几种柔性机构振动特性的比较分析研究-硕士论文

大连理工大学专业学位硕士学位论文专 业 学 位 硕 士 学 位 论 文几种柔性机构振动特性的比较分析研究Comparison Research on Vibration Characteristics of Several Compliant Mechanisms 作 者 姓 名： 工 程 领 域： 车辆工程 学 号： 指 导 教 师： 副教授 完 成 日 期： 年5月 大连理工大学Dalian University of Technology摘 要无论在工程领域还是日常生活中，减振降噪都是人们所期望达到的效果。在低频降噪领域，新近提出的周期阵列柔性机构有广泛的应用前景。本文采用仿真分析的方法，分析了柔性机构在正弦激励下的振动特性，利用ANSYS软件对周期阵列的柔性机构的单胞进行模态分析与谐响应分析，得到机构的固有频率、系统传递函数以及幅频响应，以此三项为评价指标，对比几种柔性机构的振动特性。首先，针对一种含单层支架的柔性机构，研究了其支架角度对机构振动特性的影响，根据仿真分析得到的机构质量、固有频率和振幅，验证了经理论推导的传递函数各系数所代表的实际意义，总结出了支架角度与传递函数系数的关系，能够精准地控制柔性机构的振动特性。其次，扩展出了几种基于单层支架柔性机构的变体机构，具体为两种情况下的双层支架柔性机构，圆柱形柔性机构，穿孔板柔性机构和蜂窝形支架柔性机构，与单层支架柔性机构的振动特性进行对比分析研究，得出了机构的变体对振动特性的准确影响，同时分析了穿孔板柔性机构孔径对其振动特性的影响，与微穿孔板理论有很好的结合。为应用于减振降噪领域的柔性机构设计提供了准确参考。关键词：柔性机构；振动特性；传递函数；减振降噪- I -目 录摘 要IAbstractII1 绪论11.1 课题研究的背景和意义11.2 柔性机构研究现状21.3 本文的研究内容42 基础理论52.1 机械振动理论52.1.1 单自由度系统自由振动52.1.2 多自由度系统受迫振动82.2 固有频率112.3 传递函数132.4 有限元理论132.4.1 有限元基本思想132.4.2 振动问题的有限元法142.5 本章小结143 含有单层支架的柔性机构振动特性分析153.1 有限元仿真分析过程153.1.1 建立有限元模型153.1.2 有限元加载求解173.1.3 有限元后处理173.1.4 拟合传递函数183.2 支架角度对传递函数的影响193.2.1 上支架角度对传递函数的影响193.2.2 下支架角度对传递函数的影响243.3 本章小结274 几种基于单层支架柔性机构的变体机构振动特性分析284.1 含双层支架的柔性机构284.1.1 变角度双层支架柔性机构294.1.2 变间距双层支架柔性机构334.1.3 双层支架与单层支架柔性机构振动特性比较分析374.2 圆柱形单层支架柔性机构384.3 穿孔板单层支架柔性机构404.4 蜂窝形支架柔性机构424.5 本章小结44结 论46参 考 文 献47致 谢50- III -1 绪论1.1 课题研究的背景和意义随着近代工业和科学技术的飞速发展，工业产品越来越精密化和高速化，由此带来的工程振动问题也越来越突显出来。作为基础学科的一个重要分支，工程振动问题在机械、建筑、水利、航空航天、船舶和车辆等工业技术学科中成为越来越重要的课题研究方向。在工程领域和日常生活中，到处都有振动产生。当我们乘坐汽车、火车、轮船和飞机等运载工具时，都会感受到不同程度的振动，这种振动会影响我们的乘坐舒适性，同时也对这些运载工具自身造成很多危害；当桥梁的振动达到固有频率发生共振会引发桥梁的垮塌；机床加工时的振动会影响加工精度。伴随着振动而来的还有噪声污染，无规则振动引发的噪声危害人们的生理和心理健康。对于这些有害的振动，大量的科学研究已经提出许多抑制和消除的方法，但这一问题依然需要我们不断的探索和更加深入的研究下去。与此同时，人们也合理地利用振动来造福人类，例如，在医学领域利用超声波和核磁共振等诊断和治疗疾病；在建筑领域，采用了振动沉桩和拔桩以及振动捣固混凝土等。为了抑制有害的振动并合理利用振动，因此对振动理论的研究和减振降噪材料、机构的设计是十分有意义的工作。振源的激励方式、激励位置以及机构本身的动力学特性是是影响机构的振动与噪声的主要因素。因此要达到减小振动、降低噪声的目的，可以从以下两个途径入手，首先是对振动源的控制，在设计阶段合理优化设计结构；提高零部件的加工精度和装配质量，但是受加工和装备精度的限制，部件间不可能完美的契合，不可避免地在工作中产生振动。