可线性化的回归分析 教案（北师大版选修2-3）.doc

13可线性化的回归分析铜鼓中学数学备课组 3课时 多媒体教学创设问题情境，提出3个问题引导学生解答问题，引出数列的有关概念通过例1及变式训练，使学生进一步认识数列的有关概念通过例2及变式训练，使学生掌握数列的通项公式的求法通过例3及互动探究，让学生掌握利用通项公式确定数列的项的问题完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识课标解读1.通过对典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法和初步应用2结合具体的实际问题，了解可线性化回归分析问题的解题思路3体会回归分析在生产实际和日常生活中的广泛应用.常见曲线的线性化【问题导思】1函数yaxb两边取自然对数，结果如何？【提示】ln yln abln x.2对上述问题作适当变换，得出一个线性函数【提示】令uln y，vln x，cln a，则ucbv.3作变换，将函数yaebx线性化【提示】yaebx，ln yln abx，作变换：uln y，cln a，则ucbx.4作变换，将函数yae线性化【提示】yae，ln yln a，作变换uln y，cln a，v，则ucbv.5作变换，将函数yabln x线性化【提示】yabln x，作变换vln x，则yabv.对于非线性回归模型一般可转化为线性回归模型，从而得到相应的回归方程常见的有：(1)幂函数曲线yaxb，则作变换uln_y，vln_x，cln_a，得线性函数ucbv.(2)指数曲线yaebx，则作变换uln y，cln a，得线性函数ucbv.(3)倒指数曲线yae，则作变换uln y，cln a，v，得线性函数ucbv.(4)对数曲线yabln x，则作变换vln x，得线性函数yabv.已知模拟函数求其解析式某地今年上半年患某种传染病人数y与月份x之间满足的函数关系模型为yaebx，确定这个函数解析式月份x123456人数y526168747883【思路探究】函数模型为指数型函数，可转化为线性函数，从而求出【自主解答】设uln y，cln a，则ucbx.由已知得下表：x123456uln y3.951 24.110 94.219 54.3044.356 74.418 8xi21，ui25.361 1，x91，u107.346 7，xiui90.343 8，3.5，4.226 9，b0.090 2，cb4.226 90.090 23.53.911 2，u3.911 20.090 2x，ye3.911 2e0.090 2x.基础函数模型为指数函数型，可两边取对数转化为线性函数关系式，求出回归方程在彩显影中，由经验可知：形成染料光学密度y与析出银的光学密度x由公式yAe(b0)表示现测得试验数据如下：xi0.050.060.250.310.070.100.380.430.140.200.47yi0.100.141.001.120.230.371.191.250.590.791.29试求y对x的回归方程【解】由题意知，对于给定的公式yAe(b1.2，此男子偏胖1在实际问题中，当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，不能用线性回归方程描述它们之间的相关关系，需要进行非线性回归分析2可线性化的回归分析：非线性回归问题的非线性回归方程一般很难求，因此把非线性回归化线性回归是解决问题的好方法；把非线性回归化为线性回归，再利用线性回归的方法确定参数a及b的估计值寒假中，某同学为组织一次爱心捐款，于2013年2月1日在网上给网友发了张帖子，并号召网友转发，下表是发帖后一段时间的收到帖子的人数统计天数x1234567人数y711212466115325(1)作出散点图，并猜测x与y之间的关系；(2)建立x与y的关系，预报回归模型；(3)如果此人打算在2013年2月12日(即帖子传播时间共10天)进行募捐活动，根据上述回归模型，估计可去多少人【解】(1)散点图略从散点图可以看出x与y不具有线性相关关系，同时可发现样本点分布在某一个指数函数曲线ykemx的周围，其中k、m是参数(2)对ykemx两边取对数，把指数关系变成线性关系令zln y，则变换后的样本点分布在直线zbxa(aln k，bm)的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立x与y之间的非线性回归方程了，数据可以转化为天数x1234567人数y1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784求得回归直线方程为z0.620x1.133，ye0.620x1.133.(3)截止到2013年2月12日，x10，此时ye0.620101.1331 530(人)估计可去1 530人.转化与化归思想在可线性化的回归分析中的应用下表为收集到的一组数据：x21232527293235y711212466115325(1)作出x与y的散点图，并猜测x与y之间的关系；(2)建立x与y的关系，预报回归模型；(3)利用所得模型，预报x40时y的值【思路点拨】(1)可直接依据表中数据画出散点图；(2)可利用换元法，将两个变量转化为两个新的变量且成线性关系；得出关系式，再转化为x，y的关系式；(3)利用(2)中的式子，即可求出【规范解答】(1)作出散点图如图，从散点图可以看出x与y不具有线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线yc1ec2x的周围，其中c1、c2为待定的参数(2)对两边取对数把指数关系变为线性关系，令zln y，则有变换后的样本点应分布在直线zbxa，aln c1，bc2的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立y与x之间的非线性回归方程了，数据可以转化为：x21232527293235z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784求得回归直线方程为z0.272x3.849，ye0.272x3.849.