基于局部和全局灰度信息的主动轮廓模型医学图像分割-毕业论文

基于局部和全局灰度信息的主动轮廓模型医学图像分割Sanping Zhou, Jinjun Wang n, Shun Zhang, Yudong Liang, Yihong Gong中国陕西710049咸宁西路28号西安交通大学人工智能与机器人研究所文献信息文献背景:2015年8月21号接收2015年9月21号修订2015年9月21号通过审核Shaoting Zhang确认关键词:医学图像分割 不均匀的水平集方法最大后验概率(MAP) 活动轮廓模型摘要本文针对医学图像分割提出了一种新的基于区域的主动轮廓模型水平集方法.我们基于高斯概率分布定义了一个统一的能量拟合框架来得到最大后验概率（MAP）估计.能量项由根据演化曲线内外的灰度,利用高斯分布来拟合的全局能量项,和基于局部灰度信息的局部高斯分布拟合的局部能量项构成.通过最小化相关的能量泛函驱动曲线演化,当演化曲线远离目标时,全局能量项加快其演化速度;而局部能量项使得曲线在接近目标边界时停止演化.此外,在局部能量项和全局能量项之间,通过使用局部和全局的方差信息提出一个加权函数,它使得该模型在分割灰度不均匀的图像时可以自适应地选择权重.与其他流行的方法相比较,在对合成图像和真实医学图像进行评价时,大量的实验证实了我们的方法在效率和精度上都有着着显著的改善.2016 Elsevier 公司保留所有权1、 简介图像分割是图像处理和计算机视觉应用中的一项基本而重要的任务,因为其分割结果将直接影响后续处理步骤的效果.医学图像分割的一个重要的挑战是由于偏置磁场灰度的不均匀性,这是由多种因素造成的,如照明的空间变化和成像设备的缺陷 13.由于在不同组织区域的灰度经常互相重叠,灰度不均匀性可能在医疗组织造成严重的错误分类.因此,在医学图像分割中如何处理灰度的不均匀性一直是一个具有挑战性的问题.在过去的几十年中,许多研究人员已经被吸引到研究灰度不均匀的图像分割算法上,并提出了许多有效的方法 4 12.最著名最有影响力的方法是活动轮廓模型,它作为有一个有前景的模型已被广泛用于图像分割.现有的活动轮廓模型可以大致分为两类:基于边缘的模型1318和基于区域的模型 19 25.基于边缘的模型利用边缘描述符作为一个附加的约束使得演化曲线在目标的边界上停止.通常,一个停止函数被用来吸引到期望的边界曲线.例如,GAC模型 13 利用图像梯度构造边缘停止函数停止演化曲线在目标边界上.一般而言,基于边缘的模型已成功地用于具有较强的目标边界的一般图像分割,但它们对噪声和弱边界通常是敏感的.替代利用图像梯度的边缘描述符,基于区域的模型通常的目标是确定每个感兴趣的区域,通过使用一个特定的区域描述符,如灰度,颜色,纹理或运动,以指导运动的发展曲线.因此,基于区域的模型对于在分割图像中存在的噪声和弱边界 20 问题一般有更好的性能.此外,基于区域模型的初始化没有基于边缘的模型敏感.在基于区域的模型之间,逐段常数（PC）模型 19 是有代表性的一个,它利用全局灰度信息不断变化的曲线,而不是图像梯度驱使发展曲线的运动.同样,Cremers等人 20 采用全局灰度均值和方差信息来定义一个全局高斯分布拟合模型（GGDF）能量引导演化曲线停止在目标边界.然而,两者都不能够分割灰度不均匀的图像,因为他们认为,在每个区域中的灰度保持恒定,这在灰度不均匀的图像中是不准确的.2001年和2002年之后,Tsai等人 21 和 Vese 等人 22 对于更一般的图像分割提出的两个独立地相似区域型模型,众所周知的为分割更通用图像的逐段光滑（PS）模型.虽然逐段光滑（PS）模型在灰度均匀的图像上没有呈现优势,但是它在分割灰度不均匀的图像时可以得到一个理想的结果.然而,逐段光滑（PS）模型的计算开销太大了.最近,局部灰度信息已被纳入主动轮廓模型用来处理灰度不均匀的图像.例如,Li 等人. 23,24 提出了一种局部二值拟合（LBF）模型来克服在灰度不均匀性造成的分割中的困难.LBF模型利用局部灰度信息,从而能够处理灰度的不均匀性.