第二，控制振动和噪声传递的途径，吸声材料、阻尼材料及各种减振降噪结构等的研究正是基于此。相对于传统刚性结构而言，柔性机构有两方面优点：一是提高性能（提高精度、提高可靠性、减少摩擦磨损、减轻重量等），二是降低成本（减少零件数目、简化制造过程、减少装配时间、减少维护等）1，因此，现代柔性机构自1987年由Midha 2开创系统研究以来，得到了越来越多学者的关注，并在航空航天、微电子机械系统、光学工程、生物工程和机器人等多领域获得广泛应用。柔性机构相对于刚性机构可以降低振动和噪声，这是由于柔性机构的运动不是靠相邻部件间的摩擦而是靠自身的变形产生的1。依据此原理已有研究人员设计出一些应用于减振降噪的周期阵列柔性机构，这类柔性机构有很好的前景，但是因其研究还处在初期没有得到广泛应用，所以本文选取几种这类柔性机构进行比较分析研究，期望得出有意义的比较结果，为这类减振降噪柔性机构的设计提供一定有意义的参考。1.2 柔性机构研究现状柔性机构是依靠柔性单元的变形来实现运动、力和能量的传递和转换的机构。柔性机构分为全柔性机构和部分柔性机构，全柔性机构没有传统意义上的运动副，运动全来自于柔性构件的变形；含有一个以上传统运动副和柔性构件的柔性机构称为部分柔性机构1。全柔性机构又分为两种，如图1.1所示：一种具有集中柔度的柔性机构，用柔性运动副代替传统运动副；另一种具有分布柔度的柔性机构，机构的柔性相对均衡地分布在整个机构之中，无任何铰链存在3。（a） （b）图1.1 全柔性机构（a.集中式 b.分布式）Fig1.1 Compliant mechanisms(a.Centralized model b.Distributed model) 柔性机构把不同功能集中到少数几个零件上，导致其必须对运动和力学特性进行同步设计，而且其变形通常是非线性的，不能用简化的线性方程进行分析，更增加了设计难度，所以由于铰链连接的刚性构件装置分析和设计更加简单，获得了广泛的研究和应用4。但是近30年来柔性机构得到了快速发展，可以归根于以下几点原因：计算机软硬件的飞速发展使柔性机构的运动和应力分析成为可能；研究人员发展了系统的简化柔性机构设计方法；MEMS技术和柔性机构相相互促进的对方的发展；一些柔性机构应用的成功案例加深了人们对柔性机构优点的认识4。在自然界中，生物柔性是一种普遍存在的力学现象，大部分动物都可以利用自身的柔性进行复杂精妙或者极具爆发力的运动。例如蚯蚓在行进中整个身体产生柔性变形，使其可以在土壤中波浪式前进；青蛙通过控制舌头的肌肉柔性收缩与舒张快速吐出舌头来捕食。植物的茎叶也都具有一定的柔性，这种柔性可以保护植物在风雨中不易折断。在8000年前，人类从大自然的生物柔性中获得灵感，发明了弹弓和弓之类的工具用以捕猎。中国古代木质结构建筑通过木材本身的柔性以及榫卯结构使得建筑有很好的抗震性能。虽然人类在悠久的历史中已经认识到并很好的利用了柔性原理，但对于柔性原理的系统科学研究却起步很晚。1678年，胡克在弹簧论文中提出了胡克定律，为弹性力学的发展奠定了基础，这也是柔性机构的力学理论基础。直到20世纪60年代，学者们才真正对柔性机构进行专门的研究。1965年，Paros等5提出一种圆弧缺口型柔性铰链，并推导了其弹性变形表达式。1968年，Buens和Crossley6首先提出了柔性杆的概念，利用柔性杆自身的柔性变形代替传统刚性机构的传动副来传递力和能量。80年代末，Midha等2,7开创了柔性机构的系统研究并定义了专业术语柔性机构（compliant mechanisms）。1994年Howell7提出应用于具有短长度柔性铰链的柔性机构设计分析的伪刚体模型法，即将柔性铰链等效简化成刚性模型，再用刚体结构学理论进行分析，该方法促进了柔性机构的快速发展。但伪刚体模型法提供的简单参数化模型不能用于空间结构，所以随后Ananthasuresh等8,9又将拓扑优化中的均匀化方法引入到柔性机构设计中来，为柔性机构的设计开辟了新道路。Sigmund10通过约束输入点的位移，构造了更加简单的柔性机构拓扑优化模型。2004年Bernardoni11介绍了一种基于给定设计域柔性模块分布的优化方法的柔性机构合成的设计方法，此方法被称为模块法，同样弥补了伪刚体模型法的不足。近年来，胞元式柔性机构作为一种颇具前景的柔性机构得到更多的研究，胞元式柔性机构指通过微观柔性胞元的周期阵列形成的在宏观上具有特殊性能的柔性机构12。Secord和Asada13设计了一个胞元式柔性机构的PTZ驱动器实现高精度的大行程驱动。Olympio等14设计了一维零泊松比的蜂窝形柔性结构应用于变体航空器。