毕业论文范文——教学角度解决分式方程“验根”问题

教学角度解决分式方程“验根”问题姓 名 谭雪 学 号 2150402119 年 级 2015级 专 业 学科教学（数学）完成时间 2015.7.6 目录一、问题的提出31. 研究背景32. 研究问题3二、文献综述31、与分式方程有关的的数学知识32、与分式方程验根问题的相关研究41.1增根的由来41.2分式方程的解法61.3增根与无根的辨析81.4验根问题10三、研究设计121. 研究对象122. 研究方法123. 研究工具12四、研究结果分式方程教学设计13附录一：调查问卷（教师版）19关于教师对中学学生“验根问题”错因的调查19参考文献20一、问题的提出1. 研究背景随着素质教育的推进，新课程改革如火如荼的进行着，数学学科的改革也随之在迸发出新生概念，在这样一个素质为主的教育环境下，培养学生的数学思维和数学素质逐渐走进了数学教学，走上了数学讲台。无论是在课上，还是在课下校园中处处都透露着对学生思想的积极影响因素，这其中教材、教学当是对学生影响最大的两个因素。本文以分式方程为例，以目前教材、教学中对求解分式方程所存在的问题为载体，意在提供一种新的求解分式方程的解题思路，从而从根本上解决“验根”问题。2. 研究问题 在初中教学成果测验中，分式方程“验根”是大部分初中生存在的问题：学生由于没有验根导致求解分式方程错误，将增根作为方程的解。本文针对这个问题对目前教材在分式方程问题的处理、教师的教学设计、学生的学习习惯等方面进行研究，找到问题出现的最根本原因，以期能够从教学角度在根本上解决“验根”问题。二、文献综述1、与分式方程有关的的数学知识1.1分式：一般地，如果 表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式.人民教育出版社课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心. 义务教育教科书数学（八年级上册）. 人民教育出版社，2013：127.1.2分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程 人民教育出版社课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心. 义务教育教科书数学（八年级上册）. 人民教育出版社，2013：149.。1.3增根（北师大版）：求解分式方程后，对增根这样描述：在这里，不是原方程的根，因为它使得原分式方程的分母为零，我们称它为原方程的增根。产生增根的原因是，我们在方程的两边同乘了一个可能使分母为零的整式义务教育教科书数学（八年级下册）. 北京师范大学出版社，2002：80-81.。1.4无解：方程本身就是一个矛盾的等式，无论未知数取何值，都无法使得这个方程两边的值相等 丁祖元. 强化数学思辨，凸显内在关联，提升核心素养. 中学数学月刊，2015年（第12期）：21.。2、与分式方程验根问题的相关研究1.1增根的由来分式方程在中国最早出现在测圆海镜，由数学家李治编写的，其中七卷二题有这样的式子：作者把上述方程左右两边同时乘以，得到 如今看这上下两个方程，可以得到它们是同解的，并没有出现增根的问题。但事实上，这个方法就是将分式方程转化为整式方程求解的雏形，只是无法考究在转化之后李治先生是否有验根的过程，或者他在这个时候是否意识到了分母不能为0这一基本事实。这个文献是李治完成于1248年，比西方国家对分式方程的研究早了600年。600年以后的西方国家在，有人认为初等代数中根本不包含分式方程。直到英国著名盲人数学家、剑桥大学第四任卢卡斯数学教授桑德森给出了分式方程的这样一种解法：紧接着，他还给出了以上解法的逆过程：于是原方程的根为但是在桑德森的解法中，正向的过程包含了方程两边同时除以，但这时就涉及到了是否为0的问题。如果，那么步骤是成立的。但如果，对方程做两边同除的处理是没有意义的。