【数学与应用数学】论文——大塘路段公共汽车调度问题的数学模型

大塘路段公共汽车调度问题的数学模型摘要本文针对韶关市郊大塘路段7路公交线路公交车的运营情况，通过把实际情况作一定合理性假设，转化为对三种不同工作日（周一至周四、节假日、寒暑假）的讨论，建立以公交公司损失度和乘客抱怨度为双目标函数的非线性规划模型，运用MatLab6.0数学软件分析统计数据，并进行分段三次插值拟合，得到上、下行乘客人数频率分布函数，再逐段（时段）求出最优解，解出各时段应发车次数和发车间隔，并得到公交公司对于7路公交线路至少要置备8辆公交车.关键词：综合抱怨度；逐段优化；插值法1 问题的提出改善城市交通是城市发展中的一个重要问题，优良的公交服务对于减少城市的交通拥挤、环境污染、提高交通资源的配置效益等方面都具有积极的作用.本文拟以如何改善韶关市郊大塘路段的一条公交线路（7路）上的车辆调度问题为题，建立一个数学模型，旨在如何优化公交资源、提高公交车的运营效益及最大限度满足乘客需求提供一个参考案例.7路公交线路上的客流调查和运营资料如下：该公交线路总长10公里，上、下行方向各16站，公交公司配给该线路同一型号的中型客车，每辆标准载客28人，客车在该线路上运行的平均速度为30公里/小时.运营调度要求：乘客候车时间一般不要超过10分钟，在高峰期一般不要超过8分钟.车辆满载率不应超过150%，一般也不要低于50%.2 基本假设与符号约定2.1 基本假设2.1.1假设地理方向由西向东（即由中山公园驶向韶关学院）为上行方向，由东向西（即由韶关学院驶向中山公园）为下行方向；2.1.2假设汽车正常行驶，不考虑塞车、发生车祸及其它不可预测时间所造成的时间耽误，且公交车之间依次行进，不存在超车现象；2.1.3 在给定的发车时间之外没有乘客；2.1.4各站乘客上下车的时间和公交车在各个车站停留的时间均被考虑在公交车的平均速度之内；2.1.5 公交公司在每个行车区间段上（即站与站之间的运行阶段），若车上人数不足50%，就会产生损失；2.1.6乘客可以主动选择到站时间，因而假设发车时间间隔长不会引起乘客的抱怨，但由于人多使乘客无法上车（即车上人数达到标准载客的150%），则会使乘客产生抱怨，且设乘客间到站的时间相互独立；2.1.7公交车的票价是固定的，即不管在那一站上车，票价都一样.2.2 符号约定：乘客的抱怨系数.当车上人数超过150%（即42人）时，乘客就产生抱怨.令，其中为产生抱怨的乘客总数，为全天等待上车的总人数；：公交公司的损失系数.当车上人数不足50%（即14人）时，公司就产生损失.令，其中为产生损失的行车区间数，为总的行车区间数；：上行方向第站全天等待上（下）车的人数；：下行方向第站全天等待上（下）车的人数；：上（下）行方向第个时间段里应安排的车次数；：上（下）行方向由第站到第站汽车运行所用时间；：上行方向上（下）车人数频率分布函数，；：下行方向上（下）车人数频率分布函数，；：上行方向第个时间段发出的第辆车到达第站后车上的人数，1，2，；：下行方向第个时间段发出的第辆车到达第站后车上的人数，1，2，.3 问题的分析大塘路段由东向西分布着韶关学院、铁路一中和南方高级技校三所学校，于是7路公交线路上的乘客以学生为主，尤其是以韶关学院的学生为主.因此在一年中，根据学生出行特点，可分为以下三种情况：1）周一至周四：一般为上课时间，学生多于课后或晚上出行；2）周五至周日、国庆节和劳动节等节假日：一般为休息时间，学生多于午后或傍晚出行；3）寒暑假：一般为离校时间，大部分学生都离校，只有小部分因打假期工或学习而留校，出行人数大量减少.于是本文收集了7路公交车线路在以上三种情况下的三组典型数据.见附录1.考虑到公交公司的损失度和乘客的抱怨度都尽量小，根据统计所得的数据进行拟合，建立出一个以综合抱怨度为目标函数的数学模型，然后由模型逐段求出最优解，所得即为各时段应安排的车次数，再计算出各时段的发车间隔.4 模型的建立与求解4.1 计算各时段应安排的车次数4.1.1 数据分析首先对题目所给的数据进行统计分析（利用MatLab分析、分段三次插值与拟合，程序段见附录2），可见不论是在哪个站点，全天各时刻上、下车人数的频数都有着极为相似的规律，不妨设上行和下行等待上、下车人数服从某一分布，.1) 周一至周四，如下图1.图12）节假日，如下图2.图23）寒暑假，如下图3.图34.1.2 模型建立一辆公交车的运营周期为60分钟.建立模型如下： （1） （2） （平峰期乘客候车时间） （3） （高峰期乘客候车时间） （4） （5） （6） （7）其中 （8） （9） （10） （11）其中，式（1）为乘客抱怨度的目标函数，、分别为第时段上、下行产生抱怨的乘客数；式（2）为公交公司损失度的目标函数，、分别为第时段上、下行产生损失的行车区间数。式（8）为定义公交公司损失度的函数，当车上人数时，则产生损失；式（9）为定义乘客抱怨度的函数，当车上人数时，则产生抱怨；式（10）取决于第时段上、下车人数频率分布函数，为对所给数据分段三次插值与拟合得到的频率分布函数，为时段变量；式（11）与式（10）同理。4.1.3 模型求解运用乘除法，把双目标规划转化为单目标规划，求解的最小值，约束条件不变.下表1为各站点间距离与公交车运行时间：站点间A0-A1A1-A2A2-A3A3-A4A4-A5A5-A6A6-A7A7-A8站间距（公里）0.80.40.50.70.60.60.70.7时间（分钟）1.60.81.01.41.21.21.41.4站点间A8-A9A9-A10A10-A11A11-A12A12-A13A13-A14A14-A15站间距（公里）0.80.50.50.50.40.71.6时间（分钟）1.61.01.01.00.81.43.2表1由以上模型运用MatLab6.0逐段求出最优解，可得三种情况下各时段应发车次数，如下表2.周一周四（上课时间）：时段12345678910111213141516最少发车次数上行2744355733475557下行2444354344466432周五周日、节假日（国庆、五一）：时段12345678910111213141516最少发车次数上行3755476744586558下行3665456455588543寒暑假：时段12345678910111213141516最少发车次数上行2333332222232232下行2433333222233222表24.2 计算各时段发车间隔由上表2，可计算出各时段发车间隔，如下表3.