2016-2017学年北师大版必修4 从力做的功到向量的数量积 教案.doc

从力做的功到向量的数量积（铜鼓中学数学组）1.了解向量的夹角、向量垂直、向量投影等概念.(易错点)2.理解平面向量数量积的含义及其几何意义.(重点)3.能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题.(难点)基础初探教材整理1向量的数量积阅读教材P83的有关内容，完成下列问题.已知两个非零向量a和b，它们的夹角是，我们把数量|a|b|cos 叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos .规定：零向量与任一向量的数量积为0.已知|a|3，|b|6，则(1)若a与b夹角为0，则ab_；(2)若a与b的夹角为60，则ab_；(3)若a与b的夹角为90，则ab_.【解析】(1)若ab，则a与b的夹角为0，ab|a|b|cos 0|a|b|18.(2)ab|a|b|cos 60369.(3)ab|a|b|cos 903600.【答案】(1)18(2)9(3)0教材整理2两个向量的夹角阅读教材P83的有关内容，完成下列问题.1.定义：已知两个非零向量a，b，如图241所示.作a，b，则AOB称为向量a与b的夹角.图2412.范围：0180.3.当0时，a与b同向；当180时，a与b反向.4.当90时，则称向量a与b垂直，记作ab.试指出图242中向量的夹角，图中向量与的夹角_；图中向量与的夹角_；图中向量与的夹角_；图中向量与的夹角_.图242【答案】0180教材整理3向量的数量积的运算律及性质阅读教材P84及P85链接完成下列问题.1.向量数量积的运算律：已知向量a，b，c和实数.(1)abba；(2)(a)ba(b)(ab)ab；(3)(ab)cacbc.2.数量积的性质：(1)aa|a|2或|a|；(2)|ab|a|b|；(3)abab0.3.数量积的几何意义：ab的几何意义是数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积.已知|a|3，|b|5，a与b的夹角为45，则a在b上的投影为_；b与a上的投影为_.【解析】a在b上的投影为|a|cos 453；b在a上的投影为|b|cos 455.【答案】小组合作型向量数量积的运算及几何意义已知|a|2，|b|3，a与 b的夹角为120，求：(1)ab；(2)a2b2；(3)(2ab)(a3b).【精彩点拨】借助数量积的定义及运算律求解(1)(2)(3).【自主解答】(1)ab|a|b|cos 120233.(2)a2b2|a|2|b|2495.(3)(2ab)(a3b)2a25ab3b22|a|25|a|b|cos 1203|b|28152734.1.求平面向量数量积的步骤：求a与b的夹角，0，；分别求|a|和|b|；求数量积，即ab|a|b|cos .要特别注意书写时，a与b之间用实心圆点“”连接，而不能用“”连接，也不能省去.2.较复杂的数量积的运算，需先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简.再练一题1.已知正三角形ABC的边长为1，求：(1)；(2)；(3).【解】(1)与的夹角为60，|cos 6011.(2)与的夹角为120，|cos 12011.(3)与的夹角为60，|cos 6011.求向量的模已知向量a，b，AOB60，且|a|b|4.求|ab|，|ab|，|3ab|.【精彩点拨】根据已知条件将向量的模利用|a|转化为数量积的运算求解.【自主解答】ab|a|b|cosAOB448，|ab|4，|ab|4，|3ab|4.1.求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，要灵活应用a2|a|2，勿忘记开方.2.一些常见的等式应熟记，如(ab)2a22abb2，(ab)(ab)a2b2等.再练一题2.已知向量a与b夹角为45，且|a|1，|2ab|，则|b|_.【解析】因为|2ab|，所以(2ab)210，所以4a24abb210，又因为向量a与b的夹角为45，且|a|1，所以4|a|24|a|b|cos 45|b|210，故41241|b|b|210，整理得|b|22|b|60，解得|b|或|b|3(舍去)，故|b|.【答案】求向量的夹角已知a，b都是非零向量，且a3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的夹角.【精彩点拨】解答本题可由已知中两个条件的垂直得到两个等式，从而得到a，b之间的关系，再由cos 求得夹角.【自主解答】由已知，得(a3b)(7a5b)0，即7a216ab15b20，(a4b)(7a2b)0，即7a230ab8b20，两式相减，得2abb2，abb2，代入中任一式，得a2b2，设a，b的夹角为，则cos ，0180，60. 1.求向量a，b夹角的流程图： 2.若两非零向量a，b的夹角为锐角ab0且ab|a|b|；两非零向量a，b的夹角为钝角ab0且ab|a|b|.再练一题3.已知单位向量e1，e2的夹角为60，求向量ae1e2，be22e1的夹角.【解】e1，e2为单位向量且夹角为60， e1e211cos 60.ab(e1e2 )(e22e1)2e1e2121，|a|，|b|，cos .又0，180，120.探究共研型数量积的几何意义探究1设非零向量a，b，试用数量积“ab”及|a|，|b|表示a在b上的投影.【提示】a在b上的投影为|a|cos ， 又cos ，|a|cos .探究2数量积ab|a|b|cos 的几何意义是什么？【提示】数量积ab等于a的模与b在a方向上的投影|b|cos 的乘积，或等于b的模与a在b方向上的投影|a|cos 的乘积.已知ab9，a在b方向上的投影为3，b在a方向上的投影为，求a与b的夹角. 【精彩点拨】分别列出a在b方向上的投影和b在a方向上的投影，解方程组便可.【自主解答】由题意可知|a|6，|b|3，cos ，又0，.1.投影是个数量，可正、可负、可为零.2.计算投影时要分清“谁是投影线”，即a在b上的投影为|a|cos ；b在a上的投影为|b|cos .再练一题4.在ABC中，已知|5，|4，|3，求：(1)；(2)在方向上的投影；(3)在方向上的投影.【解】|5，|4，|3，ABC为直角三角形，且C90，cos A，cos B.(1)5416；1.若|m|4，|n|6，m与n的夹角为135，则mn_.【解析】mn|m|n|cos 1354612.【答案】122.已知|a|3，|b|5，且ab12，则向量a在b方向上的投影为_.【解析】|a|cos .【答案】3.设|a|3，|b|5，且ab与ab垂直，则_.【解析】(ab)(ab)a22b292520，.【答案】4.下面给出的关系式中正确的有_.0a0；abba；a2|a|2；ab|a|b|；(ab)2a2b2.【