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文档简介

,2019/2/14,一、初等变换与初等矩阵,引例 线性方程组的三种等价变换,2019/2/14,矩阵的初等变换 对换、倍法、消法变换,2019/2/14,2019/2/14,初等矩阵 对单位阵施行初等变换而得。,i行,j行,（1）对换矩阵,对换矩阵可逆。,2019/2/14,i行,（2）倍法矩阵,倍法矩阵可逆。,2019/2/14,i行,j行,（3）消法矩阵,消法矩阵可逆。,2019/2/14,注意 初等阵均可逆，且逆阵仍为初等阵。,2019/2/14,定理,左乘初等阵，作行变换。,右乘初等阵，作列变换。,2019/2/14,二、矩阵的标准形,定义 mn阶矩阵的标准形,2019/2/14,定理 任何矩阵a均可经有限次初等 变换化为标准形d。,注 具有相同标准形的矩阵称为等价矩阵。,定义 若矩阵a经有限次初等变换化 为矩阵b，则称a与b等价。记为,注 任何矩阵a与其标准形d等价。,2019/2/14,矩阵等价关系的性质,（1）反身性：,（2）对称性：,（3）传递性：,2019/2/14,解,例 化a为标准形,2019/2/14,2019/2/14,2019/2/14,性质1 设a是一个m*n矩阵，对a施行一次初等行变换， 相当于左乘对应的m阶初等矩阵， 对a施行一次初等列变换，相当于右乘对应的 n阶初等矩阵。,2019/2/14,性质2 方阵a可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵 p1,p2,pl,使得： a=p1p2pl,2019/2/14,定理1 ()a行等价于b的充要条件是存在m阶可逆矩阵p, 使：pa=b; ()a列等价于b的充要条件是存在m阶可逆矩阵q, 使：aq=b; ()a等价于b的充要条件是存在m阶可逆矩阵p, n阶可逆矩阵q, 使：paq=b;,2019/2/14,定理1 说明了矩阵可经初等变换直接判定是否可逆。,一般地，对矩阵进行初等变换，由不同 类型的矩阵会得到不同的等价矩阵。如,方阵,非方阵,三角阵,对角阵,阶梯形,标准形,标准形（不可逆）,单位阵（可逆）,2019/2/14,三、初等变换求逆法,性质2 a可逆的充要条件为a可表为若干 初等阵之积.,定理1推论 a可逆，则a 可由初等行变换化 为单位阵。,2019/2/14,求逆方法,2019/2/14,例,解,2019/2/14,2019/2/14,例,2019/2/14,全为零， a不可逆。,解,2019/2/14,四、利用初等行变换解矩阵方程、 线性方程组,例,2019/2/14,解,用初等行变换求得：,2019/2/14,例,2019/2/14,法2 初等变换法,解 法1 先求a的逆，再求,2019/2/14,例 解线性方程组,2019/2/14,解 设方程的矩阵形式为,则,2019/2/14,2019/2/14,所以,2019/2/14,五、小结与思考,1.初等行(列)变换,初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同,3.
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