随后Lesieutre等15又设计一种二维柔性蜂窝桁架结构机翼取代内部结构固定的机翼，可以通过改变自身结构以适应不同飞行阶段，同时减轻机翼重量。国内对柔性机构的研究起步稍晚，1999年，王晓明16等提出了基于均匀化理论、伴随变量法和有限元方法计算微小型柔性结构拓扑优化敏度响应的方法。于靖军17,18等针对伪刚体模型法的不足，在此方法的基础上，通过建立柔性铰链刚度矩阵，提出一种扩展伪刚体模型法，适用于空间全柔性结构的分析。闵健19等同样基于伪刚体模型法，运用AutoCAD命令，将柔性机构离散成有限元单元生成刚度矩阵进行力学和运动学分析，提高了计算速度且精度较高。王煜20提出了设计多材料组成的单片柔性机构的水平集方法，此方法可作为连续异质结构的优化方法。罗阳军21等针对柔性机构制造的运行中的不确定因素，提出了一种拓扑优化数学模型，并验证此优化方法比确定性设计结果更优。路小波22等针对柔性智能结构主动振动控制，介绍了一种实验建模方法。陈建军23等提出了一种针对柔性智能结构振动控制的模糊神经网络控制算法。夏尊凤和许焰24分析了五种典型的柔性机构，并给出了柔性机构自由度计算公式。辛礼兵25等基于伪刚体模型，给出了柔性机构的两种自由度定义和推论，分析了柔性机构自由度计算方法。国内学者同样对胞元式柔性机构进行了研究，何燕飞38等推导出蜂窝柔性结构吸波材料的等效磁导率和介电常数公式，分析了蜂窝柔性结构的吸波性能。柔性蜂窝结构同样在变体机翼领域中得到广泛研究26-28。孙杰29设计了两种有减震降噪功能的柔性机构，对此柔性机构单胞进行动态特性分析，并研究了柔性机构各参数对动态特性的影响，然后选取其中一种较优的柔性机构进行了周期阵列声辐射分析。刘登斌30在孙杰研究的基础上，建立了含双层微穿孔板的柔性结构以及含双层支架的柔性机构，运用ANSYS软件和数值分析方法分析了柔性机构的动态特性和阻尼特性。付春丽31分析了一种含单层支架柔性机构的振动特性，运用摄动理论优化机构参数以达到降低机构固有频率的目的。1.3 本文的研究内容在课题组前期工作的基础上，本文对几种柔性机构的振动特性进行比较分析研究。具体的柔性机构是一种包含一层支架的柔性机构和在此基础上扩展出的双层支架柔性机构、圆柱形柔性机构、穿孔板柔性机构以及蜂窝形支架的柔性机构。这类柔性机构的主要功用是减振降噪，其基本形式是两层薄板用柔性支架连接，通过机构的共振来吸收传递到柔性机构上的振动能量以达到减振降噪的目的。本文以有限元方法和机械振动理论为基础分析柔性机构的振动特性。并将扩展出的几种柔性机构与单层支架柔性机构的振动特性进行对比分析。首先，介绍了本文研究所基于的机械振动基础理论，分别对单自由度和多自由度系统的振动理论进行介绍，并推导了传递函数和固有频率公式；同时介绍了有限元分析方法的基本思路。然后，在有限元软件ANSYS中创建机构的有限元模型，进行谐响应分析和模态分析，导出结果数据在MATLAB软件中用最小二乘法拟合出柔性机构传递函数。改变单层支架的支架角度等参数，分析各参数对柔性机构传递函数系数、固有频率和上下层板幅频响应的影响。最后，将单层支架柔性机构扩展出多种变体机构，利用ANSYS和MATLAB软件进行同样的分析，将扩展出的几种柔性机构与单层支架柔性机构的振动特性进行对比分析。同时对于穿孔板柔性机构分析其穿孔孔径对振动特性的影响。2 基础理论2.1 机械振动理论机械或者结构体在其稳定的平衡位置附近做的往复运动被称作机械振动。按照不同的分类方法，可以将机械振动分为单自由度系统和多自由度系统、自由振动和受迫振动、无阻尼振动和有阻尼振动以及线性振动和非线性振动等32。在分析工程实际问题时，常常需要将复杂的振动问题简化成单自由度振动系统或者多自由度振动系统。自由振动是指初始激励作用撤除后，结构靠自身的弹性恢复力自由振动，对系统自由振动的研究可以获得系统固有的振动特性；受迫振动是指结构在持续的外界激励下被迫产生的振动，本节分别对单自由度和多自由度系统的振动理论进行介绍。2.1.1 单自由度系统自由振动系统在振动过程中任何瞬时的几何位置仅需要一个坐标就可以确定的振动就是单自由度系统振动，是最简单的振动系统，是研究复杂形式振动的基础。理论的自由振动过程中振幅是恒定不变的，振动将会无限延续下去，但是实际的振动过程中，振幅会逐渐衰减最后停止，这说明有阻力的存在，振动系统中的这种阻力被称为阻尼，在振动系统中的阻尼可以用粘性阻尼理论进行分析，粘性阻尼与运动速度的平方成正比，但在低速时与速度成正比，为线性阻尼： （2.1） 其中c为粘性阻尼系数，负号表示阻尼D的方向与速度方向相反33。