资金的时间价值和等效计算.ppt

第五章 资金的时间价值资金的时间价值 和等效计算和等效计算 例例: :美国财团，美国财团，19851985与政府联合操纵资本市场。与政府联合操纵资本市场。 假设在假设在19831983年，美元、日元年，美元、日元1 1：240240，美国财团用，美国财团用100100亿美亿美 元兑换成元兑换成2400024000亿日元，进入日本市场买股票和房地产，亿日元，进入日本市场买股票和房地产， 股市和房地产疯狂上涨。股市和房地产疯狂上涨。 19851985年广场协议签订，日元开始升值，到年广场协议签订，日元开始升值，到19881988年初，股市年初，股市 和房地产假设已经涨了一倍（和房地产假设已经涨了一倍（5 5年），那就是年），那就是4800048000亿日元亿日元 。日元升值到。日元升值到1:1201:120。 把日本的房地产和股票在一年中抛售完，然后兑换回美元把日本的房地产和股票在一年中抛售完，然后兑换回美元 ，就是，就是400400亿美元！在亿美元！在5 5年时间中，美国财团净赚年时间中，美国财团净赚300300亿美亿美 元！。元！。 日本？突然离开的巨额外资导致日本经济崩溃！即经济学日本？突然离开的巨额外资导致日本经济崩溃！即经济学 的的“泡沫经济破灭泡沫经济破灭”。这就是日本常说的：。这就是日本常说的：“失去的十年失去的十年 ”。 美国财团连本带利美国财团连本带利400400亿美元回到美国，美国经济旺盛！亿美元回到美国，美国经济旺盛！ 日本日本“失去的十年失去的十年”是美国是美国“兴旺的十年兴旺的十年”！ 资金的时间价值和等效计算是工程资金的时间价值和等效计算是工程 项目或方案经济效果动态评价的理项目或方案经济效果动态评价的理 论基础。论基础。 5.1 5.1 概述概述 年末年末方案方案A A方案方案B B 0 0 -2000-2000-2000-2000 1 1 14001400500500 2 2 800800700700 3 3 600600800800 4 4 30030011001100 资资资资金的金的时间时间时间时间 价价值值值值 资金的一个重要特征就是具有时间价值。资金的一个重要特征就是具有时间价值。 不同时间发生的等额资金在价值上存在的差别不同时间发生的等额资金在价值上存在的差别 称为称为资金的时间价值资金的时间价值。 影响资金时间价值的因素影响资金时间价值的因素 资金的运动规律是其价值随时间的变化而变化资金的运动规律是其价值随时间的变化而变化 。影响资金时间价值的因素有：。影响资金时间价值的因素有： n n 投投资资资资盈利率或收益率；盈利率或收益率； n n 通通货货货货膨膨胀胀胀胀、货币贬值货币贬值货币贬值货币贬值 ； n n 承担承担风险风险风险风险 （如（如补偿损补偿损补偿损补偿损 失）。失）。 资金时间价值的产生资金时间价值的产生 资金转化为资本，购买生产资料和劳动力；资金转化为资本，购买生产资料和劳动力； 通过加工生产出新的商品，新商品的价值大于所投入通过加工生产出新的商品，新商品的价值大于所投入 生产要素的价值，即包含了劳动者新创造的价值；生产要素的价值，即包含了劳动者新创造的价值； 新商品通过销售变成货币，货币得到增值。新商品通过销售变成货币，货币得到增值。 承认资金的时间价值的意义承认资金的时间价值的意义 资金参与生产流通的运动过程中才能增值，而资金呆滞资金参与生产流通的运动过程中才能增值，而资金呆滞 会造成一定经济损失，而且是一种不容忽视的机会损失会造成一定经济损失，而且是一种不容忽视的机会损失 。因此，培养资金时间价值的观念，加强对资金利用的。因此，培养资金时间价值的观念，加强对资金利用的 动态分析是非常重要的动态分析是非常重要的 n n 一是节约使用资金；一是节约使用资金； n n 二是最大限度的、合理的、充分有效的利用资金，以取得更好的二是最大限度的、合理的、充分有效的利用资金，以取得更好的 经济效益。经济效益。 评价项目技术方案时，不仅评价方案的投资是否节省，评价项目技术方案时，不仅评价方案的投资是否节省， 还要评价方案的投资运用是否合理，经济效益是否良好还要评价方案的投资运用是否合理，经济效益是否良好 。从而提高技术经济评价的科学性，促进对资金的合理。从而提高技术经济评价的科学性，促进对资金的合理 利用和有效利用。利用和有效利用。 利息和利率利息和利率 利息利息 n n 狭义的利息是指占用资金所付出的代价（或放弃使用资金狭义的利息是指占用资金所付出的代价（或放弃使用资金 所得到的补偿）。所得到的补偿）。 n n 广义的利息是指将资金投入到生产和流通领域中，一定时广义的利息是指将资金投入到生产和流通领域中，一定时 间后的增值部分。包括存（或贷款）所得到（或付出）的间后的增值部分。包括存（或贷款）所得到（或付出）的 报酬（或支出）额和投资的净收益（或利润）。是衡量资报酬（或支出）额和投资的净收益（或利润）。是衡量资 金时间价值大小的绝对尺度。金时间价值大小的绝对尺度。 