毕业论文范文——基于三角Gregory面片的N边形孔洞填充方法研究

基于三角Gregory面片的N边形孔洞填充方法研究摘 要随着计算机性能的提高和计算机图形学的发展，曲面造型技术能够高效、快速的生成光滑形体表面。适当并且有效的曲面表示方法能够降低曲面生成、曲面拼接、曲面重建以及曲面变形等应用实现的复杂程度。为了更好的对N边形孔洞填充产生更高的几何连续性光滑形体曲面，如何快速、有效、可靠地实现对三角形曲面片的光滑拼接以及全局几何连续的形体表面重建方法成为了计算机图形学研究的重点和热点问题之一。本文针对一般的参数曲面造型方法对三角形曲面片实现繁琐的不足，采用三角Gregory面片对给定的三角网格进行插值，可有效消除使用Gregory四边形曲面片需要分割三角域而产生的扭曲现象。重点对Gregory三角形面片的一阶、二阶几何连续（G1、G2连续）拼接条件以及基于三角Gregory面片生成全局G1、G2连续的形体表面重建方法展开研究；对N边形孔洞的填充方法进行了深入讨论；主要研究工作和结论概述如下： （1）在分析Gregory曲面片构建方法的基础上，对比了Gregory曲面构建方法与其他方法在消除曲面角点不相容性问题上所采用的不同策略。明确了Gregory曲面构建方法是通过将曲面片沿其角点两个方向扭矢的有理组合作为曲面角点的扭矢估计，即用可变的角点扭矢代替了一般曲面构建方法中的固定角点扭矢，因此，Gregory方法能够较好地处理曲面片角点处的不相容性问题。（2）一般的参数曲面造型技术在拼接曲面片生成高阶几何连续（G1、G2连续）的形体表面时，所用的方法复杂性高、操作繁琐且生成的形体表面质量不易控制。针对以上不足，详细分析了Gregory三角形面片间的一阶、二阶几何连续性条件，并发现相邻Gregory三角形面片间的几何连续仅仅与两面片沿公共边的边界控制点及其对应的内部控制点有关。实验结果表明，通过直接调整相应边界控制点和内部控制点的位置即可实现相邻Gregory三角形面片的G1、G2光滑拼接，甚至在质量较差的两个相邻三角网格情况下也能实现其G1、G2光滑拼接，进而采用连续的面片作为填充曲面，对孔洞进行填充达到全局的几何连续，构造出光滑连续的形体表面。（3）在相邻Gregory三角形面片G1连续条件的基础上，给出了使用Gregory三角面片插值形体控制网格生成全局G1、G2连续光滑表面的曲面重建方法和详细过程。形体构建实例表明基于Gregory三角形面片的G1、G2连续光滑形体表面重建方法简单、易于实现且即使在形体控制网格顶点稀疏的情形下亦能生成全局G1、G2连续光滑的形体表面，为N边形孔洞填充构造光滑曲面提供了可靠有效的技术手段。关键词：曲面造型；三角Gregory面片；曲面拼接；N边形孔洞填充；G1连续；G2连续 RESEARCH ON FILLING IN N-SIDED HOLE BASEDON TRIANGULAR GREGORY PATCHABSTRACTWith the improvement of computer performance and the development of computer graphics, surface modeling technology can generate smooth surface rapidly and efficiently. Appropriate methods of surface representation can reduce the complexities, such as surface generation, surface connection, surface reconstruction and surface deformation etc. In order to generate higher geometric continuity and smooth body surfaces very well on filling n-sided holes. Therefore, how to rapidly, efficiently and reliably achieve triangular patches connected smoothly and the reconstruction method of global geometric continuous shape surface becomes one of the research emphases and hot topics on computer graphics.In order to overcome the difficulty and complexity of piecing two adjacent