下面建立有阻尼单自由度系统的运动微分方程： （2.2）其中，m为质量，k为弹簧刚度，、和分别代表质量的位移、速度和加速度。令，代入（2.2）式中得到： （2.3）由微分方程理论可知，式（2.3）是一个二阶齐次线性常系数微分方程，其解的形式为： （2.4）A和r是待定常数，且A不为0，将式（2.4）代入式（2.3）中得到系统的特征方程： （2.5）特征方程的两个根为 （2.6）代入微分方程得到其通解表达式为 （2.7）由式（2.7）可知，系统的运动状态取决于的值是虚数还是实数，现引入一个无量纲的量，被称为阻尼比或者相对阻尼系数，因此，式（2.6）和式（2.7）可以改写为： （2.8） （2.9）根据的大小，分为，和三种情况分别进行讨论。（1） 当时，为欠阻尼状态，和为一对共轭复根，可以重写为： （2.10）其中称为有阻尼系统的减幅振动频率。应用欧拉公式将式（2.9）改写为： （2.11）其中，和均是由初始条件决定的常数，根据t=0时刻的初始位移和初始加速度条件，得到系统的响应式为： （2.12） 由式（2.11）可以看出，系统振动的振幅是随时间按指数级减小的，系统做振幅逐渐减小的周期性阻尼振动，这种振动被称为衰减振动，响应曲线如图2.1所示。图2.1 欠阻尼状态下系统的响应曲线Fig. 2.1 Response curve of under damped case（2）当时，为过阻尼状态，和为两个不相等的负实数根，如式（2.8）。把t=0时刻的初始位移和初始加速度代入式（2.9）得到系统对初始条件的响应为： （2.13）过阻尼状态时阻尼太大，系统受到扰动后离开平衡位置，但是无法越过平衡位置，系统不产生振动，只能以非周期运动方式缓慢地蠕动回初始位置，如图2.2所示。图2.2 过阻尼状态下系统的响应曲线Fig. 2.2 Response curve of over damped case（3） 当时，为临界阻尼状态，和为两个相等的实数根，即，因此，微分方程的通解为： （2.14）代入t=0时刻的初始位移和初始加速度得， （2.15）系统响应如图2.3所示，与过阻尼响应类似，运动不越过平衡位置，系统无振动性质，是按指数级衰减的非周期运动，快速回到平衡位置。临界阻尼状态是从衰减振动过渡到非周期蠕动的临界状态，是重要的临界值34。图2.3 临界阻尼状态下系统的响应曲线Fig. 2.3 Response curve of critically damped case这三种阻尼状态中，临界阻尼状态中的位移最大，返回平衡位置最快，所以，为了到达减振隔振的目的，调节固有频率和阻尼的大小，使机构达到临界阻尼状态，从而快速地消除振动的影响。2.1.2 多自由度系统受迫振动工程实际中的振动问题大多可以简化成单自由度系统进行响应分析，但对于由许多子系统组成的复杂系统，要做到完整分析，需要对许多独立坐标综合分析，这种由多个独立坐标组成的系统就称为多自由度系统。与单自由度系统相比，多自由度系统的分析复杂，计算量大，通常采用模态分析的方法。模态分析方法是将相互耦合的多自由度系统运动变换成多个单自由度系统运动方程，然后对这些单自由度系统方程进行求解33。N自由度系统的运动微分方程用矩阵表示，可以写为： （2.16）其中，、分别为系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，为N维坐标矢量，和分别为速度矢量和加速度矢量，是外力矢量。求解运动微分方程（2.16），即在的作用下，求出、和。接下来主要介绍用振型法解多自由度运动微分方程。（1）当系统中无阻尼时，则系统振动微分方程变为： （2.17）首先求解相应的无外载荷作用下的自由振动方程，即 （2.18） 根据微分方程理论，其解的形式为： （2.19） 其中为待定常数；将其代入式（2.18）中，得到 （2.20） （2.21） 可求出系统的固有圆频率，以及其相应的模态，。定义固有圆频率相应主振型，关于正交，即 （2.22） 其中，为N阶单位矩阵。由于，以及，是式（2.20）的解，所以式（2.21）可写成 （2.23） 对上式左乘一个，有 （2.24） 由于与正交，根据式（2.22），上式可写成 （2.25） 设，代入式（2.17）中，得到 （2.26） 对上式左乘，得到 （2.27） 由式（2.22）和式（2.25）知，上式可以写成 （2.28） 其中 （2.29） 方程（2.28）表示N组解耦方程，每组解耦方程均为二阶微分方程，即 （i=1,2,n） （2.30）运用单自由度系统解法将上述二阶微分方程中的求出后，矩阵形式为 （2.31）然后将式（2.31）代入中，得到多自由度系统微分方程的完整解。 （2）当系统中存在阻尼时，微分方程同式（2.16）形式： （2.32） 其中，为阻尼矩阵，一般情况下无法用主振型矩阵进行对角化，所以假设阻尼矩阵为质量矩阵和刚度矩阵的线性组合，即 （2.33） 这种阻尼称为比例阻尼，其中a和b为正的常数，可根据问题的实际情况来确定。对于微分方程（2.32），按照无阻尼情况的处理方式得到以下方程： （2.34）将式（2.22）和式（2.25）代入上式中，则运动方程变为 （2.35） 其中，解耦方程式为： （i=1,2,n） （2.36） 就是第i阶模态阻尼常数，通常用模态阻尼比来描述，即 （2.37）将代入式（2.36）中，得到 （i=1,2,n） （2.38）首先计算方程（2.38）的齐次方程的通解，然后再求出一组特解。关于齐次方程的通解，同样分为，和三种情况。（1）当时，为亚临界阻尼情况亚临界阻尼情况也称为小阻尼情形，此时齐次方程的通解为 （2.39）其中，A、是由初始条件确定的系数，为相位。（2）当时，为超临界阻尼情况超临界阻尼情况也称为大阻尼情形，此时齐次方程的通解为 （2.40）（3）当时，为临界阻尼情况此时齐次方程的通解为 （2.41）其中，和是由初始条件确定的系数。方程（2.38）的特解为（当时） （2.42）将得到的代入中就可以得到微分方程的完整解。2.2 固有频率固有频率是系统的重要特征之一，也是研究振动系统的一项重要任务，具有十分重要的意义。针对单自由度系统固有频率的计算通常有静变形法，能量法和Rayleigh法等方法，下面介绍能量法计算系统固有频率，其理论基础是能量守恒原理33。 在系统振动过程中，系统质量的动能T和系统弹性变形的势能U不断转换，在振动任一瞬时，系统能量保持守恒 （2.43）质体m的位移为x，则系统的动能为 （2.44）系统的势能为质体m离开平衡位置弹性恢复力所作的功，即 （2.45）当系统处在平衡位置时，x=0，速度最大，此时势能为零，动能达到最大值；当系统处在最大偏离位置时，此时动能为零，势能达到最大值。由式（2.43）可知 （2.46）单自由度自由振动的位移x和速度（x点）分别为 （2.47） （2.48）由式（2.47）和式（2.48）可知，位移和速度的最大值分别为 （2.49） （2.50）分别代入式（2.44）和式（2.45），得到最大动能和最大势能： （2.51） （2.52）又由式（2.46）得 （2.53） 进而得出固有频率 （2.54）2.3 传递函数振动系统的传递函数是指系统响应与激励之间的拉普拉斯变换之比，所需的条件是系统初始状态为零。传递函数是系统频域响应的一个重要特征量，对振动系统的分析和控制具有重要意义。傅里叶变换和拉普拉斯变换是求系统传递函数的主要方法。粘性阻尼情况下，单自由度系统微分方程为 （2.55）系统初始条件为零，即，对式（2.55）进行拉普拉斯变换，令，其中为复变量，得到 （2.56） 写成 （2.57）其中就是系统的传递函数，表达式为 （2.58）系统的阻抗为如果，上述过程就是傅里叶变换，得到的传递函数就被称作频率响应函数 （2.59）本文第三章和第四章会分析几种柔性机构参数的变化对机构传递函数的影响，从而有效地对机构进行控制。2.4 有限元理论对于振动特性分析这类可在给定边界条件下求解微分方程的问题，只有性质简单或者几何形状规则的可以用解析法解出精确解，对于大部分复杂的工程实际问题，需要各种假设条件进行简化求解，简化条件下的解可能会有很大的误差甚至错误，近些年来广泛应用的有限元数值分析方法能很好的解决这一问题。2.4.1 有限元基本思想有限元法源于结构矩阵分析方法，有限元思想早在1941年就被提出，用格栅的集合体表示二维和三维结构体，但当时并没有得到重视，随后由于计算机技术的发展，有限元法迅速得到推广和应用。有限元方法简单高效、方便实用，最早在结构强度计算方面获得良好成效，随后科学家们又将有限元方法从静力分析扩展到分析结构动力问题、稳定问题和波动问题，成为结构分析的有效方法，如今，有限元方法又在流体力学、电磁场和热传导领域获得了应用。有限元理论的主要思想是将连续的结构体离散成有限多个单元，这些单元由其边界上的节点连接成连续的整体，然后运用插值法通过节点的场函数建立单元的场函数，连续两单元上相对应的节点的场变量函数数值相同，依据此原理就可以同过求解有限自由度的场变量函数的节点值来解决原有的无穷多自由度函数问题。然后依据原数学模型建立节点值的运动方程组，用数值方法求解35。