然而,因为LBF模型只使用局部的平均信息驱动演化曲线的运动,所以它不能区分不同的区域灰度的差异.因此,必须考虑解释更完整局部灰度的统计特性.例如,Rosenhahn等人 25 在他们提出的主动轮廓模型中充分利用局部灰度均值和方差信息两者来表征局部灰度分布.然而,在他们的模型中只是以经验为主的去定义了局部灰度均值和方差.在王等 4 提出的基于区域分布的活动轮（LGDF）模型中通过局部灰度均值和方差信息水平集公式从变分原理出发导出了其中的局部均值和方差,而不是通过经验来定义.因此基于区域分布的活动轮廓（LGDF）模型不仅可以处理灰度不均匀的图像,而且还可以区分不同灰度差异的区域.然而,基于区域信息的活动轮（LGDF）模型假设的先验概率描述像素属于一个常数的分区,在分割小物体中它是一个导致不准确的结果原因.还有因为它仅使用局部灰度信息引导发展曲线运动导致它的初始化是敏感的.在本文中,我们在局部和全局灰度信息水平集方法的基础上提出了一种新的基于区域信息的活动轮廓模型医学图像分割.我们的方法的主要优点,可以表述如下（1）根据最大后验概率规则将全局和局部的灰度信息都纳入拟议的分割框架.在由此产生的能量泛函,局部的能量项引导演化曲线在目标边界附近停止的同时,全局能量不断加速演化曲线远离目标.其结果是在提出的这个分割框架下效率和分割精度得到了改进.（2）为了分割图像中的小细节,利用分区的大小信息,描述一个邻域内的像素点的先验概率模型,并利用演化曲线两侧的大小信息来进行建模.与LGDF模型相比,其先验概率被假定为一个常数,我们的方法可以获得较高的精度,特别是在小细节分割.（3）在全局能量项和局部能量项之间的加权函数是通过利用局部和全局方差信息作为一个很好的特征来表现演化曲线和目标边界之间的距离.其结果是,在分割医学图像的过程中可以自适应的去选择权重.本文的其余部分是介绍如下:在第2节中,提出一些过去提出的相关模型的总结;在第3节中,简要的介绍了所提出的新方法;在第四节中,提供了详细的拟合结果.在第五节中,给出了结论.2、模型背景介绍2.1、全局高斯分布拟合模型（GGDF）Cremers等人 20 在基于水平集的图像分割中提出了一种最大后验概率的全局高斯分布拟合模型（GGDF）来分割图像中不连贯区域N中的图像区域,当,.在给定灰度值下使变成区域的后验概率,最大后验概率图像分割判断可以由贝叶斯规则表示如下:,（1）其中,是由表示的,它是在区域的概率,是区域的后验概率.因为先验概率的灰度值是独立选择的,因此在用于简单的图像分割中可以忽略不计.给定的先验概率为,因此,能量项可以忽略.假设每个区域内的像素都是独立的,只有在图像域是最大的时候该最大后验概率才能实现:.通过对数形式,最大化被转换成以下的最小化能量:.（2）假设在该地区中概率密度为,高斯平均为和标准方差为;可以定义如下:.（3）通过引入水平集函数来表示区域,式(2)可以改写为:.（4）其中为区域的特征函数,满足,.在全局高斯分布拟合模型中灰度均值和灰度方差被提出来分别适应图像演化曲线内部和外部的灰度.如果图像被不均匀的灰度破坏,不同的区域的像素值将彼此重叠,这使得全局拟合框架不准确 26 .这就是为什么GGDF模型不能分割灰度不均匀的医学图像.2.2、局部高斯分布拟合模型（LGDF）王4等在水平集的基础上提出了一种局部高斯分布拟合模型（LGDF）去分割灰度不均匀的图像.设半径为,中心点x的圆形邻域点为.个不连贯的区域包括一个可以由表示的邻域.在圆形邻域内的图像分割的最大后验概率评估可以表示使用贝叶斯规则如下:,（5）其中是分区的后验概率,给出了在圆周中的灰度值;是分区的先验概率.,用表示,是在分区中的概率密度,是灰度值的先验概率,这是独立于该区域选择的,因此可以忽略不计.给定的先验概率为=1/N,因此,可以忽略.假设每个区域内的像素是独立的,最大后验概率将被实现仅当邻域最大化时:.用对数形式,最大化可以被转换成以下的最小化能量:,（6）在式6中概率密度由分区中高斯分布模型的均值和方差描述.