triangular patches by using traditional parametric surface modeling, Gregory triangular patch is used to interpolate the given shape control meshes in this paper, which can effectively eliminate the distortions of splitting triangular domain into quadrilateral patch. Moreover, the G1 and G2 smooth conditions of piecing two adjacent triangular Gregory patches and the method of constructing global G1 and G2 smooth surface based on triangular Gregory patches are studied. In filling procedure, the method of filling n-sided holes are also explored. The main work and the results can be depicted as follows:(1)Gregory method takes the rational combination of two twists along two different isoperimetric directions respectively as its corresponding corner points twist. It is different from the traditional surface interpolation methods which take invariant evaluation as the corner points twist. Therefore, Gregory method deal well with the incompatibility problem for corner points.(2)In order to generate global G1 and G2 continuous surface, many traditional methods are not complex and difficult to manipulate but also hard to control surface quality sometimes. The G1 and G2 continuity between two adjacent triangular Gregory patches just depends on those boundary control points which along their common boundary and the corresponding interior control points. Experiment results show that just through adjusting the corresponding boundary control points and interior control points can achieve G1 and G2 smooth connection for two adjacent patches. Even with two lathy triangular patches, it can also create G1 and G2 smooth surface. Furthermore, the use of continuous patches to fill holes and reach the global geometry continuity, constructing a smooth and continuous surface shape.