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电工学教研室 第3章 正弦交流电路 返回返回 3.1 正弦电压与电流 3.3 电阻元件、电感元件与电容元件 3.4 电阻元件的交流电路 3.5 电感元件的交流电路 3.6 电容元件的交流电路 3.7 电阻、电感与电容元件的交流电路 3.8 阻抗的串联与并联 3.9 交流电路的频率特性 3.10 功率因数的提高 3.2 正弦量的相量表示法 目录 直流电和正弦交流电 前面两章分析的是直流电路，其中的电压和电流的大小 和方向是不随时间变化的。 3.1 正弦电压与电流 直流电压和电流 返回 正弦电压和电流 实际方向和参考方向一致 实际方向和参考方向相反 正半周 实际方向和参考方向一致 负半周 实际方向和参考方向相反 正弦交流电的电压和电流是按照正弦规律周期性变化的。 3.1.1 频率和周期 正弦量变化一次所需要的时间（秒）称为周期（T）。 每秒内变化的次数称为频率（ ），单位是赫兹（Hz）。 我国和大多数国家采用50Hz的电力标准， 有些国家（美国、日本等）采用60Hz。 小 常 识 正弦量变化的快慢还可用角频率来表示： 频率是周期的倒数: =1/T 已知 =50Hz,求T 和。 解T=1/ =1/50=0.02s, =2 =23.1450314rad/s 例题3.1 3.1.2 幅值和有效值 瞬时值和幅值 正弦量在任一瞬间的值称为瞬时值，用小写字母表示，如 、u、e 等。 瞬时值中的最大的值称为幅值或最大值，用带下标m的大写字母表示， 如Im、Um、Em等。 有效值 在工程应用中常用有效值表示交流电的幅度。一般所讲的正 弦交流电的大小，如交流电压380V或220V，指的都是有效值。 有效值是用电流的热效应来规定的。设一交流电流和一直流 电流I 流过相同的电阻R，如果在交流电的一个周期内交流电和直 流电产生的热量相等，则交流电流的有效值就等于这个直流电的 电流I。 则 交流直流 根据热效应相等有： 正弦电压和电动势的有效值： 有效值都用大写字母表示！ 由可得正弦电流的有效值： 3.1.3 初相位 相位 表示正弦量的变化进程，也称相位角。 初相位 t =0时的相位。 相位：初相位： 0 相位：初相位： 初相位给出了观察正弦波的起点或参考点。 说 明 相位差 两个同频率的正弦量的相位之差或初相位之差称为相位差。 则 和 的相位差为： 当 时， 比 超前 角， 比 滞后 角。 正弦交流电路中电压和电流的频率是相同的，但初相不 一定相同，设电路中电压和电流为： 同相反相的概念 同相:相位相同，相位差为零。 反相:相位相反，相位差为180。 总 结 描述正弦量的三个特征量： 幅值、频率、初相位 返回 O 下面图中是三个正弦电流波形。 与 同相， 与 反相。 3.2 正弦量的相量表示法 正弦量的表示方法： 三角函数式： 波形图： 相量法：用复数的方法表示正弦量 返回 一个正弦量可以用旋转的有向线段表示。 相量法 有向线段的长度表示正弦量的幅值； 有向线段(初始位置)与横轴的夹角表示正弦量的初相位; 有向线段旋转的角速度表示正弦量的角频率。 正弦量的瞬时值由旋转的有向线段在纵轴上的投影表示。 有向线段可以用复数表示。 复数的加减运算可用直角坐标式，乘除法运算可 用指数式或极坐标式。 直角坐标式： 指数式： 极坐标式式： 有向线段OA可用复数形式表示： 表示正弦量的复数称为相量 注意： 相量用上面打点的大写字母表示。 由复数知识可知：j为90旋转因子。一个相量乘上+j 则旋转 +90；乘上-j 则旋转- 90。 