同理可得，在桑德森逆向的过程中包含了方程两边同时除以，如果或，那么这一步骤也是没有意义的。由这一解法我们可以认为桑德森在此时是没有增根和丢根意识的。这与当时的数学发展背景有关，直到1880年，“零能否作除数”被分析的严密化运动牵扯出来，并在很多国家中被当做一个“重要问题”讨论。德国数学家李普西斯（R.Lipachitz）、哈克奈尔（A.Hamack）、奥地利数学家斯托尔茨（O.Stolz，1842-1905）相继指出零不能作除数。这个命题与分式方程的求解有着极其密切的关系。这个问题的讨论引起了一些数学家的重视，他们开始把分式方程作为一个专门的课题来研究，可以说这次运动也在一定程度当促进了分式方程求解的发展。直到1882年，美国康乃尔大学3位数学教授奥里佛（J.E.Oliver）、威特（L.A.Wait）和琼斯（G.W.Jones）在他们合著的代数中讨论了分式方程的解法.他证明了下面的定理：定理：方程两边乘以同一个数，若这个数既不是未知的函数，也不是0或，则方程的根不变。这个定理与现代的方程同解定理有着异曲同工之妙：在解方程组中，必须对方程（组）进行数学变形，使之转变为最简单的方程（组），然后，求得方程（组）的解集。在变形和运算过程中，有时会改变原方程（组）的定义域，使求得的解集与原方程的解集不相同，当真包含时，中含有某些解不是原方程的解，称这些解为原方程的增根，反之称为失根。在分式方程的变形中，变形后的定义域范围扩大，所以必须对分式方程进行验根 林国泰. 初等代数研究教程M. 广州：暨南大学出版社，1996:257。三位数学家已经有了解分式方程的办法，但是可以看到这个方法依然是存在缺陷的。他们认为在方程的两边同时乘以分母的最小公倍式，得到的多项式方程与原方程的解是相同的。但是这个结论已经被证明是错误的。如，两边同时乘以分母的最小公倍式得到，解得，显然是这个方程的增根。因此用“两边乘以分母最小公倍式”这种方法不能避免增根，要保证结果正确仍然要把所得结果带入原方程进行检验。到了这个阶段，数学家们已经可以认识到“增根和失根”的问题。为了避免在解方程的过程中增加或丢失方程的结果，在宾夕法尼亚大学的任教的数学教授费舍（G.E.Fisher）和施瓦特（I.J.Schwatt）在代数课本（Text-Book of Algebra）中给出了另外一种解法：将分式方程进行整理，移项通分，写成的形式，其中，此时这个方程的解与的解相同。这种解法就解决了“增根和失根”的问题，并且不需要进行检验。如上题通分得，解得费舍（G.E.Fisher）和施瓦特（I.J.Schwatt）给出的解法为求解分式方程画上了完美的句号。至今为止，基础教育求解分式方程仍然沿用以上两种方法，但“乘公倍式，带方程检验”的方法居多。纵观分式方程解法的发展历史，增根的由来可以将“零能否作为除数”作为一个里程碑和转折点。在数学家们开始重视“零能否作为除数”这一命题之前，人们求解分式方程时，没有意识到“方程两边同时乘以一个数，方程的解不变”这一命题中的致命缺陷。而直到人们意识到这个数如果为零，将会改变方程的解时，“增根”这一由于错误的解法而出现的“附属品”才进入人们的视线。1.2分式方程的解法傅种孙傅种孙. 傅种孙数学教育文选. 人民教育出版社，2005：102.老先生认为，“解分式方程之道：第一，先移项通分；第二，不必约分；第三，不可去母；第四，将方程写为下列形状（皆不同；皆）第五，每皆为原方程之一根，当时，可认为一根（但须改良解释）；当时，非根，遵此而行，可以无大过矣。 傅先生解分式方程的方法在第三步特别强调了“不可去母”，也就是说不能去分母。贺军 贺军.四种换元策略求解分式方程探析. 数理化学习（初中版）,编辑部邮箱，2015年（第12期）认为，分式方程可以由四种换元策略求解。第一类：直接换元例1.解： 设，则原方程可化为.解得. 当时，解得 当时，解得 经检验，是原方程的根。第二类：配方换元例2. 