利率利率 资金在单位时间内（年、月、日等）所产生的增值（资金在单位时间内（年、月、日等）所产生的增值（ 利息或利润）与投入的资金额（本金）之比。即利息或利润）与投入的资金额（本金）之比。即 n n 利率利率= =（单位时间的利息（单位时间的利息/ /本金）本金）100%100% 利率是衡量资金时间价值的相对尺度，一般根据利率利率是衡量资金时间价值的相对尺度，一般根据利率 计算利息。计算利息。 计息周期计息周期 计算利息的时间单位，通常有年、半年、季、计算利息的时间单位，通常有年、半年、季、 月、周等。按计息周期的长短，相应的有年利月、周等。按计息周期的长短，相应的有年利 率、半年利率、季利率、月利率、周利率等。率、半年利率、季利率、月利率、周利率等。 技术经济学中使用最多的计息周期是年。技术经济学中使用最多的计息周期是年。 单利计息单利计息 仅对本金计算利息，对所获得利息不再计息的仅对本金计算利息，对所获得利息不再计息的 一种计息方法。一种计息方法。 n n F=PF=P（1+in1+in） n n 式中：式中：FF本金与利息和；本金与利息和； PP本金；本金； ii利息；利息； nn年限。年限。 例：买一年前发行的债券，面值例：买一年前发行的债券，面值100100元，五年期，年利率元，五年期，年利率10%10%（ 单利），到期一次还本付息，若希望在余下的四年中获得单利），到期一次还本付息，若希望在余下的四年中获得8%8%的的 年利率（单利），问应以什么价格买入？年利率（单利），问应以什么价格买入？ 解：设买入价格解：设买入价格P P元，则元，则 n n P P（1+8%41+8%4）=100=100（1+10%51+10%5） n n 解得解得 P=113.64P=113.64元元 n n 应以不高于应以不高于113.64113.64元的价格买入。元的价格买入。 单利法考虑了资金的时间价值，但对已经产生的利息没单利法考虑了资金的时间价值，但对已经产生的利息没 有转入计算基数计息。因此，有转入计算基数计息。因此，单利法计算资金的时间价单利法计算资金的时间价 值不完善值不完善。 n n 我国目前银行存款和国库券、债券等多以单利计算利息。我国目前银行存款和国库券、债券等多以单利计算利息。 复利计息复利计息 复利计息方法不仅本金计算利息，先前周期产生的利复利计息方法不仅本金计算利息，先前周期产生的利 息在后继周期中也要计息。计算公式息在后继周期中也要计息。计算公式 n n F=P(1+i)F=P(1+i) n n 例：对上例以复利进行计算例：对上例以复利进行计算 n n 解：解：P(1+8%)P(1+8%) 4 4 =100(1+10%)=100(1+10%) 5 5 =118.46 =118.46（元）（元） 由于复利计息比较符合资金在社会再生产过程中运动由于复利计息比较符合资金在社会再生产过程中运动 的实际情况，在技术经济分析中一般采用此法。的实际情况，在技术经济分析中一般采用此法。 名义利率与实际利率名义利率与实际利率 基本概念基本概念 n n 技术经济分析中，通常给出和采用的利率是年利率，技术经济分析中，通常给出和采用的利率是年利率， 一般情况下计算利息的计息周期时间也是以年为单位一般情况下计算利息的计息周期时间也是以年为单位 。但是，有时计息周期也可能是比年短的时间单位，。但是，有时计息周期也可能是比年短的时间单位， 如半年、季、月、周等，一年内的计息次数也相应变如半年、季、月、周等，一年内的计息次数也相应变 为为2 2、4 4、1212、5252次等。次等。 n n 在复利条件下，每计息一次都要产生一部分新的利息在复利条件下，每计息一次都要产生一部分新的利息 ，实际的利率就相应发生变化，由此引出名义利率与，实际的利率就相应发生变化，由此引出名义利率与 实际利率的概念。实际利率的概念。 例：例：本金本金100100元，给定年利率为元，给定年利率为10%10%，假定有两种计息周期，假定有两种计息周期 ，一种以年为单位，一年计息一次；另一种以半年为单位，一种以年为单位，一年计息一次；另一种以半年为单位 ，一年计息两次。现分别计算一年末的利息额及其利率。，一年计息两次。现分别计算一年末的利息额及其利率。 解解： （1 1）n=1 F=P(1+i)n=1 F=P(1+i) 1 1 =100(1+10%)=100(1+10%) 1 1 =110(=110(元元) ) n n 实际利率实际利率= =利息额利息额/ /本金额本金额= =（110-100110-100）/100=10%/100=10% （2 2）n=2 F=P(1+i/2)n=2 F=P(1+i/2) 2 2 =100(1+10%/2)=100(1+10%/2) 2 2 =110.25(=110.25(元元) ) n n 实际利率实际利率= =利息额利息额/ /本金额本金额 = 10.25%= 10.25% 实际利率大于给定年利率，给定的年利率就是年名义利率，实际利率大于给定年利率，给定的年利率就是年名义利率， 但不是计息周期的名义利率。