2.4.2 振动问题的有限元法依据有限元基本思想，对于结构的振动问题，首先把单元的节点力用节点的位移、速度、加速度表示： （2.60）其中、分别为加速度、速度和位移向量，角标e代表节点，为节点力，为等效节点载荷。依据相邻连续两单元对应节点的节点力数值相同，离散出结构的动力平衡方程 （2.61）其中为整体质量矩阵，由单元质量矩阵集合而成；为整体阻尼矩阵，由单元阻尼矩阵集合而成；为整体刚度矩阵，由单元刚度矩阵集合而成；为结构整体载荷向量。初始条件为，。求解动力响应方程主要有振型叠加法和直接积分法两类方法，这里主要介绍直接积分法中应用最广泛有效的中心差分法。中心差分法首先根据初始条件形成质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，由初始条件和，通过式（2.61）令求得，然后选择时间步长，用位移分别表示出速度和加速度分别为 （2.62） （2.63）将式（2.62）和（2.63）代入式（2.61）得 （2.64）令其中为等效质量矩阵，表示为，将其三角分解为。根据式（2.64）进行迭代计算，由和求出，然后代入式（2.62）和（2.63）求出各时刻的速度和加速度。在迭代初始步即时刻，已知，未知，所以由式（2.62）和（2.63）计算出 （2.65）2.5 本章小结本章介绍了单自由度和多自由度振动系统的运动微分方程求解过程，以及此基础上得出的固有频率和传递函数计算公式。然后介绍了有限元方法的基本思想，具体介绍了分析结构振动问题的有限元方法。3 含有单层支架的柔性机构振动特性分析本章针对一种周期阵列的含单层支架的柔性机构的单胞，如图3.1所示（未画出上层板和上块及前端板），为了分析其振动特性，在ANSYS软件中建立机构的四分之一有限元模型，通过谐响应分析得到上下层板的振幅-频率曲线，然后将曲线在MATLAB软件中进行拟合，获得预先设定形式的传递函数。改变上下支架与上下层板之间的角度，分析其对上下层板传递函数系数、机构固有频率及上下层板振幅比的影响，以便准确控制此柔性机构振动特性。图3.1 含单层支架的柔性机构Fig. 3.1 compliant mechanism with single layer bracket3.1 有限元仿真分析过程3.1.1 建立有限元模型利用有限元软件ANSYS的前处理器Preprocessor建立模型，前处理的工作分为定义单元类型，定义单元实常数，定义材料属性数据，创建几何模型和划分单元网格五个步骤。含有单层支架的柔性机构为轴对称结构，为了节省计算时间，建立机构的四分之一模型即可，如图3.2所示。图3.2 柔性机构四分之一模型Fig. 3.2 Quarter model of compliant mechanism定义机构单元类型为solid95，单元形式如图3.3所示，该单元是由20 个具有三自由度的节点定义的，可以容许不规则形状，较适合曲线边界模型，故选用此单元类型。图3.3 Solid95单元Fig. 3.3 Solid95 Geometry柔性机构整体材料均为合金钢，材料属性具体数据如表3.1所示。表3.1 材料属性参数Tab. 3.1 Material properties parameters材料弹性模量（pa）泊松比密度（kg/m3）合金钢2.06E110.37850为了保证比较分析的可靠性，对进行比较的各柔性机构尺寸参数进行统一，以此单层支架为基准，具体数值如表3.2所示，圆弧缺口形柔性铰链圆半径分别为：下支架左端1.7mm，下支架中间1.3mm，上下支架交点及上下支架分别与块的交点处0.3mm，上支架与上板之间角度30度，下支架与下板之间角度20度。按照上述尺寸参数建立模型，把模型进行布尔相加操作使之成为整体后进行智能网格划分。表3.2 尺寸参数Tab. 3.2 Size parameters长（mm）宽（mm）厚（mm）薄板25.025.00.2块8.58.52.0支架2.00.6上下板间距 163.1.2 有限元加载求解根据柔性机构单元的实际工作情况利用ANSYS求解器Solution施加相应的约束和载荷。由于所建有限元模型为四分之一模型，所以在模型的正面施加Z方向约束（UZ），模型后面施加全约束（ALL DOF），模型的右侧面施加X方向约束（UX），模型左侧面及支架左端施加全约束（ALL DOF）。同时还需给机构模型一个初始激励，由于本文分析机构的传递函数与激励大小无关，选取适当大小的激励即可，所以在机构模型上表面施加2.5N面力（Pressure），约束及载荷如图3.2所示。创建分析类型为谐响应分析，采用FULL（完全）法，即完整的系统矩阵计算谐响应。