(3)A constructing method and its detail procedure which uses triangular Gregory patch to generate global G1 and G2 smooth surface from the shape control mesh is given. Some examples show that the method of generating global G1 and G2 smooth surface based on triangular Gregory patches is effective and easy to implement. Even with sparse control meshes this method can create overall G1 and G2 continuous surface. Triangular Gregory interpolation method provides an effective and technique for filling n-sided holes to generate smooth shape surface. KEYWORDS: surface modeling, triangular Gregory patch, surface stitching, n-sided hole filling, G1 continuity, G2 continuity目 录 第一章 绪论11.1研究背景与意义11.2国内外研究现状21.2.1曲面造型的研究现状31.2.2 N边形孔洞填充的研究现状51.3研究的主要内容71.4论文的组织结构8第二章 N边形孔洞问题及其研究方法92.1 引言92.2 参数化曲面102.2.1 Coons曲面112.2.2 双三次Bzier曲面122.2.3 B样条曲面142.2.4 NURBS曲面152.2.5 参数化曲面优点162.3 能量法162.4 区域划分法172.5 完整过渡曲面构造172.6小结19第三章 Gregory曲面构造方法203.1 引言203.2 参数曲面片的定义域203.2.1 四边域203.2.2 三角域213.2.3 N边域223.3 Gregory面片233.3.1 Gregory三角形面片233.3.2 Gregory四边形面片253.4 曲面光滑度253.4.1 曲面连续性253.4.2 相邻B-B三角形面片的一阶几何连续273.5 小结28第四章 三角形Gregory面片构造G连续的光滑曲面294.1 引言294.2 相邻三角形Gregory面片间的G1连续294.3 插值形体三角网格生成全局G连续光滑曲面314.4小结33第五章 实验结果与分析345.1实验结果345.2重建实例355.3小结39第六章 总结与展望406.1总结406.2展望40参考文献41致 谢45作者简介4647作者简介第一章 绪论1.1研究背景与意义针对零件端部的大半径过渡或者光滑填充操作产生的N边形孔洞，现有的基于四边形分割或者约束求解的方法对此难以得到法向或更高阶连续的过渡曲面。N边形孔洞填充是计算机辅助设计中的重要操作，其应用于顶点过渡、填充曲面生成等造型环节。该操作的目的在于根据给定的边界条件曲线以及其对应的各阶跨越切矢曲线，构造单张或者多张曲面，在曲面内部和边界处达到更高的几何连续。随着科学技术的飞速发展，借助计算机精确、快速和高效的特点对形体进行几何建模(胡事民 2009)是计算机辅助设计（Computer Aided Design, CAD）的主要任务。形体设计尤其是对三维形体的设计、分析和操作已经被广泛地应用在诸如工业产品设计、计算机辅助制造（Computer Aided Manufacture, CAM）、服装设计、自然场景和三维形体构建以及动画和影视制作等众多领域。作为计算机辅助设计的理论和数学基础，计算机辅助几何设计是随着航空、汽车等现代工业的发展与计算机科学的发展而产生并发展起来的新兴学科，主要设计对自由曲线曲面的表示与构造方法的研究。其优点是能够凭借严格的数学工具，依靠计算机高速计算和图形处理能力对形体进行自由设计，具有精度高、速度快的优点。通过对自由曲线、曲面的形状、几何特征和微分特性等的深入研究为形体设计、优化以及进一步的显示与制造提供有力和可靠的技术手段。在形体表示中，有许多优秀、高效的曲面生成算法为形体的曲面造型提供了有力工具，并确立了表面模型在计算机辅助设计和计算机图形学应用中的重要地位。表面模型将形体表示成一组面的集合，形体与其表面一一对应，它可借助计算机图形学直接显示形体的形状星系与几何特征，是进一步对形体进行其它特征分析的基本模型，在形体的实际表示中具有广泛的用途。因此，快速和高效的曲面生成方法一直是曲面造型技术讨论的热门和核心问题。随着计算机软、硬件性能的提高以及造型技术和生产工艺的进步，高阶连续性、复杂自由形体造型的发展，N边形孔洞往往出现在零件的端部，如：飞行器头部、机翼末端、螺旋桨末端部分、曲面上的环形凹槽和凸台处、环状过渡部位等，是曲面造型中一种常见的情况。由于部分造型软件或者算法难以直接处理或者处理的结果不稳定，诸多图形学等领域的学者提出了各种解决问题的方案，但是，迄今为止，大多数对曲面造型进行面片拼接构造光滑连续的形体表面方法，都存在不同形式的不足。