但不是计息周期的名义利率。 通常给定的利率，如没有特别说明，都是名义利率。第一种通常给定的利率，如没有特别说明，都是名义利率。第一种 情况中，计息周期时间与给定利率的时间单位相等，名义利情况中，计息周期时间与给定利率的时间单位相等，名义利 率与实际利率相等。率与实际利率相等。 名义利率的确定名义利率的确定 计息周期时间与给定利率的时间单位相等时，计息周期时间与给定利率的时间单位相等时， 给定利率就是该时间单位的名义利率；给定利率就是该时间单位的名义利率； 计息周期时间小于给定利率的时间单位时，名计息周期时间小于给定利率的时间单位时，名 义利率计算方式分为两种：义利率计算方式分为两种： 名义利率的确定名义利率的确定 确定计息周期的名义利率确定计息周期的名义利率 n n 计息周期的名义利率等于给定利率除以计息周期数。计息周期的名义利率等于给定利率除以计息周期数。 n n 如：给定年利率如：给定年利率10%10%，计息周期为半年计一次，一年计两次，计息周期为半年计一次，一年计两次. .则，则， 半年的名义利率半年的名义利率 r=10%/2=5%r=10%/2=5% 确定给定利率的时间单位的名义利率确定给定利率的时间单位的名义利率 n n 给定利率的时间单位的名义利率应等于计息周期的名义利率乘以给定利率的时间单位的名义利率应等于计息周期的名义利率乘以 计息周期数。计息周期数。 n n 如：计息周期单位为月，即每月计息一次，月名义利率为如：计息周期单位为月，即每月计息一次，月名义利率为1%1%，如，如 果以年作为给定利率的时间单位，则一年计息果以年作为给定利率的时间单位，则一年计息1212次次 n n 年名义利率年名义利率i=1%12=12%i=1%12=12% 实际利率的计算实际利率的计算 设名义利率为设名义利率为r r，实际利率为实际利率为i i，一年计息次数为一年计息次数为m m，则则 一个计息周期的利率为一个计息周期的利率为r/m,r/m,一年后的本利和为：一年后的本利和为： n n F=P(1+r/m)F=P(1+r/m) m m 实际利率实际利率 n n 当当m=1m=1时，实际利率等于名义利率；时，实际利率等于名义利率； n n 当当m m1 1时，实际利率大于名义利率；时，实际利率大于名义利率； n n 当当m m时，即一年中无限多次计息，称为连续复利计息，此时，即一年中无限多次计息，称为连续复利计息，此 时的实际利率为时的实际利率为 例：名义利率为例：名义利率为6%6%（给定年利率），计息周期分别为年（给定年利率），计息周期分别为年 、半年、季、月、周、日，以及连续复利时的实际利率、半年、季、月、周、日，以及连续复利时的实际利率 如下表：如下表： 表中，随着计息周期的缩短（或一年期内计息周期次数的增加）表中，随着计息周期的缩短（或一年期内计息周期次数的增加） ，实际利率也逐渐增大，且随着计息周期的缩短，其实际利率的，实际利率也逐渐增大，且随着计息周期的缩短，其实际利率的 增长率逐渐下降。增长率逐渐下降。 复利期复利期年复利次数年复利次数计息周期利率（计息周期利率（% %）实际年利率实际年利率 年年 1 1 6.00006.00006.00006.0000 半年半年 2 2 3.00003.00006.09006.0900 季季 4 4 1.50001.50006.13646.1364 月月12120.50000.50006.16786.1678 周周52520.11540.11546.17976.1797 日日3653650.01640.01646.17996.1799 连续连续0.00000.00006.18376.1837 现金流量图和资金等效值的概念现金流量图和资金等效值的概念 现金流量图现金流量图 一个项目的实施往往要一个项目的实施往往要 延续一段时间，在项目延续一段时间，在项目 周期内，各种现金流入周期内，各种现金流入 和流出的数额，以及发和流出的数额，以及发 生的时间都不相同，为生的时间都不相同，为 便于分析计算，通常采便于分析计算，通常采 用现金流量图的形式表用现金流量图的形式表 示一定时间内发生的现示一定时间内发生的现 金流量。金流量。 资金等效值的概念资金等效值的概念 资金等效值，也称为资金等值，是指一定数量的资金在资金等效值，也称为资金等值，是指一定数量的资金在 不同时间代表不同的价值，资金必须赋予时间概念，才不同时间代表不同的价值，资金必须赋予时间概念，才 能显示出其真实的意义。能显示出其真实的意义。 等值资金是指在特定的利率下，在不同时间上绝对数额等值资金是指在特定的利率下，在不同时间上绝对数额 不同，而价值相等的若干资金。不同，而价值相等的若干资金。 影响资金等值的因素有：资金额大小、资金发生时间、影响资金等值的因素有：资金额大小、资金发生时间、 利率。利率。 资金等值是进行技术经济分析最基本的手段和方法资金等值是进行技术经济分析最基本的手段和方法。 