具体如下:,（7）让和代入式（6）,通过引入非负权重函数满足=0,并用水平集函数代表分区,方程的能量泛函（6）可以改写为:,（8）其中为分区的特征函数,满足,.现在的整体能量,在图像域x的所有点可以被定义为:.（9）由于LGDF模型同时利用局部灰度均值和局部灰度方差,它对灰度不均匀的图像和可分割区域存在不同灰度的情况是更强大的.LGDF模型的局限性是由于一个先验概率是假设在进化过程中是一个常数.这就是为什么LGDF模型不能分割小细节.此外,该LGDF模型的初始化很敏感,因为它只利用局部灰度信息驱动的演化曲线.3、提出的模型因为GGDF模型和LGDF模型,在这一节中,我们提出我们的模型,由三部分组成:全局能量项,局部能量项,和正则化能量项.整体的能量被分配如下: (10)其中g是全局能源项与局部能量项之间的加权函数.3.1、能量项全球能量项是在GGDF模型直接来源于方程（4）,这是基于全局特征分别利用内外发展曲线的灰度的均值和方差来定义的.因此,全局能量项定义如下: （11）其中为分区的特征函数,满足,.由于在全局能量项中全局灰度均值和全局灰度方差可以加速演化曲线C向目标边界演变.然而,对于灰度不均匀的医学图像,最终得到的曲线可能很难分割成目标区域和背景区域的图像,即使经过长时间的迭代时间.其原因是,全局能量项假设的灰度均值和灰度的方差是分段常数.其结果是,在两个目标区域和背景区域的恒定灰度的均值和方差不能代表非均匀灰度.为了达到良好的性能,在分割灰度不均匀的医学图像时,局部信息必须考虑.在LGDF模型的先验概率直接定义为一个常数,这是不合理的因为整个进化过程中分区大小变化.如图1所示,在A点附近,考虑了一个圆的中心点,分区的大小随曲线的变化而减小,而的大小同时增加.设和分别表示和邻域的大小.因此,我们可以定义一个函数相对于分区的大小,如,这样模型的先验概率更合理.通过具体化函数（9）中的先验概率函数,局部能量项可以定义如下: ,(12)其中是一个非负的权重函数.在本文中,我们定义了缩短了高斯内核:图1:曲线演化过程中的分区的变化.绿色曲线表示的是演化曲线和红色曲线表示的圆形邻域.（a）显示的是演化曲线的初始化,（b）显示在进化过程中的分区的变化,和（c）显示的分区后,迭代的最后状态.（对于本图标题中提及的颜色的解释）,读者可以参考本文的网页版.） ,（13）其中为标准偏差的高斯函数,为圆形邻域为半径.为了选择全局能量项和局部能量项之间的权重,我们根据图1所示的观测,提出了加权函数.在进化的开始,曲线C将图像域划分为一个均匀区域和一个非均匀区域,而圆邻域内的图像域将保持在背景区域中,如图1所示（a）.当曲线C演化途径目标边界,圆邻域是构成一个同质的部分和一个均匀的部分,如图（b）所示.当演化曲线C停止在目标边界上时,图像域被划分为2个均匀区域,并且由两个均匀部分构成,如图1（c）所示.由于灰度信息在均匀区域小在非均匀区域大,和的差异对描述演化曲线和目标边界之间的距离提供了一个很好的特征.因此,加权函数被定义如下: （14）其中Z是归一化因子,是在演化曲线的灰度方差和是圆邻域内的演化曲线的灰度方差.为了更准确的计算涉及的水平集函数及其演化,我们需要通过对其偏离符号距离函数 15 规范水平集函数,这可以通过以下的能量函数的定义: ,（15）作为典型的水平集方法,在演化过程中我们经常需要减小其长度得到一个平滑的轮廓来规范零水平集.在本文中,它被定义如下: ,（16）其中是Heaviside函数,和是狄拉克函数.因此,在所提出的模型中,正则化项应该是由两项组成的,它可以被表述如下: ,（17）其中u,v分别为长度罚项和距离罚项的系数.3.2、水平集公式我们首先考虑的情况下,在这种情况下,图像域被划分为2个区域,可以表示为和.在这种情况下,该模型在式（10）定义: ,（18）当而且时,不是完全被支持的,顺利和严格单调逼近,是正则逼近,被定义如下: , （19）在是正数时,我们选择.