解方程解：原方程配方，得设，则原方程可化为解得 当时，即，无解。 当时，即，解得 经检验，是原方程的根。第三类：倒数换元例3. 解方程解： 设，则原方程可化为.去分母整理，得解得 当时，左右两边同时乘，得，解得 当时，左右两边同时乘，即，解得 经检验，是原方程的根。第四类：变形换元例4. 解方程解：设，则左右两边同乘，得且原方程可变形为有韦达定理知，是方程的两根，解得即或经检验都是原方程的根。姚永华 姚永华，解析初中数学中分式方程的解法及其应用. 中学数学，编辑部邮箱，2012年（第22期）认为解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法.1.去分母方程两边同时乘以最简公分母（最简公分母：系数取最小公倍数出现的字母取最高次幂出现的因式取最高次幂），将分式方程化为整式方程；若遇到互为相反数时.不要忘了改变符号.2.解整式方程移项，若有括号应去括号，注意变号，合并同类项，把系数化为1求出未知数的值；3.验根求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根.验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根.否则这个根就是原分式方程的根.若解出的根是增根，则原方程无解.如果分式本身约分了，也要带进去检验.一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解.（1）注意去分母时，不要漏乘整式项（2）増根是分式方程去分母后化成的整式方程的根，但不是原分式方程的解.（3）増根使最简分母等于0.1.3增根与无根的辨析林燕 林燕，辨析分式方程有增根和无解. 初中数学教与学，编辑部邮箱，2014年（第22期）以4道习题为例，辨析了分式方程的增根与无解：例1. 关于的方程有增根，求的值；例2. 关于的方程无解，求的值.对比以上两道例题，分别对同一个分式方程规定“有增根”和“无解”两种情况，从而对比两道题目的解题过程。例1解：方程左右两边同时乘以，得到 方程有增根 ，即 ，解得例2解：方程左右两边同时乘以，得到 方程无解 ，即 ，解得 可以发现，例1和例2的解题过程是完全一样的。难道分式方程的增根和无解是等价的吗？林燕的解释是因为上述分式方程中未知数的系数不含有字母，而是具体的数字。也就是说如果分式方程中的未知数的系数不含有未知参数，那么分式方程增根与无解的解答结果是一样的。例3. 关于的方程有增根，求的值；例4. 关于的方程无解，求的值；例3解：方程左右两边同时乘以，得到 方程有增根 有解，即 解得，且 ，解得例4解：方程左右两边同时乘以，得到 方程无解 无解，即，解得 的解为增根，即， ，解得 综上所述或时方程无解。对比例3、例4两个例题可以发现，同一个分式方程无解和有增根的情况是不同的。在这里在对比例1、例2，林燕对两对例题解答过程的不同给出的解释是整式方程中的未知数在例3、例4中的系数带了参数，而例1、例2则没有。因此她总结出了这样的求解方法：1. 分式方程两边都乘以分母的最简公分母，得到整式方程；2. 整理整式方程化为的形式；3. 观察未知数的系数，如果未知数的系数不含有参数，则分式方程有增根和无解的结果是一样的；如果未知数的系数含有参数，则对无解的解答需要分情况讨论：第一种情况是无解，第二种情况是有解，但是这个解是分式方程的增根。 综上，分式方程的无解与增根是不等价的。二者既有区别也有联系。增根是在将分式方程化为整式方程时，方程两边同时乘以了一个“可能为0”的因式，从而有可能扩大了方程解的范围，解出的整式方程的根使得原分式方程分母为0。而分式方程无解则包括两种情况，第一分式方程化为整式方程后无解；第二分式方程化为整式方程后有解，但解是原分式方程的增根。1.4验根问题姜洋，孙朝仁 姜洋，孙朝仁，分式方程的验根. 数学教学，2009年（第6期）强调解分式方程一定要验根。