5.2 5.2 资资资资金的等效金的等效值计值计值计值计 算算 普通复利，普通复利，即间断复利，是相对连续复即间断复利，是相对连续复 利而言的。在技术经济学中，通常采用利而言的。在技术经济学中，通常采用 普通复利计息。普通复利计息。 除特别说明，各项资金的支出或收入都除特别说明，各项资金的支出或收入都 发生在计息周期初或期末。发生在计息周期初或期末。 符号规定符号规定 ii每一利息期的利率，通常为年利率；每一利息期的利率，通常为年利率； nn计息周期数，通常为年数；计息周期数，通常为年数； PP资金的现值，或本金；资金的现值，或本金； FF资金的未来值，或本利和、终值；资金的未来值，或本利和、终值； AA资金的等年值，表示在连续每期期末等额支出或收资金的等年值，表示在连续每期期末等额支出或收 入的中的每一期资金支出或收入额。一般一期的时间为一入的中的每一期资金支出或收入额。一般一期的时间为一 年，通常称为年金。年，通常称为年金。 GG资金的递增年值，各期的支出或收入是均匀递增或资金的递增年值，各期的支出或收入是均匀递增或 均匀递减时，相邻两期资金支出或收入额的差。均匀递减时，相邻两期资金支出或收入额的差。 资金等效值的计算资金等效值的计算 复利终值公式（一次支付终值公式）复利终值公式（一次支付终值公式） n n 一次支付，也叫整付，即到期连本带息一次支付。当投入一次支付，也叫整付，即到期连本带息一次支付。当投入 本金为本金为P P，到期可获得的本利和为到期可获得的本利和为 n n F=P(1+i)F=P(1+i) n n =P(F/P,i,n)=P(F/P,i,n) n n 式中式中(1+(1+i)ni)n称为复利终值系数或一次支付（或整付）终值称为复利终值系数或一次支付（或整付）终值 系数，通常表示为系数，通常表示为( (F/P,i,n)F/P,i,n)。 n n 进行资金等效值计算各种计算系数都可以查复利系进行资金等效值计算各种计算系数都可以查复利系 数表获得（下同）。数表获得（下同）。 例：某公司向银行借款例：某公司向银行借款100100万元，年利率为万元，年利率为10%10%，复利计，复利计 息，借款期五年，问五年末应一次偿还银行的本利和是息，借款期五年，问五年末应一次偿还银行的本利和是 多少？多少？ 解：F=P(1+i)n=100*1.6105=161.05万元 现金流量图现金流量图 复利现值公式（一次支付现值公式）复利现值公式（一次支付现值公式） 经济经济经济经济 含含义义义义：如果想在未来的第：如果想在未来的第n n 期期末一次收入期期末一次收入F F数数额额额额的的现现现现金流金流 量，在利率量，在利率为为为为I I的复利的复利计计计计息条件息条件 下，其下，其现现现现在一次支出（投入）的在一次支出（投入）的 本金（即本金（即现值现值现值现值 ）P P是是为为为为 称称为为为为复利复利现值现值现值现值 系数或一次支付（或整付系数或一次支付（或整付 ）现值现值现值现值 系数，通常表示系数，通常表示为为为为( (P/F,i,n)P/F,i,n)。 现金流量图 = F(P/F,i,n)= F(P/F,i,n) 例：某人计划例：某人计划5 5年后从银行提款年后从银行提款1 1万元，如果银行万元，如果银行 利率为利率为12%12%，问现在应一次存入银行多少钱？，问现在应一次存入银行多少钱？ 解：解： n n P= =11/P= =11/（1+12%1+12%） 5 5 =0.5674=0.5674万元万元 等额系列终值公式（等额分付终值公式）等额系列终值公式（等额分付终值公式） 经济含义：对连续若干期期末等额支付的现金流量经济含义：对连续若干期期末等额支付的现金流量A A，在利率在利率 为为i i的复利计息条件下，其第的复利计息条件下，其第n n期期末的终值期期末的终值F F（即本利和）为即本利和）为 n n F = A(1+i)F = A(1+i)n-1 n-1+ A(1+i) + A(1+i)n-2 n-2+ + A(1+i)+ AA(1+i)+ A = A(1+i) = A(1+i)n-1 n-1+ (1+i) + (1+i)n-2 n-2+ + (1+i)+1(1+i)+1 n n 根据求和公式根据求和公式 称为等额系列终值系数或等额分付终值系数，通称为等额系列终值系数或等额分付终值系数，通 常表示为常表示为( (F/A,i,n)F/A,i,n)。 例：某人从例：某人从2626岁起每年末向银行存入岁起每年末向银行存入1 1万元，万元， 连续连续1010年年, ,如果银行年利率为如果银行年利率为6%6%，问，问1010年后的年后的 本利和是多少？本利和是多少？ 