微积分的变化将显示函数、和常数、,这将可以最大限度地减少函数（18）中的能源函数来满足函数可以变为一下形式: , （20） , （21） ,（22） , （23）能量泛函函数在式（18）中就可以使最小化,这需要通过使用梯度下降流方程: , （24）下一个扩展方法将图像域分割成个区域、多水平集函数可以用来代表地区.例如,两个水平集函数将图像区域分为个区域.因此,该模型在式（10）可以表示为: , （25）表格1验证度量的定义和描述.名称定义描述正确类()TP表示分段区域和周围真实区域的正像素的百分比错误类()FP表示分段区域中的正像素的百分比,而不是在周围真实区域精度()P表示在分段区域中正确分割的正像素的比例Jaccard相似性()JS是一种周围真实域和分段区域之间相似性的统计测度函数、和常数、,这将可以最大限度地减少能源函数来满足函数可以变为以下形式: , （26） , （27） ,（28） , （29）其中1为区域性特征函数,可归结为如下:. （30）其中,是二进制表示的.类似于方程（18）,最大限度地减少能源函数在公式（25）中可以使最小化,这需要通过使用梯度下降流方程: , （31） , （32）其中被定义如下: , （33）3.3、实施与评价在方程（24）、（31）和（32）中的偏导数可以通过数值方法的有限差分法求解.所有部分的衍生物可以由中心差异近似,和时间部分衍生物可以由正向差异近似.水平集函数可以简单地初始化为一个二阶跃函数,它在变化曲线里面获得一个负值（或）在变化曲线外边取一个正值（或）.从而更有效的计算方程（20）、（21）、（26）、（27）和（33）的卷积,内核被截断为个标记,其中不小于2.总之,我们所提出的方法的实施是新算法1,其中代表在每个迭代中发展曲线的长度,是一常数,在以下的实验中设为0.001.新算法1、所提出方法的伪代码.1:输入图像I,初始水平集函数0（或0）;2:当,执行以下步骤; 3:初始水平集函数（或）; 4:根据方程（20）（23）（或（26）（29）分别计算局部和全局灰度均值和方差; 5:根据式（14）计算权重值; 6:根据式（33）计算; 7:根据式（24）或（31）和（32）更新水平集函数; 8:结束循环; 9:输出图像的分割结果（或）.与各自的作品定量比较,常用的验证指标,如正确值（TP）,错误值（FP）,精度（P）、和Jaccard相似性（JS）,用来评估图片分割的性能.这些验证指标的定义和描述在表1中列出,其中是真实的区域,是通过电脑测试方法得到的分割区域,表明分数越高越好,意思正好相反.而且,在每个实验中消耗的处理时间和迭代次数是用来与其他方法比较效率的.4、实验结果这部分介绍了合成图像和真实的医学图像的实验结果.该模型是在英特尔酷睿2双核2.2 GHz处理器2G内存计算机上Windows 7操作系统下通过MATLAB 7实现的.除非另有规定,我们使用以下参数:整个实验时间步长,高斯核参数,圆的邻域半径,长度惩罚能量项系数,距离惩罚能量项系数.在第一次实验中,我们在两个真实的血管图像分割中证明了我们的方法的结果,如图2所示,在不同的初始化下展示了它的鲁棒性.图2（a）（d）和（f）（i）显示了水平集函数的四种不同的初始化.图2（e）和（j）显示了我们的方法在四种不同的初始化条件下分割两个真正的血管图像的相应的分割结果.可以看出,无论初始曲线放置在图像中,我们的方法在建议的情况下可以达到其全局最低.为了显示如何在整个分割过程中的自适应权重的变化,在每个迭代分割的两个真实的血管图像时我们记录了加权函数的值,如图3所示.可以清楚地看到,权重逐渐增加的演化曲线达到了目标边界,从而导致全局能量在开始时发挥了主要作用,而局部能量在后期发挥了主要作用.图2:对不同的初始化我们的方法有较好的鲁棒性.（a）（d）和（f）（i）展示了血管图像的四种不同的初始化.（e）和（j）在这些初始化,显示了该方法的最终分割结果.图3:对于四种不同的初始化条件下在图2中分割的两个真正的血管图像自适应权重的变化.