周一周四（上课时间）：时段12345678910111213141516发车间隔（分钟）上行3081515201212820201581212128下行30151515201215201515151010152030周五周日、节假日（国庆、五一）：时段12345678910111213141516发车间隔（分钟）上行208121215810815151271012127下行201010121512101512121277121520寒暑假：时段12345678910111213141516发车间隔（分钟）上行30202020202030303030302030302030下行30152020202020303030302020303030表35 模型的分析与评价本文就公交公司损失度和乘客抱怨度为目标函数建立数学模型，进而转化为单目标规划，逐段求解出各时段应安排的车次数和发车间隔，结果跟韶关市公交公司实际安排运营情况接近，可见模型有一定的合理性和科学性.事实上，本文因某些实际因素（如抱怨度、乘客上（下）车时间等）不能直接运用求解，而作了一定的理想化假设，也只能是逐时间段地求解，所得结果与实际情况有少许出入，但仍具有相当的合理性.在实际生活中，大塘路段7路公交车满载率严重超标，使得乘客有很大抱怨，建议公交公司多从乘客利益出发，提高服务质量.6 模型的推广6.1 进一步讨论采集不同的运营数据如不等的统计人数的间隔时间、能反映有关滞留人数的统计数据、按相等到站人数来区分时间段的统计，等等.6.2 考虑约束条件下的间隔确定由于资金有限，某些时段应配备的车辆数使得该时段发车间隔不能达到题目要求，所以当运力充足时，可以增加发车次数，提高对乘客的服务质量.参考文献：1王沫然，MATLAB6.0与科学计算，北京：电子工业出版社，2003年2应玖茜，非线性规划及其理论，北京：中国人民大学出版社，1994年附录1：周一周四（上课时间）：大塘路段7路公交车各时段各站上下车人数统计表 上行方向（西东）：由A15开往A0站名A15A14A13A12A11A10A9A8A7A6A5A4A3A2A1A0站间距1.60.70.40.50.50.50.80.70.70.60.60.70.50.40.86:30-7:30上3590 01710000215000下0201100012100320397:30-8:30上8743578921101210000下061221002405730741058:30-9:30上508193100000302000下000515020500101035319:30-10:30上791200500080071000下016025220240000210102110:30-11:30上601000601250600000下0161515030000006123211:30-12:30上1023200608100045100下017030250121110012303912:30-13:30上922300406300134200下022120220123015010203113:30-14:30上100671286132210210000下011262401201458157410614:30-15:30上552600101250600000下05119140300001211182215:30-16:30上532800102132400000下013218110510101110102116:30-17:30上821101500080062000下011019200151012214142517:30-18:30上8743688722001210000下0612210024057208910018:30-19:30上871721300071062000下01101720239511228212419:30-20:30上862330410060152000下0130162132106213111192320:30-21:30上952511311140260000下012115221495423012212921:30-22:30上8842778813010120000下07113100421381769123大塘路段7路公交车各时段各站上下车人数统计表 下行方向（东西）：由A0开往A15站名A0A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15站间距0.80.40.50.70.60.60.70.70.80.50.50.50.40.71.66:30-7:30上381532123012111000下0000011211134242127:30-8:30上574112101211000000下0000002301125375158:30-9:30上584023110120100000下0000000112234258369:30-10:30上543632110102010000下00000010211423533410:30-11:30上462341132101202000下00000203101432502011:30-12:30上8853132111201000000下000000023232410795712:30-13:30上614321321101000000下00000000223223425913:30-14:30上452232123111012000下00000231012223284014:30-15:30上612832121310220000下00001112010542395015:30-16:30上563812312020000000下00000001122344365216:30-17:30上573532111210000000下00000010213233345417:30-18:30上10469141202110000000下000000032234212749218:30-19:30上10974232111020000000下0000001231521137011519:30-20:30上533721302011100000下00000012010523394820:30-21:30上432141132112020000下00000201102322254321:30-22:30上351232123012111000下00000112111342399周五周日、节假日（国庆、五一）：大塘路段7路公交车各时段各站上下车人数统计表 上行方向（西东）：由A15开往A0站名A15A14A13A12A11A10A9A8A7A6A5A4A3A2A1A0站间距1.60.70.40.50.50.50.80.70.70.60.60.70.50.40.86:30-7:30上5590 