鉴于以上所述的各种情况，本文研究并总结了众多学者的曲面造型方法，采用了基于Gregory三角形面片对N边形孔洞填充的方法对原始的三角面片进行重建，然后对其相邻Gregory三角面片进行拼接达到给定的几何连续，对其孔洞进行填充构造光滑连续的形体表面，解决了曲面造型中的扭曲和不稳定的问题。1.2国内外研究现状曲面造型是对形体进行表面建模，作为计算机辅助几何设计学科的一项重要内容，主要研究在计算机图形系统环境下对曲面的表示、设计、显示与分析。在这些类应用中，大部分形体形状比较规则，可以用初等解析曲面组成，并且具有良好的微分几何特性。但是，面对现实中许多复杂的自由形体进行表面建模时，简单的初等曲线与曲面并不能将其表示清楚，此时应该借助自由曲线曲面对其进行建模。大量曲面造型需求和对曲面表示质量要求不断的提高，使得对自由曲线曲面的表示和处理成为计算机辅助设计长期以来的研究热点和难点。作为曲面造型的基础，曲面表示一直是计算机辅助设计中一个基础而又充满活力的研究领域。经过发展，曲面造型已经形成了以参数曲面和隐式代数曲面表示为主体，以插值和逼近为主要手段的几何理论体系。目前已有AutoCAD、3DMAX等许多基于上述理论的曲面造型商用软件。在众多曲面表示方法中，参数曲面以其几何不变性、仿射不变性以及对形体控制具有较大的自由度等优点而成为曲面表示的首选方式。曾经先后出现了Ferguson曲面、Coons曲面、Bzier曲面以及B样条曲面、非均匀有理B样条（Non-Uniform Rational B-Spline, NURBS）和周期B样条曲面等。以上所述曲面表示方法先后在各个领域的曲面造型应用中取得了较大的成果，各种曲面表示方法在计算机辅助设计造型软件的平台上有力地促进机械设计与产品制造行业整体水平的极大提高。近些年来，对复杂形体几何表示的研究以及在计算机动画的发展过程中，又出现了一些新的曲面造型方法，即：以细分曲面为特征的极限曲面造型方法。细分曲面的主要方式有：Catmull-Clark四边形细分法（Catmull 1978），Sabin四边形模式（Doo 1978），Loop三角形细分模式（Loop 1987）和Butterfly三角形细分模式（Dyn 1978）等。细分曲面的造型方法在形体特殊点的连续性以及数值的稳定性方面表现出了一定的优势。国内学者对参数曲面造型的研究起步比较晚。自从上世纪70年代中期开始，国内的相关学者苏步青和刘鼎元（苏步青 1981）、王国瑾（王国瑾 2001）、汪国昭（汪国昭 1984）、朱心雄（朱心雄 2000）等对Bzier和B样条方法基于计算几何和微分几何等数学基础做了大量的理论和应用研究，也取得了一定的成果。他们的工作为国内的计算机辅助几何设计学科的发展作出了贡献，促进了国内机械和产品制造水平的大幅提高。随着计算机图形显示对于真实性、实时性和交互性要求的不断提高和增强，以及形体设计对象向着多样性、特殊性和拓扑结构复杂性靠拢这一趋势的日益明显，使得曲面造型在近年来得到了长足发展。其研究领域由传统的曲面表示，曲面求交，曲面拼接向着曲面重建，曲面转化和曲面变形急剧扩展，新型快速高效的曲面表示方法不断涌现。数字化测量技术的进步和三维扫描设备性能的不断提高，使得基于散乱点集的形体表面三维重建在自然现象的模拟、三维地形生成、虚拟场景、医学器官重建等许多应用领域中取得了令人满意的效果；此外，基于点云的逆向工程技术在飞机、汽车、玩具和家电等传统的模具行业也占有重要地位。它是通过测量模具获得形体表面的三维信息，然后根据要求修改控制信息进而改变产品形状，生成新产品，实现了从有到无的产品设计逆向工程。近些年来逆向工程技术同时也在人体和生物骨骼等医学应用领域受到了越来越多的关注，以处理计算机断层扫描CT和核磁共振成像MRI数据为代表的断层界面数据重建在医疗成像方面起到不可替代的作用并为医疗诊断提供了可靠的技术支持。这些曲面重建问题的解决又对曲面重建技术提出了更加高的要求，使得人们对生成高质量曲面的快速、高效和简洁方法的探索从来没有停止。同时也使得人们对各种曲面重建方法的表示能力、可操作性、生成曲面的精度和品质以及计算成本等方面进行更加深入的研究和分析，促进了曲面重建技术自身的不断发展。随着3D技术的发展以及其作品的广泛应用，人们对于三维形体的造型不仅仅停留在对静态物体的建模和模拟上。许多形体模型除了要能够表示形体基本的几何信息外还要能够描述物体的运动或者某种属性变化的特征。形体的变形技术能够动态、实时和更加全面地表示形体的真实特征。当前出现了大量针对形体变形的建模方法，形体变形技术的进步极大地促进了计算机动画和影视制作行业的发展。以插值曲面网格为技术手段的形体表面生成是形体表面建模的传统方法，对这类参数曲面表示方法的研究和探索从曲面造型开始至今从未中断过，成为曲面建模的核心技术，曲面表示的方法不断的涌现，其应用领域也在不断地迅速扩展。