（a）展示了第一行中的图像分割的权重的变化,（b）展示了第二行中的图像分割的权重.在第二次实验中,我们展示了在圆形邻域中不同的高斯内核和半径值如何影响我们的方法的性能.两初始化和合成图像的分割结果与CT图像在图4中的第一列显示.在实验前两次设置,我们指定的高斯核值为和圆形邻域半径从的改变为,去证明圆的邻域半径对我们的方法的影响.为了证明高斯内核的值对我们方法的影响,在最后的两次实验中我们指定的高斯核值为和圆形邻域半径从的改变为.对从的改变为的分割结果在图4中分别在第二列和第六列显示.为了比较不同的高斯核值和圆邻域的半径数值上对我们的方法的影响,在表2和图5中的每个组中的实验我们分别给出了精度评价和效率评价.从结果来看,我们可以得出我们的方法在精度和效率通过设置半径和高斯核可以得到更好的性能的结论.图4:不同的高斯核值和圆邻域半径对我们方法的影响.第一列显示了两个初始化和手工分割结果,第二行和第三行展示了的分割结果,第四行和第五行展示了的分割结果.第二列到第六列分别展示了和的分割结果.表2高斯核和圆邻域半径对我们方法的精度影响:在第三次实验中,在三种医学图像的分割中我们用一些众所周知的方法和我们的方法进行比较,如图6所示,说明了这些方法在不均匀的灰度和不同的方差下的图像分割的性能.第一列展示了三种图像下的三种类似的初始化,即二进制图像,不同方差灰度的图像,以及不同方差灰度和亮度不均匀的图像.第二列到第六列分别展示了CV模型、GGDF模型,LBF模型,该的分割结果.从图6所示的分割结果,我们可以看到,五种方法都能很好的对二进制图像分割,而CV模型、GGDF模型和LBF模型不能在最后两种图像分割得到理想的结果.由于LGDF模型和我们的方法考虑了局部均值和方差信息,这两种方法可以做好三种图像分割.在第四次实验中,我们比较我们的方法与LCV模型和LGIF模型对三种超声波图像的分割.分割结果如图7所示,其中第一列展示了三种不同的初始化,第二列显示手动分割结果,从第三列到第五列分别展示了LCV模型、LGIF模型和我们的方法分割结果.为了定量比较这三种方法,在表3和表4中我们分别给出了分割3个超声波图像的精度测量和效率的措施.三种方法都可以很好地分割的三个超声图像,和我们的方法在精度和效率上比其他两种方法分割的更好,因为在我们所提出的方法中同时使用了自适应加权函数和一个先验概率函数.图5:高斯核和圆邻域半径对我们方法的影响.（a）和（b）分别显示在图4中所示的图像分割的时间和迭代次数.图6:医学图像分割中一些著名方法的比较.第一列显示了三种不同的初始化,第二列到第六列分别展示了CV模型,GGDF模型LBF模型,LGDF模型和我们的方法的分割结果.在第五次实验中,在分割三个真实的脑部MR图像中我们的方法与LBF模型、LGDF模型、LCV模型、LGIF模型相比较.分割结果如图8所示,其中第一列展示了三种不同的初始化,第二列到第六列显示了五种方法中的相应结果.从图8（b）（e）和（m）（q）所示的分割结果,我们可以看到在两图像的底部所有的LBF模型、LGDF模型、LCV模型、LGIF模型不能分割小细节,而我们的方法可以分割所有的小细节.从第二行所示的分割结果,我们可以看到所有的LBF模型,模型的LGDF,LCV模型和激光模式无法在图像左边的小细节部分,而我们的方法能够很好的分割所有的小细节.我们的方法的优越性能是由于我们使用的大小信息是在局部区域中的一个先验概率模型的发展曲线的事实,在这种情况下,我们可以告诉一个像素是否属于一个邻域的分区,而不是假设它是一个常数.图7:三种超声波图像分割的局部和全局方法比较.第一列显示了三种不同的初始化,第二列显示手动分割的结果,第三列到第五列分别显示LCV模型、LGIF模型和我们的方法的分割结果.表3通过不同的局部和全局方法获得的精度指标.表4不同的局部和全局方法获得的效率指标.在第六次实验中,我们在脑电图中定量比较我们的方法、MICO模型 27 和三个知名的软件,即FSL、 SPM和 FANTASM.