解：解： =1=1（1+6%1+6%）10 10-1/6%=13.181 -1/6%=13.181万元万元 等额系列储金公式等额系列储金公式( (等额分付偿债基金公式等额分付偿债基金公式) ) 经济含义：在利率为经济含义：在利率为i i的复利计息条件下，如果想在未来的的复利计息条件下，如果想在未来的 第第n n期期末一次收入期期末一次收入F F数额的现金流量，那么数额的现金流量，那么, ,在这在这n n期连续期连续 每期期末等额支付每期期末等额支付( (支出支出) )值值A A为为 A= A= = F(A/F,i,n) = F(A/F,i,n) 式中式中 称为等额系列储金系数或等额分付偿债基称为等额系列储金系数或等额分付偿债基 金系数，通常表示为金系数，通常表示为( (A/F,i,n)A/F,i,n)。 例：某公司计划自筹资金于例：某公司计划自筹资金于5 5年后建设一个新产品车间年后建设一个新产品车间 , ,预计需投资预计需投资50005000万元。如年利率为万元。如年利率为5%5%，在复利条件下，在复利条件下 ，从现起每年末应等额向银行存入多少钱？，从现起每年末应等额向银行存入多少钱？ n n 解：解： n n A=A= =5000*5%/ =5000*5%/（1+5%1+5%） 5 5 -1=905-1=905万元万元 等额系列资金回收公式（等额分付资本回收公式）等额系列资金回收公式（等额分付资本回收公式） 经济含义：现金流量现值经济含义：现金流量现值P P， 报酬率为报酬率为i i的复利计息条件下的复利计息条件下 ，在，在n n期内与其等值的连续的期内与其等值的连续的 等额分付值等额分付值A A为为 n n A=A= = P(A/P,i,n)= P(A/P,i,n) n n 式中式中 称为等额系列资金回收系数或等额称为等额系列资金回收系数或等额 分付资本回收系数，通常表示为分付资本回收系数，通常表示为( (A/P,i,n)A/P,i,n)。 例：某投资项目贷款例：某投资项目贷款200200万元，银行万元，银行4 4年内等额收回全年内等额收回全 部贷款，如贷款利率为部贷款，如贷款利率为10%10%，在复利条件下，项目每年，在复利条件下，项目每年 的净收入应不少于多少？的净收入应不少于多少？ 解：解： A=Pi(1+i)A=Pi(1+i) n n /(1+i)/(1+i) n n -1 -1 =200A/P =200A/P，1010，4=63.094=63.09万元万元 等额系列现值公式（等额分付现值公式）等额系列现值公式（等额分付现值公式） 经济含义：在利率为经济含义：在利率为i i的复利计息条件下，在的复利计息条件下，在n n期内每期内每 期期末发生的等额分付值期期末发生的等额分付值A A的现值的现值P P为为 n n P=P= = A(P/A,i,n) = A(P/A,i,n) 式中式中 称为等额系列现值系数或等额分付称为等额系列现值系数或等额分付 现值系数，通常表示为现值系数，通常表示为( (P/A,i,n)P/A,i,n)。 例：某设备经济寿命为例：某设备经济寿命为8 8年，预计年净收益年，预计年净收益2020万元，残万元，残 值为值为0 0，如投资者要求的收益率为，如投资者要求的收益率为20%20%，问投资者最多，问投资者最多 愿意出多少钱购买该设备？愿意出多少钱购买该设备？ n n 解：解： n n P= =20P/AP= =20P/A，20%20%，8=76.748=76.74万元万元 等差系列现金流量公式（等差分付复利公式等差系列现金流量公式（等差分付复利公式） 经济含义经济含义 n n 在利率为在利率为i i的复利计息的复利计息 条件下，对条件下，对n n期内现金期内现金 流量呈逐期等差递增变流量呈逐期等差递增变 化或等差递减变化的序化或等差递减变化的序 列，进行资金的时间价列，进行资金的时间价 值计算。值计算。 图1：等差递增现金流量图 图图2：等差递递减现现金流量图图 计算方法计算方法 等差分付的复利计算，可以用一次支付的的公式对每次支付逐一进等差分付的复利计算，可以用一次支付的的公式对每次支付逐一进 行计算。但是，当分付次数较多时，计算工作量相当大。解决办法行计算。但是，当分付次数较多时，计算工作量相当大。解决办法 之一是将等差分付转换为等额分付。之一是将等差分付转换为等额分付。 已知第一年年末的分付已知第一年年末的分付额为额为额为额为 A A 1 1 ，以后每期以后每期递递递递增（或增（或递递递递减）减）为为为为G G（即即 每一期之每一期之间间间间的相差金的相差金额为额为额为额为 G G），），求出与等差分付等求出与等差分付等值值值值的等的等额额额额分付的分付的 年金年金A A。 先令先令A A 1 1 =0=0，图图图图1 1变为图变为图变为图变为图 3 3，设设设设A A 2 2 是与是与图图图图3 3表示的等差分付相等的等表示的等差分付相等的等额额额额 分付的年金，分付的年金，则则则则根据等根据等额额额额系列系列储储储储金公式有金公式有 式中：式中：F F图图图图3 3中等差分付的中等差分付的总终值总终值总终值总终值 。 