1.2.1曲面造型的研究现状曲面造型（Surface Modeling）是计算机图形学（Computer Graphics）和计算机辅助几何设计（Computer Aided Geometric Design）的一项重要内容，主要研究在计算机图像系统的环境下对曲面的表示、设计、显示和分析。自从将曲面表示成参数矢量函数开始，先后出现了诸多基于参数曲面的造型方法。20世纪60年代，美国波音公司的Ferguson首先提出了用参数的矢量函数法表示曲线和曲面（Ferguson 1964），利用对应曲线始点和终点的位置矢量以及在此两点处的切线矢量作为初始信息通过构造三次Hermite插值多项式来生成一段曲线，对一组矢量点在连续处保持切线连续的复合曲线生成方法。Ferguson还将这种思想推广到二维、三维的情形。在二维情形下，将其四个顶点矢量和其分别对应的两个方向的切矢量作为初始信息构造出双三次Ferguson曲面片。Ferguson曲线曲面的构造使得曲线曲面的参数化形式成为形状数学描述的标准形式。然而仅仅凭借端点的位置以及其切线矢量控制曲线或者曲面的形状是不够的，且切矢控制形状不直接，中间的形状不容易控制。双三次Ferguson曲面忽略了曲面角点的扭矢，存在角点不相容的问题。1964年，美国麻省理工学院的Coons和美国通用汽车公司的Gordon引入了超限插值的概念，用四条边界曲线围城的封闭曲线来定义一张曲面。可以生成插值任意边界曲线的曲面片（Coons 1964；Coons 1967；Gordon 1969）。基本的Coons曲面片是通过线性插值四边边界曲线生成的。这种曲面生成方法并没有用于去构造光滑的复合曲面，然而，Gordon对基本的Coons曲面进行了推广，将三次Hermite曲线插值用于超限曲面生成了双三次混合Coons曲面面片。这种Coons曲面生成方法的特征是通过填补曲线网格来生成曲面。Coons曲面不仅可以描述边界曲线外而且还可以给定跨界导矢。Ferguson曲面是Coons曲面的特例。Coons曲面用于生成光滑复合曲面时，各个面片角点扭矢（即二阶混合偏导数）不为0，需要去估计扭矢，存在形状不容易控制和在各个面片角点处的连接光滑性问题。1971年，法国雷诺汽车公司的Bzier提出了一种采用控制多边形定义曲线和曲面的新方法。这种新方法允许用户通过对控制多边形的调整来实现对曲线或者曲面的操作与修改，而不用直接对曲线或者曲面进行操作。Bzier曲线具有的端点插值性、控制顶点的对称性、凸包性以及几何不变性都可以直接推广到Bzier曲面。Bzier技术不仅简单易用，并且很好地解决了整体形状控制问题，为曲线曲面造型的进一步发展奠定了坚实的基础。同时，这种新方法也因其良好的数学特性，高度的几何直观性，以及在浮点数操作上的数值稳定性，从而确定了其在计算机辅助几何设计三维建模中的核心地位。随着对自由曲面造型的进一步实践发现：当曲线或者曲面复杂的时候，基本Bernstein多项式的Bzier曲线曲面也暴露出了关于连接的问题，并且任何一个控制点的改动都会引起整个曲线或者曲面的变化，缺少局部的控制性。为了克服Bzier曲线曲面方法的缺点，1974年Gordon和Riesenfeld将B样条曲线曲面理论用于形状的描述，提出了B样条曲线和曲面，明确了Bzier曲线是属于B样条曲线的一种特殊情况（Gordon W and Riesenfeld R.1974）。因此，B样条曲线曲面方法继承了Bzier方法的一切优点，比较成功地解决了局部控制问题，同时又在参数连续性基础上解决了连接问题，从而使得自由曲线曲面形状描述问题得到较好地解决。然而，B样条方法也存在不足，它不能精确地表示圆锥曲面以及初等解析曲面，使得曲线曲面没有统一的数学描述形式。为了满足能够统一表示二次曲线曲面和自由曲线曲面的要求，又出现了通过曲线曲面各个控制点添加权值而增强B样条表示能力的有理B样条方法。后来Piegl和Tiller将有理B样条发展成为非均匀有理B样条（Non-Uniform Rational B-Splines,NURBS）方法，它的优点是：可以精确地表示二次规则曲线曲面，从而能够用统一的数学形式表示规则曲面与自由曲面；具有可影响曲线曲面形状的权因子，使得形状设计和修改更加易于控制和实现。对于NURBS曲线曲面的突出优点，国际标准化组织于1991年将NURBS方法定义为工业产品几何形状的唯一数学描述方法。对于上述各种参数曲面表示方法为形体的表面建模提供了技术支持。在形体表面建模或者曲面重建的应用中，由于大量自由形体的存在使得对形体表面的构建是通过采用分段光滑较小曲面片的组合来构造出复杂自由形体表面的。