复数的模表示正弦量的幅值或有效值 复数的辐角表示正弦量的初相位 正弦电压 的相量形式为： 有效值相量 幅值相量： 一个正弦量可以用旋转的有向线段表示，而有向线段 可以用复数表示，因此正弦量可以用复数来表示。 把表示各个正弦量的有向线段画在一起就是相量图， 它可以形象地表示出各正弦量的大小和相位关系。 相量图 电压相量比电流相量 超前角 1. 只有正弦周期量才能用相量表示。 2. 只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上。 注意 解解 (1)(1)用用复数形式复数形式求解求解 根据根据基尔霍夫电流定律基尔霍夫电流定律： 在如图所示的电路中，设 ： 求总电流 。 例题3.2 （2）用相量图求解 画出相量图，并作出平行四边形，其对角线即是总电流。 返回 3.3 电阻元件、电感元件和电容元件 在直流电路中（稳态），电感元件可视为短路， 电容元件（稳态）可视为开路。 在交流电路中，电感元件和电容元件中的电流均 不为零。 电阻元件：消耗电能，转换为热能（电阻性） 电感元件：产生磁场，存储磁场能（电感性） 电容元件：产生电场，存储电场能（电容性） 返回 3.3.1 电阻元件 对电阻元件，其电压电流满足欧姆定律： 把上面两式相乘并积分，得： 由此可知，电能全部消耗在电阻上，转换为热能。 金属导体的电阻值与其材料导电性及尺寸的关系为： 其中：、S分别为导体的电阻率、长度、横截面积。 3.3.2 电感元件 对于一个电感线圈，习惯上规定感应电动势的参考方 向与磁通的参考方向之间符合右手螺旋定则。 线圈的感应电动势为： 电感的定义 如果磁通是由通过线圈的电流 产生的，则： L为线圈的电感，也称为自感。 此时的感应电动势也称为自感电动势： 线圈的电感与线圈的尺寸、匝数及介质的磁导率有关： 电感的单位为亨利(H). 电感元件的电压电流关系 电感中出现的自感电动势表现在电感两端有电压降产生。 设一电感元件电路电压、电流及电动势的参考方向如图所示。 根据基尔霍夫电压定律：基尔霍夫电压定律： 从而： 把上式两边积分可得： 式中 为t=0时电流的初始值。如果 0则： 电感元件的磁场能量 因此电感元件中存储的磁场能量为： 返回 把式 两边乘以 并积分得： 3.3.3 电容元件 电容元件的电容C定义为电容上的电量与电压的比值： 电容的定义 电容的大小与电容元件的尺寸及介质的介电常数有关。 平行板电容器的电容为： 式中为介质的介电常数，S为极板面积，d为极板间距离。 单位为法拉(F). 电容元件的电压与电流的关系 对于图中的电路有： 对上式两边积分，可得： 式中u0为t=0时电压的初始值。如果u00则： 电容元件的电场能量 电容元件中存储的电场能量为： 把式 两边乘以u并积分得： 特征 电阻元件电感元件电容元件 参数定义 电压电流关系 能量 元件 总结 如果一个电感元件两端的电压为零，其 储能是否也一定为零？如果一个电容元件中 的电流为零，其储能是否一定为零？ 思考题 返回 3.4 电阻元件的交流电路 电压电流关系 设图中电流为： 根据欧姆定律： 从而： 电压和电流频率相同，相位相同。 相量形式的欧姆定律 返回 瞬时功率 电压和电流瞬时值的乘积就是瞬时功率： p0，总为正值，所以电阻元件消耗电能，转换为热能。 平均功率 平均功率是一个周期内瞬时功率的平均值： 电压、电流、功率的波形 返回 3.5 电感元件的交流电路 电压电流关系 设一非铁心电感线圈(线性电感元件， L为常数),假定电阻为零。根据基尔霍夫电 压定律： 设电流为参考正弦量： 电压和电流频率相同，电压比电流相位超前90。 返回 从而： 注意！ 这样，电压电流的关系可表示为相量形式： L 单位为欧姆。