2019年1月东城区高三数学文上册期末试卷 含答案

2019年1月东城区高三数学文上册期末试卷 含答案东城区2018-2019学年度第一学期期末教学统一检测 高三数学 （文科） 2019.1本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若集合 ， ，则 （A） （B） （C） （D）（2）下列复数为纯虚数的是（A） （B） （C） （D）（3）在平面直角坐标系 中，角 以 为始边，终边在射线 上，则 的值是（A） （B） （C） （D）（4）若 满足 则 的最小值为（A） （B） （C） （D）（5）执行如图所示的程序框图，输入 ，那么输出的值为（A） （B） （C） （D） （6）设 为实数，则“ ”是“ ”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（7）某三棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度为（A）2 （B）（C） （D）3（8）地震里氏震级是地震强度大小的一种度量. 地震释放的能量 （单位：焦耳）与地震里氏震级 之间的关系为 . 已知两次地震里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为 和 ，则 的值所在的区间为（A） （B） （C） （D） 第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（ 9 ）已知向量 ， ，若 ，则 .（10）在 中，已知 ， ， ，则 .（11）若等差数列 和等比数列 满足 ， ，试写出一组满足条件的数列 和 的通项公式: ， .（12）过双曲线 的右焦点 作垂直于 轴的直线，交双曲线于 两点， 为坐标原点，若 为等腰直角三角形，则双曲线的离心率 _.（13）小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯记忆曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制散点图，拟合了记忆保持量与时间（天）之间的函数关系：某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论： 随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低； 9天后，小菲的单词记忆保持量低于 ； 26天后，小菲的单词记忆保持量不足 .其中正确的结论序号有 . （注：请写出所有正确结论的序号）（14）已知函数 ， .若 ，都有 ，则a的最大值为_；此时=_.三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题13分）已知等差数列 满足 D D 的通项公式； () 若 ,求数列 的前n项和.（16）（本小题13分）已知函数 .() 求 的最小正周期；() 求证：对于任意的 ，都有 （17）（本小题13分）某中学有学生500人，学校为了解学生课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，收集了他们2018年10月课外阅读时间（单位：小时）的数据，并将数据进行整理，分为5组： ， ， ， ， ，得到如图所示的频率分布直方图.（）试估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数；（）已知这50名学生中恰有2名女生的课外阅读时间在 ，现从课外阅读时间在 的样本对应的学生中随机抽取2人，求至少抽到1名女生的概率；（）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，试估计该校学生2018年10月课外阅读时间的平均数. （18）（本小题14分）如图，三棱柱 中，侧棱垂直于底面， ， ， ， 为 中点.（I） 求证： 平面 ；(II) 求三棱锥 的体积；（III） 设平面 与直线 交于点 ，求线段 的长.（19）（本小题13分）已知函数 ，aR() 当 时，求曲线 在点 处的切线方程；() 求 的单调区间（20）（本小题14分）已知椭圆 的离心率为 ，其左焦点为 .直线 交椭圆 于不同的两点 ，直线 与椭圆 的另一个交点为 .（I）求椭圆 的方程；（II）当 时，求 的面积；（III）证明：直线 与 轴垂直.东城区2018-2019学年度第一学期期末教学统一检测高三数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）D （3）A （4）B（5）B （6）A （7）D （8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9） （10）（11） , （答案不唯一） （12） （13） （14）4， 三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（I）设 的公差为 ,因为 ， 所以 . 所以解得 .所以 .7分（）由（I）知， ， 所以 的前n项和为 = = . .13分（16）（共13分）解:（）. .5分所以 的最小正周期 . .7分（）因为 ，所以 .所以 .所以所以 .所以对于任意的 ，都有 .13分（17）（共13分）解：（） ， 即课外阅读时间不小于 小时的样本的频率为 . 因为 ， 所以估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于 小时的学生人数为. .5分（）阅读时间在 的样本的频率为 . 因为 ，即课外阅读时间在 的样本对应的学生人数为 . 这 名学生中有 名女生， 名男生，设女生为 ， ，男生为 ， ， ，从中抽取 人的所有可能结果是：， ， ， ， ， ， ， ， . 其中至少抽到 名女生的结果有 个，所以从课外阅读时间在 的样本对应的学生中随机抽取 人，至少抽到 名女生的所求概率为 . .11分 （）根据题意， （小时）. 由此估计该校学生 年10月课外阅读时间的平均数为 小时 .13分（18）（共14分）解：（）因为三棱柱 中，侧棱垂直于底面，所以 平面 .因为 平面 ，所以 .又因为 ， ，所以 平面 .因为 平面 ，所以 .因为 ，所以四边形 为菱形.所以 .因为 ，所以 平面 . .5分（） 由已知， 平面 ， 平面 ，所以 .因为 ， ，所以 平面 .又 ，故 到平面 的距离为 .因为 为 中点，所以 点到平面 距离为 .所以 .9分（）在三棱柱 中，因为 ， 为平面 与平面 的公共点， 所以平面 平面 .因为平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 .又平面 平面 ,所以 .又 ，所以 .因为 为 中点, 所以 为 中点 .所以 .14分（19）（共13分）解：（） 的定义域为 ,当 时， ， ，所以曲线 在点 处的切线方程为 .7分() .(1) 当 时， ，所以当 时， ；当 时， .所以 的单调递增区间为(，1)，单调递减区间为(1，+).(2) 当 时，令 ，得 ， .当 ，即 时， ，所以 的单调递增区间为(，+)，无单调递减区间；当 ，即 时，当 时， ；当 时， .所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， ；当 ，即 时，当 时， ；当 时， .所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， . 13分（20）（共14分）解：（I） 由已知有 解得所以椭圆 的方程为 . 5分（II）由 消去 ，整理得 .由已知， ，解得 .设 ，则直线 的方程为 ，