为了与MICO模型更公平的比较,我们在本实验使用相同方式产生的不均匀灰度的图像.首先,灰度不均匀性的程度是通过偏置磁场值的范围区间且来表示的.然后,我们在区间中产生六种不同的偏置场,对于每一个给定的和原始下载的脑电波图像得到不同灰度的不均匀的六副图像.最后,我们给这些图像添加了六个不同层次的噪音.最终结果,每个输入图像有不同程度的的灰度不均匀性和不同程度的噪声,从而得到30副图像.在图9中,我们首先展示了30个图像在五个测试方法下的分割结果的视觉比较,其中第一行显示了最小程度的灰度不均匀性下的图像、第二行显示了最大程度的灰度不均匀性下的图像的分割结果.定量的比较,我们从图10中五种方法获得的JS值的盒形图给出了GM和WM,这表明我们的方法在分割精度和鲁棒性方面比其他四种方法有更好的表现.此外,在三次不同的初始化实验中通过我们的方法,我们以配对t检验对分割结果进行比较来说明我们的方法的鲁棒性.分析结果如表5所示,它清楚地表明,我们的方法在不同的初始化时具有很好的鲁棒性,在显著性水平0.05时,因为所有的T值小于2.042.结合图10所示的比较结果,我们可以得出这样的结论:我们的方法的重要性是由于算法,不是由于初始化.图8:三个真实脑磁共振图像分割的一些方法比较.第一列显示了三种不同的初始化;第二列到第六列分别显示了LBF模型、LGDF模型、LCV模型、LGIF模型的分割结果.图9:我们的方法与MICO模型、FSL、 SPM和 FANTASM在不同灰度的不均匀图像分割的比较.第一列显示了输入图像,第二列到第六列分别显示了我们的方法与MICO模型、FSL、 SPM和 FANTASM的分割结果.图10:我们的方法与MICO模型、FSL、 SPM和 FANTASM精度比较.（a）GM的评价结果,和（b）WM的评价结果.表5我们的方法在三种不同的初始化下配对t检验.5、结论在本文中,我们针对医学图像分割提出了一种改进的基于区域的主动轮廓模型水平集方法.在我们的方法中,全局能量项在曲线远离目标的时候,加速其演化速度,同时局部能量项引导演化曲线精确停止在目标边界上.全局和局部能量项之间的平衡是通过引入加权函数来自动调节,其中加权函数是基于全局灰度和局部灰度的方差信息来确定的.此外,我们通过使用演化曲线两侧的局部区域大小信息来确定一个像素属于附近分区的先验概率.最终结果,我们的模型不仅可以分割灰度不均匀的医学图像,也允许灵活的初始化.与其他流行的方法相比较,在对合成图像和真实医学图像进行评价时,大量的实验证实了我们的方法在效率和精度上都有着着显著的改善.致谢这项工作在中国国家科学基金会编号61473219部分支持和国家高技术研究发展计划（863计划）编号2014AA015205资助下通过.附录A在公式（17）中定义的正则化项包括两个能量项,即距离惩罚项和长度惩罚项.为了理解这2个能量项的几何意义,我们就如何将这两者的能量项工作作了一些分析.在微积分的变化下,以尽量减少能源函数的方法是找到一个梯度流方程的解 ,（A.1）是能量泛函的Gateaux导数.距离惩罚项通过惩罚水平集函数和符号距离函数之间的距离来避免昂贵的重新初始化步骤.通过公式（15）就的计算,距离的惩罚项的梯度流可以写成如下: , （A.2）代表距离的惩罚项的扩散速率.如果,扩散率是正的,这一项的作用是向前扩散,从而降低.如果,扩散率是负的,这一项的作用是向后扩散,从而增加.结果,在距离刑罚能量项的作用下水平集函数可以自适应的接近符号距离函数.长度惩罚项在演化过程中通过惩罚其长度得到一个平滑的轮廓来规范零水平集.通过公式（16）就的计算,长度的惩罚项的梯度流可以写成如: ,（A.3）J代表长度惩罚项的扩散速率.如果,扩散率小于1,这将减缓速度,降低,如果,扩散率大于1,这将减慢速度,增加.结果,长度的惩罚效果可以使轮廓更稳定,这将确保轮廓演化过程的顺利.参考文献1 Y. 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