电压U 一定时L越大电流I越小 ，可见它对电流起阻碍作用, 定义为感抗： 感抗XL与电感L、频率 成正比。对于直流电 0， XL0，因此电感对直流电相当于短路。 瞬时功率 P=0表明电感元件不消耗能量。只有电源与电感元件间 的能量互换。用无功功率来衡量这种能量互换的规模。 平均功率（有功功率） 平均功率衡量电路中所消耗的电能，也称有功功率。 无功功率 电感元件的无功功率用来衡量电感与电源间能量互换 的规模，规定电感元件的无功功率为瞬时功率的幅值 （它并不等于单位时间内互换了多少能量）。它的单 位是乏（var）。 无功功率是否与频率有关？ 思考题 返回 电压、电流、功率的波形 返回 在第一个和第三个1/4周期内，电流在增大，磁场在建立， p为正值（u 和 正负相同），电感元件从电源取用能量，并转 换为磁场能量；在第二个和第四个1/4周期内,电流在减小， p 为负值（u 和 一正一负），磁场在消失，电感元件释放原先 储存的能量并转换为电能归还给电源。这是一个可逆的能量转 换过程。在一个周期内，电感元件吸收和释放的能量相等。 3.6 电容元件的交流电路 电压电流关系 对于电容电路： 如果电容两端加正弦电压： 则： 电压和电流频率相同，电压比电流相位滞后90。 返回 从而： 这样，电压电流的关系可表示为相量形式： (1/C)单位为欧姆。电压U一定时(1/C)越大电流 I越小,可见它对电流起阻碍作用, 定义为容抗： 容抗XC与电容C，频率 成反比。对直流电 0， XC，因此电容对直流相当于开路，电容具有隔直通 交的作用。 瞬时功率 平均功率（有功功率） 电容的平均功率（有功功率）： P=0表明电容元件不消耗能量。只有电源与电容元件 间的能量互换。 无功功率 为了同电感的无功功率相比较，设电流 为参考正弦量，则： 这样，得出的瞬时功率为： 由此，电容元件的无功功率为： 电容性无功功率为负值，电感性无功功率取正值。 电压、电流、功率的波形 返回 在第一个和第三个1/4周期内，电压在增大，电容在充电， p为正值（u 和 正负相同），电容元件从电源取用能量，并转 换为电场能量；在第二个和第四个1/4周期内,电压在减小，p 为负值（u 和 一正一负），电容在放电，电容元件释放原先储 存的能量并转换为电能归还给电源。这是一个可逆的能量转换 过程。在一个周期内，电容元件吸收和释放的能量相等。 3.7电阻、电感与电容元件串联的交流电路 电压电流关系 根据基尔霍夫电压定律： 设串联电路电流为参考正弦量，则： 同频率的的正弦量相加，得出的仍为同频率的正弦量，所以可得出下面 形式的电源电压： 返回 相量关系 基尔霍夫电压定律的相量形式为： 由此： 其中 实部为“ 阻”，虚部为“ 抗”，称为阻抗。 阻抗Z不是一个相量，而是一个复数计算量。 阻抗模： 单位为欧姆。反映了电压与电流之间的大小关系。 阻抗角（电压与电流的相位差）： 其大小由电路参数决定，反映了电压与电流之间的相位关系。 复数形式的欧姆定律： 由此可得： 复数形式的欧姆定理： 相量图 电压三角形 相量图中由 、 、 构成的三角形称为电压三角形。 瞬时功率 平均功率（有功功率） 根据电压三角形： 于是有功功率为 ： 无功功率 功率因数 视在功率 单位为：伏安（VA） 功率电压阻抗三角形 返回 有功功率、无功功率和视在功率的关系： 3.8 阻抗的串联与并联 3.8.1 阻抗的串联 根据基尔霍夫电压定律： 用一个等效阻抗Z 两个串联的阻抗，则： 比较上面两式得等效阻抗为： 返回 ， 多个阻抗串联时，等效阻抗为： 式中： 注 意 ！ 对于两个阻抗串联电路,一般情况下： 即： 所以： 两个阻抗串联时，什么情况下： 成立？ 