图图3：等差分付现现金流量图图（A1=0） 对这一分付可以看成（对这一分付可以看成（n-1n-1）个独立的等额多次分付（年金为个独立的等额多次分付（年金为G G，期数期数 不等），则不等），则 F=G(F/A,i,n-1)+G(F/A,i,n-2)+ +G(F/A,i,2)+G(F/A,i,1)F=G(F/A,i,n-1)+G(F/A,i,n-2)+ +G(F/A,i,2)+G(F/A,i,1) =G(1+i) =G(1+i)n-1 n-1-1/i+G(1+i) -1/i+G(1+i)n-2 n-2-1/i+G(1+i) -1/i+G(1+i) 2 2 -1/i+G(1+i)-1/i+G(1+i) 1 1 -1/i-1/i =(G/i)(1+i) =(G/i)(1+i)n-1 n-1+(1+i) +(1+i)n-2 n-2+(1+i) +(1+i) 2 2 +(1+i)-(n-1)+(1+i)-(n-1) 推导，可以得出推导，可以得出 n 称为等差分付终值系数，通常表示 为(F/G,i,n)。 将 代入 则 nA2=G/i- nG/(1+i)n -1 =G(A/G,i,n) 式中 称为等差分付等值系数或等额系列现金流量A 的转换系数，通常表示为(A/G,i,n)。该系数也同样适用于图2等 额递减的情况，但此时G为负值。 如果A1不为零，则A=A1+A2=A1+ G(A/G,i,n) 根据复利现值公式 P= F1/(1+i)n= = G(P/G,i,n) 式中 称为等差分付现值系数 ，通常表示为(P/G,i,n)。 例：某企业拟购买一台设备，第一年的年收益为例：某企业拟购买一台设备，第一年的年收益为1010万元，此万元，此 后直至第后直至第8 8年末逐年递减年末逐年递减30003000元，设年利率为元，设年利率为15%15%，按复利计，按复利计 算，问该设备算，问该设备8 8年的收益现值及等额分付的收益年金？年的收益现值及等额分付的收益年金？ 解：将现金流量分解为两部分。解：将现金流量分解为两部分。 n n （1 1）以第一年的收益额以第一年的收益额1010万元为等额值万元为等额值A A 1 1 的等额分付现金流量的等额分付现金流量 n n P P1 1 =100000=100000（P/AP/A，15%15%，8 8）=448730=448730元元 n n （2 2）以等差额）以等差额G=3000G=3000（元）的分付现金流量元）的分付现金流量 n n P P2 2 =G(A/G=G(A/G，15%15%，8)(P/A8)(P/A，15%15%，8 8） =3000*2.78*4.487=3000*2.78*4.487 =37422 =37422元元 n n 收益现值收益现值P=PP=P 1 1 -P-P 2 2 =411308=411308元元 n n 等额分付的收益年金等额分付的收益年金A=PA=P（A/PA/P，15%15%，8 8）=19680=19680元元 等比系列现金流量公式（等比分付现值公式等比系列现金流量公式（等比分付现值公式） 现实现实现实现实 中，中，某某些些现现现现金流量常以一定百分比金流量常以一定百分比h h（h=j%h=j%）逐期逐期 递递递递增或增或递递递递减，减，现现现现金流量如金流量如图图图图所示。所示。 根据根据现现现现金流量金流量图图图图，等比分付的，等比分付的总现值总现值总现值总现值 等于每期等比支付等于每期等比支付 值值值值的的现值现值现值现值 之和，即之和，即 P=AP=A 1 1 (P/F,I,1)+A(P/F,I,1)+A 2 2 (P/F,I,2)+A(P/F,I,2)+An-1 n-1(P/F,I,n- (P/F,I,n- 1)+A1)+A n n (P/F,I,n)(P/F,I,n) = A = A 1 1 (1+i)(1+i)-1 -1 +A +A 1 1 （1+h1+h）(1+i)(1+i) 2 2 +A+A 1 1 （1+h1+h）n-1 n-1(1+i) (1+i)-n -n 整理得整理得 P=AP=A 1 1 1-(1+i)1-(1+i)-n -n(1+h) (1+h) n n /(i-h)=A/(i-h)=A 1 1 1-(P/F,i,n)(F/P,h,n)1-(P/F,i,n)(F/P,h,n) P=AP=A 1 1 n(1+i)n(1+i)-1 -1= A = A 1 1 n(P/F,I,n-1)n(P/F,I,n-1) 上式中上式中1-(1+1-(1+i)i)-n -n(1+h) (1+h) n n /(i-h)/(i-h)和和n(1+i)n(1+i)-1 -1分别称为 分别称为 i ih h 和和 i=h i=h 时的等比分付现值系数，通常分别表示为时的等比分付现值系数，通常分别表示为1-1- ( (P/F,i,n)(F/P,h,n)P/F,i,n)(F/P,h,n)和和n(P/F,i,n-1)n(P/F,i,n-1)。 等比分付现值公式也可以换算为与其等值的终值公式等比分付现值公式也可以换算为与其等值的终值公式 ）及等额分付年金（值）公式。）及等额分付年金（值）公式。 