并从反方面提供了例证。一位学生期中考试的答卷上是这样解答分式方程的：例1. 解方程解：，即原方程无解。这种解法在过程中一直遵循方程同解定理，每一步的转化都是充分和必要的，因此并不需要验根，作者也同意这点。但在作者对这种解法的评价是：“方法导致出现恒等式或恒不等式，因此具有较强的特殊性、偶然性，此方法不值得推广。”作者以这种解法为反例，强调教师在教学过程中“应该正确引导学生认识解分式方程一般方法的合理性和重要性，认识产生增根的原因和检验方法。”作者的观点很鲜明，他把“乘最简公因式解整式方程验根”作为解分式方程的“通性通法”，而把“移项化为求解”的方法作为特殊方法，这种观点与本文的观点正相反。所谓特殊、偶然是指解题的方法只针对具有特殊条件的题目才可用，但上述第二种方法可以解任何一种分式方程，本文在下文中将会谈到。陈元忠陈元忠，解分式方程不必都验根. 初中生辅导，Assist and Guide for Juniop Middle School Students，编辑部邮箱，2002年（第23期）提出：解分式方程不必都验根。他以解分式方程的几种方法为例证，阐明了分式方程并不是一定要验根。例1. 解方程解：将移项、通分，得 ，即解得原方程的根为这种方法在求解的过程中并没有扩大根的取值范围，因此不需要再进行验根。例2. 解方程解：无论取何值，都有，即方程两边同时乘以，得是方程的根例3. 解方程解： 是方程的根以上三种方法在求解的过程中并没有扩大根的取值范围，因此不需要再进行验根。例4. 解：方程两边同时乘以得把代到原分式方程检验，得是方程的增根，舍去。原方程无解这种方法采用的是目前教科书使用的一般方法，需要在最后进行验根。综上四种方法，我们得到的结论是：由于解题方法的并不唯一，并且本质都是不相同的，因此最后的验根程序需要视方法而定，并不是所有的方法都必须验根。三、研究设计1. 研究对象本文主要以各版本教材（包括北师大版、人教A版、人教B版、苏教版四个版本）、初中数学教师、八年级已经学过或者正在学习分式方程的学生为研究对象。2. 研究方法本文主要采用文献分析法、调查法和访谈法三种方法相结合进行研究。文献分析法是从现存的或特别收集来文字记载、学生作品、测验试卷等，加以分析、比较、综合，这种方法称为文献法。调查法是通过直接的观察，在系统而周密地掌握第一手资料的基础上，从大量事实中进行分析综合，找出数学规律的一种研究方法。调查法是通过各种方式、方法对所研究的对象不加任何干涉地搜集反映实况的材料。调查法常通过访问、发问卷、幵调查会、测验、评价等手段，包括研究调查对象与范围，拟定调查提纲和计划，开展实际调查活动，得出调查结论等步骤。有时还要将有关文件、表格、数据、绘图等资料作为附件列出。本研究主要通过自编分式方程测试卷，对每一题学生出现的错误率进行统计，从中找出与解分式方程相关题目时出现错误的几种主要类型。访谈调查法是调查者事先准备好问题向被调查者提问，以一问一答的形式与被调查者当面进行的调查方法。这种调查法通常通过口头问答的形式，对被调查者对某些事情的想法、某些社会现象的看法和某些教育方法、体质进行口头访谈。访谈调查法主要通过收集被访者的语言资料来进行的。本文采用的是无结构式访谈，它并不事先预定问卷和提问的标准程序，只是给访谈者一个题目，甚至没有固定的访谈问题，而只有一个大致的主题，由访谈者和受访谈者围绕这个题目或主题自由交谈。通过访谈，研究者可以了解被访者他们是从哪个方面看待问题的，他们对访谈内容的理解，以及他们自己对待这些问题的建议。本文主要想通过访谈法，找出学生在解答问题过程中哪些知识储备不足，以分析错误原因。3. 研究工具为研究初中学生学习分式方程的情况，本研究主要通过以下工具来进行研究：学生平时的课堂作业和回家作业学生的分式方程的测试卷非结构性的访谈稿学生的作业为学年第二学期的作业，测试卷主要是本人根据平时的教学经验和相关教辅资料编制的测试卷，编制过程中向有多年教学经验的数学老师咨询并征求意见，主要对试题的内容、考查时间以及如何评价进行征求意见。