(3)当x40时，ye0.272x3.8491 131.在寻找两变量之间的关系时，通过散点图先确定其关系满足的函数模型，如果不满足线性关系，则通过换元转化为线性关系，求出新元的关系式，再转化为原来的两个变量的关系可化为线性回归的几种常用曲线(1)幂函数曲线yaxb；(2)指数函数曲线yakbx；(3)倒指数曲线yae；(4)对数曲线yabln x.1对于指数曲线yaebx方程，令uln y，cln a经过非线性化回归分析之后，可以转化成的形式为()AucbxBubcxCybcxDycbx【解析】对指数曲线yaebx方程两边同时取对数，然后将uln y，cln a代入，不难得出ucbx.【答案】A2指数曲线yaebx的图像可以是()【解析】yaebx为指数曲线，y0恒成立，排除选项C.又xR，A、D错误【答案】B3x，y的取值如下表：x0.20.61.01.21.41.61.82.02.2y0.040.3611.41.92.53.23.984.82则x、y之间的关系可以选用函数_进行拟合【解析】作出散点图从图中可以看出，可选用yx2来进行拟合【答案】yx24在试验中得到变量y与x数据如下表：x0.066 70.038 80.033 30.027 30.022 5y39.442.941.043.149.2由试验知，y与之间具有线性相关关系，试求y与x之间的回归曲线方程，并预测当x00.038时y0的值【解】令u，由题目所给数据可得下表所示的数据：iuiyiuyuiyi115.039.42251 552.36591225.842.9665.641 840.411 106.82330.041.09001 6811 230436.643.11 339.561 857.611 577.46544.449.21 971.362 420.642 184.48151.8215.65 101.569 352.026 689.76计算得b0.29，a34.32，所以y34.320.29u.所求曲线方程为y34.32.当x00.038时，y034.3241.95.一、选择题1倒指数曲线yae的图像为()【解析】yae，当a0，b0时，图像为A.【答案】A2有下列说法：线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线贴近这些样本点的数学方法；利用样本点的散点图可以直观地判断两个变量之间的关系是否是线性相关关系；通过回归方程ybxa及其回归系数b，可以估计和观测变量的取值和变化趋势；因为由任何一组观测值都可以求得一个回归直线方程，所以没有必要进行相关性检验其中正确命题的个数是()A1个B2个C3个D4个【解析】由线性回归分析的意义知、正确，错误【答案】C3幂函数曲线yxb，当b1时的图像为()【解析】当b1时，图像为选项A，当0b1时为选项B，当b0，c20)附近，则将函数两边取对数得ln yc2xln c1 ，则令uln y，得uc2xln c1，根据数据可得x和u的数据表：x123456u1.792.483.223.894.555.25由上面x和u的数据表可得x和u的散点图，如下图所示从图中可以发现x和u之间有很强的线性相关关系，因此可以用线性回归模型来拟合它们之间的关系根据公式得到线性回归方程为：u1.1120.690 9x，即ln y1.1120.690 9x，则得ye0.690 9x1.112.故我们可以利用ye0.690 9x1.112来描述天数x与繁殖个数y之间的关系.(教师用书独具)(12分)在一化学反应过程中某化学物质的反应速度y(单位：g/分)与一种催化剂的量x(单位：g)有关，现收集了8组数据列于表中，试建立y与x之间回归方程催化剂量x/(g)1518212427303336化学物质反应速度y(g/分)6830277020565350【思路探究】(1)由表中数据可作出散点图，并通过散点图来分析两个变量间的关系；(2)两个变量间的关系是非线性的，要结合函数模型的应用来选择函数，然后利用变量代换化为直线型，从而解决问题【自主解答】根据收集的数据作散点图：2分根据x与y的散点图也可以认为样本点集中在某一条指数型函数曲线yc1ec2x的周围. 4分令zln y，则zc2xln c1，即变换后样本点应该分布在直线zbxa(aln c1，bc2)的周围，由y与x数据表可得z与x的数据表：x1518212427303336z1.7922.0793.4013.2964.2485.3234.1745.858作出z与x的散点图8分由散点图可观察到样本数据点大致在一条直线上，所以可用线性回归方程来拟合它由z与x数据表，得到线性回归方程，z0.181 2x0.848 5， 10分所以非线性回归方程为ye0.181 2x0.848 5. 11分因此，该化学物质反应速度对催化剂的量的非线性回归方程为ye0.181 2x0.848 5. 12分1解决非线性回归分析的关键是根据散点图选择正确的函数模型2解决非线性回归分析问题的方法步骤(1)确定变量：确定变量x，y；(2)画散点图：通过观察散点图并与学过的函数(幂函数、指数函数、对数函数、二次函数)作比较，选取拟合效果好的函数模型；(3)变量置换：通过变量置换把非线性问题转化为线性回归问题；(4)写出非线性回归方程为了研究某种细菌繁殖的个数y(个)与时间x(天)的关系，收集数据如下：天数x/天123456繁殖个数y/个612254995190(1)作时间和细菌繁殖个数的散点图，根据该图猜想它们之间的关系是什么形式；(2)建立时间与细菌繁殖个数之间的回归方程【解】(1)以时间为横轴，细菌繁殖个数为纵轴绘制散点图如下由图猜想样本点分布在一条指数函数曲线ycebx的周围(2)令zlny，alnc，则zbxa且变换后的样本数据表如下：x123456z1.792.483.223.894.555.25计算得z0.69x1.112，从而得回归模型ye0.69x1.112.拓展阅读脚印与统计在这个逐步实现现代化的社会里，统计信息越来越多，这促使人们去探索对一些统计信息进行分析、推断的方法在福尔摩斯探案集中著名的一个探案故事血字的研究有这样的情节：福尔摩斯应英格兰探长的求助，帮忙侦破一起杀人案一到案发现场，福尔摩斯就开始仔细地搜寻罪犯的脚印，其理由是他可以根据一个人的脚印长度来估计他的身高这里