2019届高考数学总复习解析几何第16讲圆锥曲线中的最值、范围、证明问题学案文.docx

第16讲圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.2013全国卷 已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.试做 命题角度圆锥曲线的最值问题常用的方法有三种:一是转化为函数的最值问题,先引入变量,再构建函数,然后去求值域;二是转化为基本不等式问题,利用已知或者隐含的不等关系,构建不等式求解;三是数形结合,利用圆锥曲线的几何意义求解.2.2016全国卷 已知A是椭圆E:x24+y23=1的左顶点,斜率为k(k0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MANA.(1)当|AM|=|AN|时,求AMN的面积;(2)当2|AM|=|AN|时,证明:3k0).(1)证明:kb0)的一个焦点,点P(0,2)在椭圆短轴CD上,且PCPD=-1.(1)求椭圆C2的方程;(2)设Q为椭圆C2上的一个不在x轴上的动点,O为坐标原点,过椭圆的右焦点F2作OQ的平行线,交C2于M,N两点,求QMN面积的最大值.听课笔记【考场点拨】求圆锥曲线中三角形面积的最值的关键:(1)公式意识,把求三角形的面积转化为求距离、求角等;(2)方程思想,即引入参数,寻找关于参数的方程;(3)不等式意识,寻找关于参数的不等式,利用基本不等式等求最值.【自我检测】如图M5-16-1,已知ABC的三个顶点都在椭圆:x2a2+y2b2=1(a0,b0)上,且椭圆的中心O和右焦点F分别在ABC的边AB,AC上,当A点在椭圆的短轴端点时,图M5-16-1原点O到直线AC的距离为12a.(1)求椭圆的离心率;(2)若ABC面积的最大值为22,求椭圆的方程.解答2范围问题2 已知F1,F2分别是椭圆x24+y2=1的左、右焦点.(1)若P是第一象限内该椭圆上一点,且PF1PF2=-54,求P点坐标;(2)设过定点M(0,2)的直线与椭圆交于不同两点A,B,且AOB为锐角(O是坐标原点),求直线的斜率k的取值范围.听课笔记 【考场点拨】圆锥曲线的范围问题的常见解法:(1)几何法:若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来解决;(2)代数法:若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系或不等关系或已知参数与新参数之间的等量关系等,则可利用这些关系去求参数的范围.【自我检测】已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点且与此抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,|AB|0)的焦点,直线l交抛物线于A,B两点且与x轴交于点M(m,0)(m0).(1)求抛物线的方程;(2)若点M(m,0)(m0)关于原点的对称点为N,求证:ANO=BNO.听课笔记【考场点拨】圆锥曲线的证明问题,常表现为证明相等、定值、过定点、点在曲线上等,一般是以直线与圆锥曲线为载体,综合使用圆锥曲线的性质及位置关系进行论证.【自我检测】已知椭圆G:x24+y23=1的左焦点为F,左顶点为A,离心率为e,点M(t,0)(t0.由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为4.又A(-2,0),因此直线AM的方程为y=x+2.将x=y-2代入x24+y23=1,得7y2-12y=0.解得y=0或y=127,所以y1=127.因此AMN的面积SAMN=212127127=14449.(2)证明:将直线AM的方程y=k(x+2)(k0)代入x24+y23=1,得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.由x1(-2)=16k2-123+4k2,得x1=2(3-4k2)3+4k2,故|AM|=|x1+2|1+k2=121+k23+4k2.由题设,直线AN的方程为y=-1k(x+2).故同理可得|AN|=12k1+k23k2+4.由2|AM|=|AN|得23+4k2=k3k2+4,即4k3-6k2+3k-8=0.设f(t)=4t3-6t2+3t-8,则k是f(t)的零点.f(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)20,所以f(t)在(0,+)上单调递增.又f(3)=153-260,因此f(t)在(0,+)上有唯一的零点,且零点k在(3,2)内,所以3k2.3.证明:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x124+y123=1,x224+y223=1.两式相减,并由y1-y2x1-x2=k得x1+x24+y1+y23k=0.由题设知x1+x22=1,y1+y22=m,于是k=-34m.由题设得0m32,故k-12.(2)由题意得F(1,0).设P(x3,y3),则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).由(1)及题设得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m0,y0),则PF1PF2=(-3-x,-y)(3-x,-y)=x2+y2-3=-54,即x2+y2=74.由x2+y2=74,x24+y2=1,解得x2=1,y2=34,x=1,y=32,故P1,32.(2)显然x=0不满足题设条件,可设直线的方程为y=kx+2(k0),设A(x1,y1),B(x2,y2).由x24+y2=1,y=kx+2,得(1+4k2)x2+16kx+12=0,x1x2=121+4k2,x1+x2=-16k1+4k2,由=(16k)2-4(1+4k2)120,即16k2-3(1+4k2)0,得k234.又AOB为锐角,cosAOB0,OAOB0,OAOB=x1x2+y1y20,又y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4,x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=(1+k2)121+4k2+2k-16k1+4k2+4=12(1+k2)1+4k2-2k16k1+4k2+4=4(4-k2)1+4k20,k24.综合可知34k24,k的取值范围是-2,-3232,2.【自我检测】解:(1)证明:由题意可得,直线l的斜率存在,故可设l的方程为y=k(x-1)(k0).由y2=4x,y=k(x-1),得ky2-4y-4k=0,则y1y2=-4kk=-4为定值.(2)由(1)知,y1+y2=4k,x1+x2=y1+y2k+2=4k2+2,则|AB|=x1+x2+p=4k2+41,解得k1或k0,且k-40,解得k|FM|,所以点N的轨迹E为椭圆,且2a=4,c=3,所以a=2,b=1,所以轨迹E的方程为x24+y2=1.(2)(i)当AB为长轴(或短轴)时,依题意知,点C就是椭圆的上、下顶点之一(或左、右顶点之一),此时SABC=12|OC|AB|=2.(ii)当直线AB的斜率存在且不为0时,设其斜率为k,直线AB的方程为y=kx(k0).由x24+y2=1,y=kx,得xA2=41+4k2,yA2=4k21+4k2,所以|OA|2=xA2+yA2=4(1+k2)1+4k2.由|AC|=|BC|知,ABC为等腰三角形,O为AB的中点,OCAB,所以直线OC的方程为y=-1kx.由x24+y2=1,y=-1kx解得xC2=4k24+k2,yC2=44+k2,所以|OC|2=xC2+yC2=4(1+k2)4+k2.则SABC=2SOAC=|OA|OC|=4(1+k2)1+4k24(1