普通复利公式小结与应用普通复利公式小结与应用 小结小结 n n 在普通复利计算公式中，一次支付的在普通复利计算公式中，一次支付的2 2个公式和等额分付个公式和等额分付 的的4 4个公式应用比较广泛，且对应的系数有以下关系：个公式应用比较广泛，且对应的系数有以下关系： n n （1 1）互为倒数关系）互为倒数关系 n n 一次支付终值系数与一次支付现值系数互为倒数关系；一次支付终值系数与一次支付现值系数互为倒数关系； n n （F/PF/P，i i，n n）=1/=1/（P/FP/F，i i，n n） n n 等额分付终值系数与等额分付偿债基金系数互为倒数关系等额分付终值系数与等额分付偿债基金系数互为倒数关系 ； n n （F/AF/A，i i，n n）=1/=1/（A/FA/F，i i，n n） n n 等额分付现值系数与等额分付资本回收系数互为倒数关系等额分付现值系数与等额分付资本回收系数互为倒数关系 。 n n （P/AP/A，i i，n n）=1/=1/（A/PA/P，i i，n n） n n （2 2）乘积关系）乘积关系 n n （P/AP/A，i i，n n）= =（F/AF/A，i i，n n）（）（P/FP/F，i i，n n） n n （F/AF/A，i i，n n）= =（P/AP/A，i i，n n）（）（F/PF/P，i i，n n） n n （3 3）等额分付资本回收公式与等额分付偿债基金等额分付资本回收公式与等额分付偿债基金 公式存在如下关系：公式存在如下关系： n n （A/PA/P，i i，n n）= =（A/FA/F，i i，n n）+i+i 应用应用 n n 例例1 1，若年利率为，若年利率为8%8%，1010年中每年年初都存入银行年中每年年初都存入银行 10001000元，问第十年末的本利和为多少？元，问第十年末的本利和为多少？ n n 解：解： n n 方法一方法一: : n n F=1000(F/P,8%,10)+1000(F/A,8%,10)-1000=15645F=1000(F/P,8%,10)+1000(F/A,8%,10)-1000=15645（元）元） n n 方法二方法二: : n n F=1000(F/A,8%,10)(F/P,8%,1)F=1000(F/A,8%,10)(F/P,8%,1) =15645 =15645（元）元） 例例2 2，某项固定资产投资，某项固定资产投资5 5万元，预计可使用万元，预计可使用1010年，届时年，届时 的残值为的残值为2 2万元，若年利率为万元，若年利率为10%10%，计算年等额折旧额为，计算年等额折旧额为 多少？多少？ 解：在考虑资金的时间价值的前提下，以固定资产投解：在考虑资金的时间价值的前提下，以固定资产投 资扣除残值后每年的等额折旧应为多少，即已知现值资扣除残值后每年的等额折旧应为多少，即已知现值 和终值，将其等值换算为等年值（年金）。和终值，将其等值换算为等年值（年金）。 n n 方法一：方法一： n n A=50000(A/P,10%,10)-20000(A/F,10%,10)=6882.5A=50000(A/P,10%,10)-20000(A/F,10%,10)=6882.5（元）元） n n 方法二：利用等方法二：利用等额额额额分付分付资资资资本回收公式与等本回收公式与等额额额额分付分付偿债偿债偿债偿债 基金公基金公 式式之间之间存在的关系存在的关系(A/P,i,n)=(A/F,i,n)+iA/P,i,n)=(A/F,i,n)+i n n A=50000(A/P,10%,10)-20000(A/P,10%,10)-10%A=50000(A/P,10%,10)-20000(A/P,10%,10)-10% = =（50000-2000050000-20000）（）（A/PA/P，10%10%，1010）+10%+10%2000020000 =6882.5 =6882.5（元）元） 例例3 3，某项目向银行贷款，某项目向银行贷款10001000万元，年利率为万元，年利率为8%8%，项目开，项目开 工前获得贷款，建设期工前获得贷款，建设期3 3年，项目建成后开始每年年末等年，项目建成后开始每年年末等 额偿还贷款本利，额偿还贷款本利，1010年还清，每年偿还本利多少？年还清，每年偿还本利多少？ 解：解： n n 方法一方法一 n n A=1000A=1000（F/PF/P，8%8%，3 3）（）（A/PA/P，8%8%，1010） =187.76=187.76 （万元）万元） n n 方法二方法二 n n A=1000A=1000（F/PF/P，8%8%，1313）（）（A/FA/F，8 8，1010） =187.76=187.76 （万元）万元） 例例4 4，某企业拟购买大型设备，价值，某企业拟购买大型设备，价值500500万元，有两种付万元，有两种付 款方式：款方式： （1 1）一次性付款，优惠）一次性付款，优惠12%12%； （2 2）分期付款，不享受优惠，而且首付必须达到）分期付款，不享受优惠，而且首付必须达到40%40%，其余，其余 货款第一年末付货款第一年末付30%30%，第二年末付，第二年末付20%20%，第三年末付，第三年末付10%10%。