根据模态分析算出的机构固有频率选取频率计算范围为500至1000Hz，设置载荷步数为100步，程序将在500至1000Hz频率范围以步长为5计算出100个解。载荷方式以Stepped方式变化，即在频率范围内的子步载荷保持恒定的幅值。3.1.3 有限元后处理通过有限元后处理器General Postproc（通用后处理器，POST1）和TimeHist Postproc（时间历程后处理器，POST26）查看分析结果。时间历程后处理器用于观察在整个频率范围内有限元模型中指定节点处的结果。通用后处理器用于观察在指定频率下整个模型的结果。用时间历程后处理器提取四分之一模型上板右前端点和下板右前端点（即整体模型板的中心点）的振幅-频率曲线，如图3.3所示。图3.3 上下层板振幅-频率曲线Fig. 3.3 Amplitude-frequency curve of upper and lower sheet metal根据振幅-频率曲线得出的模型固有频率，用通用后处理器查看在固有频率下，整个模型的振幅位移，如图3.4所示，虚线为机构初始位置。图3.4 柔性机构变形Fig. 3.4 Displacement of compliant mechanism3.1.4 拟合传递函数将在ANSYS软件中分析得出的上下层板振幅-频率数据导入到数值分析软件MATLAB中，运用MATLAB中invfreqs命令编写程序拟合振幅-频率曲线得到上下层板的传递函数。传递函数形式为 （3.1）(a) (b)图3.5 拟合曲线（a.上层板 b.下层板）Fig. 3.5 Fitting curve (a. upper sheet metal b.lower sheet metal)3.2 支架角度对传递函数的影响3.2.1 上支架角度对传递函数的影响取下支架与下层板之间角度恒定为20度，改变上支架与上层板之间的角度，取角度范围为24至40度，分析上支架角度对柔性机构上层板和下层板传递函数的影响，具体观察传递函数系数、和的变化，并将得到的、和曲线在MATLAB软件中用最小二乘法进行拟合。图3.6 上层板传递函数系数受上支架角度影响的曲线Fig. 3.6 The curve of upper sheet metals transfer function coefficients affected by the angle of upper bracket图3.7 上层板传递函数系数受上支架角度影响的曲线Fig. 3.7 The curve of upper sheet metals transfer function coefficients affected by the angle of upper bracket图3.8 上层板传递函数系数受上支架角度影响的曲线Fig. 3.8 The curve of upper sheet metals transfer function coefficients affected by the angle of upper bracket图3.6、图3.7和图3.8分别是上层板传递函数系数、和受上支架角度影响的曲线，由图可以看出，随着上支架角度的增大呈线性增大趋势，的绝对值在24至34度范围内随上支架角度的增大而增大，在34至40度范围内随上支架角度的增大而减小，在24至32度范围内随上支架角度的增大而减小，在32至40度范围内随上支架角度的增大而增大。图3.9 下层板传递函数系数受上支架角度影响的曲线Fig. 3.9 The curve of lower sheet metals transfer function coefficients affected by the angle of upper bracket图3.10 下层板传递函数系数受上支架角度影响的曲线Fig. 3.10 The curve of lower sheet metals transfer function coefficients affected by the angle of upper bracket图3.9、图3.10和图3.11分别是下层板传递函数系数、和受上支架角度影响的曲线，由图可以看出，随着上支架角度的增大呈线性增大趋势，在24至32度范围内随上支架角度的增大而增大，在32至40度范围内随上支架角度的增大而减小，有小的波动，但在整体上与上层板传递函数系数变化相同。图3.11 下层板传递函数系数受上支架角度影响的曲线Fig. 