八年级数学下册可化为一元一次方程的方程分式方程的解法及其典例分析素材新华东师大版.docx

分式方程的解法及其典例分析一、内容综述：1解分式方程的基本思想在学习简单的分式方程的解法时，是将分式方程化为一元一次方程，复杂的（可化为一元二次方程）分式方程的基本思想也一样，就是设法将分式方程“转化”为整式方程即 分式方程整式方程2解分式方程的基本方法(1)去分母法去分母法是解分式方程的一般方法，在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方程但要注意，可能会产生增根。所以，必须验根。产生增根的原因：当最简公分母等于0时，这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数，所得方程与原方程同解)，这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解检验根的方法：（1）将整式方程得到的解代入原方程进行检验，看方程左右两边是否相等。（2）为了简便，可把解得的根直接代入最简公分母中，如果不使公分母等于0，就是原方程的根；如果使公分母等于0，就是原方程的增根。必须舍去注意：增根是所得整式方程的根，但不是原方程的根，增根使原方程的公分母为0用去分母法解分式方程的一般步骤： (i)去分母，将分式方程转化为整式方程； (ii)解所得的整式方程； (iii)验根做答(2)换元法为了解决某些难度较大的代数问题，可通过添设辅助元素（或者叫辅助未知数）来解决辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量，从而把问题化繁为简，化难为易，使未知量向已知量转化，这种思维方法就是换元法换元法是解分式方程的一种常用技巧，利用它可以简化求解过程用换元法解分式方程的一般步骤： (i)设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式； (ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值； (iii)把辅助未知数的值代回原设中，求出原未知数的值； (iv)检验做答注意：（1）换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。它的基本思想是用换元法把原方程化简，把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程。（2）分式方程解法的选择顺序是先特殊后一般，即先考虑能否用换元法解，不能用换元法解的，再用去分母法。（3）无论用什么方法解分式方程，验根都是必不可少的重要步骤。二、例题精析：例1解分式方程：。分析：解分式方程的思路是把方程去分母化为整式方程。解：方程两边都乘以x(x+2)，约去分母，得 x+4-x=2(x+2)+x(x+2) 整理后，得x2+4x=0 解这个方程，得x1=0, x2=-4, 代入公分母检验： 当x1=0时，x(x+2)=0(0+2)=0, x=0是增根； 当x2=-4时，x(x+2)=-4(-4+2)0, x=-4是原方程的根。 故原方程的根是x=-4。例2解方程：。分析：本题中各个分式的分子与分母是同次多项式，故从中析出一个整数来（用拆分分式的方法），；考虑方程中有四个分式，可以移项后利用公式把分式拆项，将方程化简。解： 即， 移项，整理，得 ， 即， 亦即， 去分母，得(x-6)(x-5)=(x-9)(x-8)，去括号，整理，得x=7.经检验，x=7是原方程的根。 原方程的根是x=7。例3解方程。解法1：方程两边都乘以(x+4)(x+5)(x+2)(x+3)，去分母，得 (x+3)2(x+5)(x+2)-(x+4)2(x+2)(x+3) =(x+1)(x+4)(x+5)(x+3)-(x+2)2(x+4)(x+5) 即4x+14=0,， 经检验知是原方程的解。解法2：方程两边分别通分，得 ， 即， (x+5)(x+4)=(x+2)(x+3)解得。解法3：利用拆分分式的方法将原来的方程变形。 原方程可化为 即：， 两边分别通分，得，解之，得 。例4解方程。解：设， 则原方程变形为y2-5y+6=0, 解得y1=2, y2=3, 由，解得x1=4; 由，解得x2=3. 经检验x1=4, x2=3，都是原方程的根。例5用换元法解方程.解：设2x2+3x=y，于是原方程变为，整理，得y2-4y-5=0 解得y1=5, y2=-1. 当y=5时，即2x2+3x=5, 解得x1=1, , 当y=-1时，2x2+3x=-1，解得x3=-1, , 经检验，x1=1, , x3=-1, 都是原方程的根。 原方程的根为x1=1, , x3=-1, 。例6解方程。分析：利用方程左边结构特点，构造一元二次方程来解。解：设，所以原方程变形为：, 整理得：y2-7y+10=0 解得y1=2, y2=5， 当y1=2时，即， x1=0, x2=2; 当y2=5时， 即x2-5x+9=0 （0，此方程无实根） 经检验，x1=0, x2=2是原方程的解。例7解方程.分析：此方程初看起来容易把，视为，而实际上，所以.但是,就是说原方程可变形为, 变形后才可用换元法解此方程。解：原方程可化为 即,设, 则原方程可化为：2y2-3y-5=0 解得y1=-1, y2=, 当y=-1时，, 去分母整理，得x2+x+1=0 解这个方程，0, 方程无解。 当y=时，, 去分母整理，得2x2-5x+2=0 解得x1=2, , 经检验，x1=2, 都是原方程的根。 原方程的根是x1=2, 。 （注意：切勿把看作 ）例8若分式方程有增根x=2，求a的值。分析：将方程的两边同乘以最简公分母(x+2)(x-2)，得a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0，若分式方程有增根x=2，则x=2一定是整式方程