假。假 如企业购买设备所用资金是自有资金，且自有资金的机会成如企业购买设备所用资金是自有资金，且自有资金的机会成 本为本为10%10%。 问：应选择哪种付款方式？问：应选择哪种付款方式？ 又假如企业自有资金的机会成本为又假如企业自有资金的机会成本为16%16%，问应选择哪种付款，问应选择哪种付款 方式？方式？ 解：（解：（1 1）资资资资金的成本金的成本为为为为10%10% n n a a、一次性付款，、一次性付款，实际实际实际实际 支出支出额为额为额为额为 P=500P=500（1-12%1-12%）=440=440（万元（万元 ） n n b b、分期付款，相当于一次支付、分期付款，相当于一次支付额为额为额为额为 P=500P=50040%+50040%+50030%/(1+10%)+50030%/(1+10%)+50020%/(1+10%)20%/(1+10%)2 2 +50010%/(1+10%) +50010%/(1+10%) 3 3 =456.57 =456.57（万元）（万元） （2 2）资金的成本为）资金的成本为16%16% n n a a、一次性付款，实际支出额为一次性付款，实际支出额为500500（1-12%1-12%）=440=440（万元）（万元） n n b b、分期付款，相当于一次支付额为分期付款，相当于一次支付额为 n n P=500P=5004040%+500%+50030%/30%/（1+16%1+16%）+ 500+ 5002020%/%/（1+16%1+16%）2 2 + 50010 + 50010%/%/（1+16%1+16%） 3 3 = =435.66435.66（万元）万元） 对于企业，若资金利率为对于企业，若资金利率为10%10%，应选择一次性付款；若，应选择一次性付款；若 资金利率为资金利率为16%16%，应选择分期付款。，应选择分期付款。 间断现金流量的连续复利间断现金流量的连续复利 n n 技术经济学研究的重点是发生在特定时刻的累积形技术经济学研究的重点是发生在特定时刻的累积形 式出现的的现金流量，如项目的盈利和费用往往按式出现的的现金流量，如项目的盈利和费用往往按 一年、一季度、或一个月定期核算一次。因此，间一年、一季度、或一个月定期核算一次。因此，间 断现金流量在处理具体问题时具有更现实的意义。断现金流量在处理具体问题时具有更现实的意义。 5.3 5.3 连续连续连续连续 复利的等效复利的等效计计计计算算 间断现金流量的连续复利系数的两种导出方法间断现金流量的连续复利系数的两种导出方法 将普通复利计计算公式中的实际实际 利率用 代替，然后对对各复利系数关系式求极限值值。 n n 一次支付一次支付连续连续连续连续 复利复利终值终值终值终值 系数推系数推导导导导方法如下：方法如下： n因为为 （F/P，i，n）=（1+i）n n即 （F/P，r，n）= n n （F/PF/P，r r，n n）称为一次支付连续终值系数。称为一次支付连续终值系数。 n n 等额分付连续复利偿债基金系数推导方法如下：等额分付连续复利偿债基金系数推导方法如下： 因为为（A/F，i，n）= 所以（A/F，r，n）= （A/F，r，n）称为为等额额分付连续偿债连续偿债 基金系数 。 用连续连续 的实际实际 利率公式i=er-1代替原普通复利公式中的 i直接求出连续连续 复利公式。如，等额额分付连续连续 复利现值现值 系数推导导方法如下： n因为 （P/A，i，n）= n所以 （P/A，r，n）= n n （P/AP/A，r r，n n）称称为为为为等等额额额额分付分付连续现值连续现值连续现值连续现值 系数。系数。 其他其他间间间间断断现现现现金流量的金流量的连续连续连续连续 复利系数都可以参照上述两种方法复利系数都可以参照上述两种方法导导导导出出 。 应用注意事项应用注意事项 全部是间断现金流量与连续复利形式；全部是间断现金流量与连续复利形式； 支付周期有限，复利周期无限；支付周期有限，复利周期无限； 现金流量发生在支付周期期末；现金流量发生在支付周期期末； 全部采用名义利率。全部采用名义利率。 连续现连续现连续现连续现 金流量的金流量的连续连续连续连续 复利复利 项目的投入是每日发生的，按日计息。即项目项目的投入是每日发生的，按日计息。即项目 的资金活动实际上就是连续现金流量的连续复的资金活动实际上就是连续现金流量的连续复 利过程，这种连续复利的模式最准确、最客观利过程，这种连续复利的模式最准确、最客观 地反映了一般项目现金流量的活动方式。地反映了一般项目现金流量的活动方式。 连续现金流量的连续复利终值系数和现值系数连续现金流量的连续复利终值系数和现值系数 当一个工程项目的建设或改建持续一年或多年时，而投资费用当一个工程项目的建设或改建持续一年或多年时，而投资费用 分布在整个建设期时，就涉及现值和终值之间按连续现金流量分布在整个建设期时，就涉及现值和终值之间