思考题 例题3.3 两个阻抗 和 串联接在 的电 源上。试用相量计算电路的电流和各阻抗上的电压。 解 验算方法：是否 3.8.2 阻抗的并联 根据基尔霍夫电流定律： 用一个等效阻抗Z 两个并联的阻抗，则： 比较上面两式得等效阻抗为： 或 多个阻抗并联时： 对于两个阻抗并联电路,一般情况下： 注 意 ！ 即： 所以： 两个阻抗并联时，什么情况下： 成立？ 思考题 例题3.4 两个阻抗 和 并联接在 的电 源上。计算电路的各支路的电流和总电流。 返回 3.9 交流电路的频率特性 频率特性：电路中电压和电流随频率变化的关系。 时域分析：在时间领域内对电路进行分析。 频域分析：在频率领域内对电路进行分析。 3.9.1 RC串联电路的频率特性 概念 传递函数：电路输出电压与输入电压的比值。 返回 1.低通滤波电路 设则： 式中： 传递函数： 幅频特性： 相频特性： 频率特性： 0 0 0.7071 0 0.707 1 O O 0时, 明显下降。 由幅频特性可知： 低通滤波电路使低频信号容易通过，抑制高频信号。 由此可见： 定义： 半功率点频率： 当 时， 当 时， 分贝数定义： -3dB频率： 2.高通滤波电路 设则： 传递函数： 式中： 幅频特性： 频率特性： 相频特性： 高通滤波器使高频信号容易通过，抑制低频信号。 0 1 0.707 1 0 0.707 1 O O 3.带通滤波电路 传递函数： 设则： 频率特性： 幅频特性： 0.707/3 )(w j0 0 1/3 0 0 相频特性： 通频带： 1/3 3.9.2 串联谐振 串联谐振频率： 串联谐振的条件： 则： 如果： 电压与电流同相，发生串联谐振。 谐振的概念：含有电感和电容的交流电路，电路两端电压 和电路的电流同相，这时电路中就发生了谐振现象。 串联谐振特征： (1)电路的阻抗模最小，电流最大。 因为 所以 从而在电源电压不变的情况下，电路中的电流达到最大值： (2)电压与电流同相，电路对外呈电阻性。 此时，电路外部（电源）供给电路的能量全部被电阻消耗，电 路不与外部发生能量互换。能量的互换只发生在电感与电容之间。 (3) 和 有效值相等，相位相反，互相抵消，对整个 电路不起作用，因此电源电压 。 在电力工程中应避免串联谐振，以免电容 或电感两端电压过高造成电气设备损坏。 在无线电技术中常利用串联谐振，以获得 比输入电压大许多倍的电压。 应用常识 (4)当 时， 。 因为 和 可能超过电源电压的许多倍因此串联谐振 也称为电压谐振。 品质因数-Q 串联谐振时电感或电容上的电压和总电压的比值。 串联谐振时: 所以： 串联谐振特性曲线 (1) 时，发生串联谐振, 电路对外呈电阻性。 (2) 时， 电路对外呈电容性。 (3) 时， 电路对外呈电感性。 感性容性 :下限截止频率 :上限截止频率 :通频带 Q值越大谐振曲线越尖锐， 电路的频率选择性越强。 3.9.3 并联谐振 并联谐振条件： 电路的等效阻抗为： 线圈的电阻很小，在谐振时LR，上式可写成： 并联谐振频率： 并联谐振特征： (1)电路的阻抗模最大，电流最小。 在电源电压不变的情况下，电路中的电流达到最小值： (2)电压与电流同相，电路对外呈电阻性。 (3)两并联支路电流近于相等，且比总电流大许多倍。 当 并联谐振时两并联支路的电流近于相等且比总电流 大许多倍。因此并联谐振又称为电流谐振。 品质因数-Q 并联谐振时支路的电流和总电流的比值。 返回 并联谐振特性曲线 Q值越大谐振曲线越尖锐， 电路的频率选择性越强。 3.10 功率因数的提高 负载的有功功率： 负载的无功功率： 功率因数低的原因： 只有电阻性负