01710000215000下0201100012100330497:30-8:30上5743578921101210000下06122100240573064858:30-9:30上708193100000302000下000515020500101045419:30-10:30上991200500080071000下016025220240000210203110:30-11:30上801000601250600000下0161515030000006224211:30-12:30上1523200608100045100下017030250121110012556412:30-13:30上1323300406300134200下012120220123015010506113:30-14:30上70671286132210210000下01126240120145815747614:30-15:30上752600101250600000下05119140300001211283215:30-16:30上732800102132400000下013218110510101110203116:30-17:30上1021101500080062000下011019200151012214243517:30-18:30上13743688722001210000下06122100240572011412518:30-19:30上1371721300071062000下011017202395112213414919:30-20:30上1062330410060152000下0130162132106213111243820:30-21:30上1152511311140260000下012115221495423012264421:30-22:30上13842778813010120000下07113100421381794148大塘路段7路公交车各时段各站上下车人数统计表 下行方向（东西）：由A0开往A15站名A0A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15站间距0.80.40.50.70.60.60.70.70.80.50.50.50.40.71.66:30-7:30上482541132012111000下0000011211134252227:30-8:30上9751212101211000000下0000002301125385758:30-9:30上10850123110120100000下0000000112234278869:30-10:30上744612312010010000下00000010211423437410:30-11:30上662891132101202000下00000203101432505011:30-12:30上7338132111201000000下000000023232410644212:30-13:30上9163221321101000000下00000000223223779413:30-14:30上5337102123111012000下00000231012223435514:30-15:30上6138132121314000000下00001112010542545515:30-16:30上6648112312020000000下00000001122344516716:30-17:30上6745132211110000000下00000010213238446917:30-18:30上12979291202110000000下0000000322342128413218:30-19:30上13494282111020000000下0000001231521139514019:30-20:30上6347121302011100000下00000012010348496320:30-21:30上5331141132112020000下000002011023212454321:30-22:30上4521102123242111000下0000011211134125019寒暑假： 大塘路段7路公交车各时段各站上下车人数统计表 上行方向（西东）：由A15开往A0站名A15A14A13A12A11A10A9A8A7A6A5A4A3A2A1A0站间距1.60.70.40.50.50.50.80.70.70.60.60.70.50.40.86:30-7:30上18628000102000000下041180110000801127:30-8:30上48917610002100000下09201870100005010058:30-9:30上181151005210100000下0910122107001020009:30-10:30上15923720003100000下0713680400110000210:30-11:30上191051301010100000下06161231002000000111:30-12:30上301397300310000000下091511120001002102412:30-13:30上13670301000000000下065320000204002613:30-14:30上163 54301011000000下079540300101010314:30-15:30上9664100020100000下039840110000000315:30-16:30上11540210100000000下040604010101004316:30-17:30上8433011100100000下027040110001100517:30-18:30上40 723001011000000下03078011010106101718:30-19:30上21101000010100000下035822000020100219:30-20:30上13210010120100000下024601001110100420:30-21:30上431126001020000000下02106301020711932021:30-22:30上15100201000100000下0215010021010034大塘路段7路公交车各时段各站上下车人数统计表 下行方向（东西）：由A0开往A15站名A0A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15站间距0.80.40.50.70.60.60.70.70.80.50.50.50.40.71.66:30-7:30上18645101101000000下0000000000041120117:30-8:30上511244411102100000下0000000000456138278:30-9:30上17951113210100000下0000010100102519129:30-10:30上15923521103100000下0000004001100030610:30-11:30上191051301010100000下00000100200000271111:30-12:30上20935321210000000下00001110010021152412:30-13:30上431970301000000000下00000000020400323513:30-14:30上163 54301011000000下00000000010101141714:3