因此，不管采用何种参数曲面造型方法对形体进行表面构建时都应该重点考虑曲面片的拼接问题，为了构造出真实的形体表面，曲面片的拼接应该达到一定的光滑程度。一般的参数曲面造型方法在曲面片拼接时大都存在角点不相容性问题，以及对相邻两面片进行光滑拼接的条件复杂、实现繁琐以及生成曲面质量不容易控制的不足。因此，寻找能够克服以上所述局限的参数曲面造型方法不仅在曲面表示方面具有理论意义而且在曲面构建的实际应用中具有重要价值。1.2.2 N边形孔洞填充的研究现状在构造任意拓扑复杂形状的曲面时，最常用的方法是通过对曲面的裁剪和拼接来实现，这需要由多个曲面片进行拼接，从而导致了N边形孔洞的产生。N边形孔洞的边界通常是给定的自由曲线或者N个支持曲面，这些曲线或者支持曲面的边界顺序闭合成环。N边形孔洞的填充是计算机辅助几何设计中的重要操作，其主要应用于顶点过渡、填充曲面生成等造型环节。填充操作的主要目的在于根据给定的边界条件曲线以及其对应的各阶跨越切矢曲线，构造一张或者多张曲面覆盖此区域，并满足边界上连续性条件，同时在其内部满足连续性要求。由于N边形孔洞填充问题在复杂物体造型中具有相当的普遍性和重要性，人们对此展开了广泛而深入的研究。根据需要，可能要求填充曲面片与边界曲面片间达到或者连续，对于大多数应用而言，连续已经基本可以满足要求。这里所说的或者连续是指几何连续（Geometric continuity）或者视觉连续（Visual continity）。几何连续概念的提出基于如下的观察，对于分别参数化的两张曲面，对其中一张重新参数化后就会破坏原来的参数连续性。显然参数连续不能反映曲面连续的本质。以曲面的连接拼接为例，阶几何连续（记为）定义为：设两曲面和沿边界上和是连续拼接的，即。对于边界上的任一点，如果存在参数变换和使得和在这一点出具有阶参数连续，则称拼接是连续的。显然，相比较参数连续，几何连续约束更少，从而可以给设计提供更多的自由度。类似地，把围成N边形孔洞的曲面称为基曲面，而用于填充N边形孔洞的曲面称为填充曲面。根据填充曲面的表示形式，填充方法可以分为以下几类：第一类是直接构造单张具有N段光滑边界的光滑曲面，称为逐段光滑曲面（Piecewise smooth surfaces）使之在边界上与基曲面光滑拼接。第二类方法则是把N片四边形面片或者三角形面片拼合在一起形成一张N边曲面，从而实现N边形孔洞的填充。目前，曲面片拼接法中基于四边形面片的研究比较多。根据要求，相邻两曲面片之间应满足光滑拼接条件，由于N边形面片曲面交汇于一点，必须保证所有这些条件在交汇点处是相容的。相容性问题本质上是非线性的，因此解的存在性判断以及解的构造都很困难，通常的做法是进一步引入限制条件，把非线性问题转化为线性方程组求解，由于约束过多导致曲面形状难于控制，单张N边形曲面片构造方法则直接生成具有N段光滑边界曲线的单张光滑参数曲面片，使之与N边形孔洞的边界光滑拼接。这样虽然避免了相容性问题，但与边界曲面片的光滑拼接更为困难，对于G2尤其如此，而且N边形曲面片的参数域异常复杂，不利于自由造型。近几年，随着各种新的曲面表示方法的提出，人们一方面希望充分利用参数曲面的优越性，另有一方面也试图结合新方法进而来弥补参数曲面存在的不足，表现在填充问题上，则是尝试采用非参数曲面来对复杂物体的参数表示过程中产生的N边形孔洞进行填充。作为曲面连续性过渡中的关键问题，N边形孔洞填充问题一直是计算机图形学领域学者们研究的焦点，这其中就包括了N边形孔洞的几何连续性讨论和对N边形孔洞的形状讨论，对于此问题，目前主要有面片拼接模型，细分曲面模型，细分网格的样条表示模型和基于流行的样条曲面模型等。从国外以及国内的情况来看，国内的关于N边形孔洞填充问题的研究发展比较晚，但是也取得了很好的结果，提出了诸多很好的方法。现有的N边形孔洞填充方法主要集中在以下两类：第一类是细分曲面方法。细分曲面为从任意拓扑网格设计构造光滑曲面提供了可能性,其中心思想是无穷细化，通过对初始网格的反复细化，可以得到一系列无限趋近最终曲面的网格，这些网格经过每次细分变得更小更光滑，极限条件下便可得到最终的光滑曲面。细分曲面思想起源于Chaikin的切角算法，通过利用切角算法对不规则控制多边形进行细分直至极限情况，可以得到一条光滑的B样条曲线，基于这种思想，Doo-Sabin和Catmull-Clark将细分模式推广到三维的控制网格，通过利用细分规则对三维网格进行反复细化最终得到细分后的三维曲面。对于规则的三维四边形网格，Doo-Sabin细分和Catmull-Clark细分分别可以产生双二次B样条曲面和双三次B样条曲面，因此，可以将Doo-Sabin曲面和Catmull-Clark曲面分别看成是双二次B样条曲面和双三次B样条曲面的扩展。