对试题进行多次调整，并形成测试卷。测试卷由道题组成，这道题分别考察学生分式的定义、分式有意义条件、分式值为零、分式化简、分式运算、最简分式、解分式方程、增根和方程无解概念的理解、列分式方程解应用题等方面的知识。测试卷要求学生在一小时之内独立完成。四、研究结果分式方程教学设计教学目标知识技能1、经历探索分式方程解法的过程；2、会解分式方程，了解分式方程的基本思路3、理解解分式方程可能无解的原因，并掌握解分式方程的验根方法数学思考用分式方程表示实际问题中的相等关系，提高学生分析问题、解决问题的能力。解决问题经历“实际问题分式方程模型整式方程”的过程，渗透数学的转化思想，培养学生的应用意识情感态度培养学生乐于参加数学活动的习惯，体会数学的应用价值重点解分式方程的基本思路和解法难点理解分式方程有意义的条件活动流程图活动内容和目的活动1 情境问题引入活动2 强调分式方程有意义的条件及转化思想活动3探究解分式方程的过程活动4课堂总结，成长记录活动5课堂检测与反馈 为归纳分式方程的概念，探索分式方程的解法做准备l 分式方程有意义的条件是求解分式方程的基础。l 把待解决或未解决的问题，通过转化，化归到已经解决或比较容易解决的问题中 提高学生分析问题的能力 把本节课的知识进行归纳与总结 加强课堂巩固与反馈问题与情境师生行为设计意图活动1 情境问题引入一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？分析：解:设江水的流速为 v 千米/时，填空得：（1）轮船顺流航行速度为_千米/时;(2)逆流航行速度为_千米/时，（3）顺流航行100千米所用时间为_小时，逆流航行60千米所用时间为_小时教师提出问题：怎样用方程解决实际问题？步骤是什么？列出的方程未知数的范围有没有规定？ 学生完成问题的分析过程注意：引导学生将实际问题转化为数学问题，列出方程。本章从实际问题引出分式方程=，给出分式的描述性的定义：像这样分母中含有字母的式子属于分式. 不要在列方程时耽误时间，列方程在这节课里不是重点，也不要求解这个方程.强调方程有意义的条件先通过实际问题，引导学生列出分式方程，为探索分式方程及分式方程的解法做准备问题与情境师生行为设计意图活动2 探究解分式方程的过程1、下面我们一起研究怎么样来解分式方程2、试一试：解分式方程再次强调方程有意义的条件，让学生对分母不为0的未知数的取值范围有意识的注意。鼓励学生寻求解决问题的办法，引导学生将分式转化为整式方程，学生就会想到“去分母”来实现这种转变，求出方程的解，并要求学生验根教师板书解题过程学生讲解探究的过程教师引导学生模仿前面的方法解分式方程让学生运用“转化”思想，把待解决或未解决的问题，通过转化，化归到已经解决或比较容易解决的问题中去，最终使问题得到解决。活动3思考1. 如果没有标注未知数的取值范围就直接求解，会发生什么？3、你能试着说一说解分式方程的一般步骤吗？4、试一试：解方程学生先独立解决问题，然后前后桌进行交流教师参与到学生的讨论中，鼓励学生勇于解释这一现象的原因，懂得解分式方程一定要首先考虑未知数的取值范围。教师小结原因：如果在方程两边同乘一个不为0的数，那么所得方程与原方程同解方程两边同乘以（20+v）(20-v)当x=5时，（20+v）(20-v)0, 同解;方程两边同乘以(x+1)(x-1)，当x=1时，(x+1)(x-1)=0, 不同解;所以，分式方程一定要首先考虑未知数的取值范围！学生独立完成此题请一位学生在黑板上讲解题过程，及易错问题教师小结用分式的意义及分式的基本性质解释分式方程无解的原因加强巩固练习解分式方程的步骤：标注未知数取值范围转化为整式方程求解整式方程问题与情境师生行为设计意图活动4谈谈你有哪些收获活动5检测：解方程学生归纳总结教师强调本节课重点教师分层作业学生自己解答教师反馈把本节课的知识进行归纳与总结注重基础落实提高学习能力增强