)的极小值为f(a)lna1.(2)若对任意x0，均有x(2lnalnx)a恒成立，即对任意x0，均有2lnalnx恒成立，由(1)可知f(x)的最小值为lna1，问题转化为2lnalna1，即lna1，故0ae，故正数a的取值范围是(0，e.典例(12分)设函数f(x)a2x2lnx(aR).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)如果函数f(x)的图象不在x轴的下方，求实数a的取值范围.审题路线图(1)(2)规范解答评分标准解(1)f(x)a2x(x0).1分当a0时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递减.当a0时，f(x)，由f(x)0，得x；由f(x)0，得0x.3分所以f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.当a0时，f(x)，由f(x)0，得x；由f(x)0，得0x0时，h(x)0；当x0时，h(x)0.当a0时，g(x)(xa)(xsinx)，当x(，a)时，xa0，g(x)单调递增；当x(a,0)时，xa0，g(x)0，g(x)0，g(x)单调递增.所以当xa时，g(x)取到极大值，极大值是g(a)a3sina；当x0时，g(x)取到极小值，极小值是g(0)a.当a0时，g(x)x(xsinx)，当x(，)时，g(x)0，g(x)单调递增；所以g(x)在(，)上单调递增，g(x)无极大值也无极小值.当a0时，g(x)(xa)(xsinx)，当x(，0)时，xa0，g(x)单调递增；当x(0，a)时，xa0，g(x)0，g(x)0，g(x)单调递增.所以当x0时，g(x)取到极大值，极大值是g(0)a；当xa时，g(x)取到极小值，极小值是g(a)a3sina.综上所述，当a0时，函数g(x)在(，0)和(a，)上单调递增，在(0，a)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g(0)a，极小值是g(a)a3sina.4.已知函数f(x)x2ax2lnx.(1)若函数yf(x)在定义域上单调递增，求实数a的取值范围；(2)设f(x)有两个极值点x1，x2，若x1，且f(x1)tf(x2)恒成立，求实数t的取值范围.解(1)因为函数yf(x)在定义域上单调递增，所以f(x)0，即2xa0在(0，)上恒成立，所以a2x(x(0，).而2x24，所以a4，所以实数a的取值范围是(，4.(2)因为f(x)(x0)，由题意可得x1，x2为方程f(x)0，即2x2ax20(x0)的两个不同实根，所以ax12x2，ax22x2.由根与系数的关系可得x1x21.由已知0x1，则x2e.而f(x1)f(x2)(xax12lnx1)(xax22lnx2)x(2x2)2lnx1x(2x2)2lnx2(x22lnx1)