3.11 The curve of lower sheet metals transfer function coefficients affected by the angle of upper bracket综合比较上下层板可以得出，上下层板传递函数系数、和呈相同趋势变化，只是数值大小上有区别，根据第二章中对于传递函数的推导，由式（2.58）和（3.1）可知： （3.2） （3.3） （3.4）由式（2.54）可知机构固有频率为，其中，k为机构刚度，m为机构质量，c为机构阻尼系数。由图3.5和图3.8可以看出上下层板传递函数系数数值基本一样，将上层板传递函数系数数值代入式（3.5）中，得出机构在上支架不同角度下的固有频率，如表3.3所示。表3.3 上支架各角度下的机构固有频率Tab. 3.3 Natural frequency under each angle of upper bracket上支架角度242628303234363840固有频率694.25721.30746.72773.29808.38837.78881.86921.10969.31利用ANSYS软件对机构进行模态分析，施加与谐响应分析时同样的约束，不施加载荷，计算得到机构的一阶固有频率，同样在24至40度范围改变上支架的角度，得到固有频率曲线，将由计算得到机构固有频率曲线与ANSYS模态分析得到的固有频率曲线绘制在同一坐标系下，如图3.12所示两条曲线几乎完全重合，这表明传递函数系数与机构固有频率完全成正比关系，机构的固有频率随上支架与上板之间角度的增大而增大，同时也证明了经MATLAB拟合出的传递函数的准确性。图3.12 固有频率受上支架角度影响的曲线Fig. 3.12 The curve of natural frequency affected by the angle of upper bracket由式（3.4）可知，系数与机构质量成反比关系，改变支架角度必然会对机构质量产生影响，但由图3.8和图3.11看出系数浮动很小，说明支架角度对机构质量的影响很小，可以忽略不计。由式（3.3）可知，在忽略机构质量影响的情况下，系数与机构阻尼成正比关系，机构阻尼越大，对振动能量吸收的越多，机构的振幅也就越小，由图3.13和图3.14可知，上下层板在上支架角度34度左右时振幅最小，随着角度的增加和减小，振幅都逐渐增大，这与系数的变化趋势恰好相反，证明了机构阻尼越大，对振动能量吸收的越多，机构的振幅也就越小。这为减振类柔性机构的设计和应用提供了方向，即在保证其他设计要求的前提下追求传递函数系数的最大化。图3.13 上层板幅值受上支架角度影响的曲线Fig. 3.13 The curve of upper sheet metals amplitude affected by the angle of upper bracket图3.14 下层板幅值受上支架角度影响的曲线Fig. 3.14 The curve of lower sheet metals amplitude affected by the angle of upper bracket分析这类柔性机构的减振性能，还需考虑上下层板的振幅比B，B等于上层板最大振幅与下层板最大振幅之比，即图3.13和图3.14中相应幅值之比。B值越大表明由上层板经支架传递到下层板上的振幅越小，说明支架吸收的振动能量越多，减振效果越好。由图3.15可以看出，在下支架角度为34度时，B值最小，随着角度的增加和减小，B值都逐渐增大，但最大增幅只有10%，说明改变上支架角度对B值影响不大，在设计中可酌情考虑使上支架角度适当远离34度。图3.15 上下层板振幅比BFig. 3.15 Upper and lower sheet metals amplitude ratio B3.2.2 下支架角度对传递函数的影响在分析下支架与下层板之间的角度对上下层板传递函数的影响时，为了克服局限性，不采用取上层支架角度恒定，在一定范围内改变下支架与下层板之间角度的方式来分析其对传递函数系数影响。而是取下支架与下层板角度范围为17至22度区间，在区间内每一角度下，都按照上一小节中的分析方法，即在24至40度范围内改变上支架与上层板角度，经ANSYS软件分析和MATLAB软件拟合得到上下层板传递函数、机构固有频率和上下层板振幅比B。这样在区间内的每一个下支架角度情况下都获得一组数据进行分析比较。图3.16 上层板传递函数系数受下支架角度的影响Fig. 3.16 transfer function coefficients of upper sheet metal affected by the angle of lower brac