九年级数学下册2.4.1二次函数的应用教案2.docx

课题：2.4二次函数的应用 教学目标：1经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值.2能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值问题3能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格进一步体会数学与人类社会的密切联系.教学重点与难点：重点：经历探究矩形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值.难点：能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题课前准备：导学案,多媒体课件教学过程:一、创设情境，导入新课活动内容：（利用导学案）探究活动：以小组为单位，用长1米的绳子围成不同的图形，看哪个小组围成的图形最多，并估算出所围成的这些图形中，哪个图形的面积最大？图 形面 积处理方式：学生先把答案写在导学案上，然后小组内交流，班级内比较的到当场合款相等时面积最大.设计意图:增加学生的动手能力和小组合作探究能力，同时也为了复习图形的面积公式，会用估算的方法比较这些图形的面积大小，探究其中的规律，为本节课学习最大面积问题做好铺垫二、探究学习，感悟新知活动内容：（多媒体展示）ACBDEF40m30m问题一：探究两边在直角三角形直角边上内接矩形的最大面积如图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上（1）设长方形的一边ABx m，那么AD边的长度如何表示？（2）设长方形的面积为y m2，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？解：（1）BCAD，EBCEAF又ABx，BE40x，BC(40x)ADBC(40x)30x（2）yABADx(30x)x230x（x240x400400）（x240x400）300（x20）2300当x20时，y最大300即当x取20m时，y的值最大，最大值是300m2处理方式：学生讨论交流，在导学案上完成后，学生之间互相展示结果讨论补充,教师适时点评，并在多媒体上展示正确结果.设计意图：从矩形的面积公式入手，利用相似三角形的性质表示出另外一条边，才能列出函数表达式，这一过程先由学生独立思考后，分组合作探究、交流，帮助个别存在困难的同学解决此题的思路也是解决矩形最大面积问题最常用的方法问题二：探究一边在直角三角形斜边上内接矩形的最大面积（多媒体展示）如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中在斜边上，在直角边上如果设矩形的一边，那么边的长度如何表示？当取何值时，矩形面积的值最大？最大值是多少？ACBDEF40m30mGMN解：设矩形的一边，由，得，即，当时，有最大值，最大值为处理方式：在有了前面解答问题的经验之后，让学生自主探究，寻求变量与不变量之间的关系，仿照第一种情况，再一次体验解决此类问题的步骤和方法，本环节相当于对问题1的巩固练习，学生在认真听讲的前提下完成应该没有问题，提醒学生计算要认真设计意图：在上一道题的基础上，利用相似三角形的性质表示出矩形的另一条边长，列出二次函数表达式，但此题上了难度，难度在于利用的是相似三角形对应高的比等于相似比这一性质，而且还要用到等积法求直角三角形斜边上的高充分发挥学生的主动探究能力，并由个别程度较好的学生讲解，最后再板书进行反思总结三、例题解析,新知应用活动内容：（多媒体出示例题）某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m当x等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)？此时，窗户的面积是多少？解：7x4yx15，y设窗户的面积是S(m2)，则Sx22xyx22xx23.5x27.5x3.5(x2x)3.5(x)2当x1.07时，S最大4.02即当x1.07m时，S最大4.02m2，此时，窗户通过的光线最多答案：处理方式：本题含有两个图形的面积计算，主要是想进一步提高学生分析问题和解决问题的能力，巩固训练列二次函数表达式和求最值的方法让学生理解通过窗户光线多少与窗户面积大小有关此题处理起来比较繁琐，教师要给予学生及时的指导和帮助，同时也告诉学生数学基本运算也是培养大家做事严谨、有耐心的一个很好的途径设计意图：在学生已有的探究“面积最大值”经验获取的体会中，让学生继续沿着这条探究路线走下去，既能巩固前面的探究方法，又能让学生再次感受“数学来源于生活”.方法提炼：我们已经做了不少用二次函数知识解决实际问题的例子，现在大家能否根据前面的例子作一下总结，解决此类问题的基本思路是什么呢？与同伴进行交流（学生讨论，教师多媒体展示） (1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；(3)用数学的方式表示它们之间的关系；(4)做函数求解；(5)检验结果的合理性，拓展等设计意图：趁热打铁，及时进行小结，总结做题的方法及思路，抓住这种题目的本质，达到举一反三的目的和效果四、拓展提升,学以致用一养鸡专业户计划用116m长的竹篱笆靠墙围成一个长方形鸡舍，怎样设计才能使围成的长方形鸡舍的面积最大？最大为多少？解：设AB长为x m，则BC长为(1162x)m，长方形面积为S m2根据题意得Sx(1162x)2x2116x2(x258x292292)2(x29)21682当x29时，S有最大值1682，这时1162x58即设计成长为58m，宽为29m的长方形时，能使围成的长方形鸡舍的面积最大，最大面积为1682m2处理方式：学生通过思考并交流讨论，探索出需要利用本节课学的知识解决题目，教师利用多媒体展示答案. 活动的设计意在通过问题的变式促使学生灵活运用知识，在解决实际问题中,重视知识的发展,有利于后续学习兴趣的培养.设计意图：让同学们通过刚才的学习和体验后进行练习，深入浅出地对题目进行分析和理解并解决问题，虽然并不要求他们在以后都用这样的方法解题，但对于培养他们形成良好的心理素质和培养他们分析问题、解决问题的能力是很有帮助的五、回顾反思，提炼升华师：同学们，通过这节课的学习，你有哪些收获？那些疑惑？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家（1）通过本节课掌握了利用相似三角形的性质表示矩形的另一边，是列矩形面积函数关系式的关键（2）图形最大面积问题，实质上是二次函数的最值问题（3）解决此类问题，首先要理解问题，分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系是难点，用数学的方式表示它们间的关系是关键，化归为二次函数运用公式求解是易错点，要做对做全需要我们一定基本功扎实，养成良好的数学素养！处理方式：学生畅谈自己的收获，教师补充.设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，进一步培养学生总结归纳的能力与合作互助的意识.六、达标检测，反馈提高师：通过本节课的学习，同学们的收获真多！收获的质量如何呢？请完成导学案中的达标检测题（同时多媒体出示）1.如图,已知ABC是一等腰三角形铁板余料,其中AB=AC=20cm,BC=24cm.若在ABC上截出一矩形零件DEFG,使EF在BC上,点D、G分别在边AB、AC上.问矩形DEFG的最大面积是多少?2.如图,ABC中,B=90,AB=6cm,BC=12cm.点P从点A开始,沿AB边向点B 以每秒1cm的速度移动;点Q从点B开始,沿着BC边向点C以每秒2cm的速度移动.如果P,Q 同时出发,问经过几秒钟PBQ的面积最大?最大面积是多少?参考答案1.过A作AMBC于M,交DG于N,则AM=16cm.设DE=xcm,S矩形=ycm2,则由ADGABC,故,即,故DG=(16-x).y=DGDE=(16-x)x=-(x2-16x)=-(x-8)2+96,从而当x=8时,y有最大值96.即矩形DEFG的最大面积是96cm2.2.设第t秒时,PBQ的面积为ycm2.则AP=tcm,PB=(6-t)cm;又BQ=2t.y=PBBQ=(6-t)2t=(6-t)t=-t2+6t=-(t-3)2+9,当t=3时,y有最大值9.故第3秒钟时PBQ的面积最大,最大值是9cm2.处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况学生根据答案进行纠错设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