在计算机动画、游戏、数据可视化、医学图像处理、多分辨率建模、计算机图形学和计算机辅助几何设计等领域中，细分曲面得到广泛的应用，这其中就包括经典模式和混合模式，论文对细分规则进行了理论分析，由于其具有B样条曲面的局部支撑性、仿射不变性等特性并且在处理任意拓扑网格的时候具有不可替代的优点，能够利用细分规则对不同精度网格局部编辑，在特殊点如折痕、尖点、不规则点的处理中有着很大的优势，因此，细分曲面是B样条曲面的有益补充，在以后很多领域的应用中有着广阔前景。此外，利用极坐标细分曲面方法填充N边形孔洞的方法也得到学界的关注，关于极坐标细分的研究使得细分曲面能够达到很好的连续性。但是，在当前的曲面设计应用中，最为常用的曲面表达形式为多项式形式或者有理多项式形式，而细分曲面没有统一的解析表达式，相对于参数曲面或者隐式曲面来说求交更加困难，进而对其分析研究的难度加大，并且细分曲面与参数曲面、隐式曲面进行交互的相互操作目前还没有很好的研究成果，因此细分曲面方法仅仅局限于研究阶段而没被大规模应用到工业造型系统中。第二类釆用参数化曲面。这其中包括非张量积定义的曲面形式和多项式曲面形式：由于非张量积形式的曲面方法中过渡曲面的定义域为非规则定义域，导致求解后曲面的表示形式与现在通用的曲面表达形式有较大区别，为曲面的后续操作带来很大不便，因此难以广泛应用到工业设计中。最为常用的曲面表达形式为参数化多项式曲面，在使用参数化形式的曲面对本问题进行研究时最常用的方法有能量优化法和子区域划分法。能量优化法以过渡曲面的连续性条件作为约束，通过极小化曲面能量方程保证曲面的连续性来得到优化求解的B样条曲面，这种方法由于其普适性、灵活性和可复用性，被广泛的集成到工业系统中，得到了广泛的应用。然而由于能量优化法通过限定误差来求解裁剪后的曲面，导致曲面的后续处理过程存在着极高的难度；同时，为了更好的约束边界线上的误差，能量优化法引入多次大规模方程组的迭代运算和大量的控制点求解，增加了计算时的时间和空间开销，相对其他方法，能量优化法是一种算法复杂、开销较大的方法。子区域划分法将N边形孔洞分为若干个子区域。通过观察N边形孔洞的拓扑特征和顶点的连接情况来调整顶点的连接性，可以将N边形孔洞分成若干个多边形区域，随后对划分后的每个区域使用多项式曲面进行填充，同时在填充的过程中保持曲面间的连续性，可以得到填充后的连续性曲面。其中，可以对N边形孔洞进行四边形划分，如Piegl和Tiller和Yang等使用Coons曲面对四边形划分的曲面进行填充，得到边界具有角度容差的连续性曲面；也可对边洞进行三角划分，如Jun通过对N边形孔洞进行三角划分并利用单边退化的Coons曲面进行填充，最终得到在边界处G1连续的曲面。1.3研究的主要内容本文主要针对常用参数曲面造型方法中曲面片间光滑拼接条件复杂、实现繁琐的不足，重点对Gregory方法以及基于Gregory三角形面片的曲面重建方法展开研究；同时对N边形孔洞填充，如何选用基本几何模型进行拼接、在拼接过程中如何利用曲线曲面的性质来保证拼接后曲面的连续性进行了详细讨论。主要研究内容如下：（1）Gregory方法与一般参数曲面构造方法的区别。在构造Gregory面片时将面片角点沿两个方向扭矢的有理组合作为角点的扭矢，为消除角点的不相容性提供了途径。（2）分析了Gregory三角形面片的定义，讨论两个相邻Gregory三角形面片间的几何连续（G1、G2）光滑拼接条件。（3）讨论基于Gregory三角形面片的形体表面光滑重建构造方法和过程。希望能够借助Gregory三角形面片的光滑拼接为生成全局的G1、G2连续光滑的形体表面提供有效可行的技术手段。（4）讨论了对于N边形孔洞填充，如何选取合适的几何模型，构造一张或者多张曲面覆盖孔洞，满足边界上给定的几何连续，同时在其内部满足给定的几何连续。1.4论文的组织结构第一章，绪论。本章主要介绍了本文的研究背景和研究的主要内容。首先介绍了曲面造型技术的发展现状及在各个领域的应用，指出在消除角点相容性问题上的不足。其次介绍了N边形孔洞的填充，列举了目前主流的填充方法以及国内外的研究现状，并分析各个方法的优缺点。介绍本研究的主要内容并给出论文的组织结构。第二章，介绍了与本文工作相关的先验知识和研究技术，对N边形孔洞问题进行了详细描述，然后对基于参数化曲线曲面的构造方法中的能量法、区域划分法等进行了详细的分析。第三章，Gregory曲面构造方法。从参数曲面定义域开始对曲面构造进行分类，详细介绍了Gregory三角形面片与四边形面片的几何定义和Gregory曲面生成方法；明确了衡量曲线曲面光滑性的技术指标，提出了曲面插值过程相邻三角形曲面片的连续性问题。第四章，用Gregory三角形面片构造几何连续（G1、G2）的光滑曲面。说明形体表面重建过程中使用分段光滑面片的原因，分析相邻Gregory三角形面片间的几何连续条件，给出了从形体的初始三角形网格生成具有全局几何连续性的Gregory三角形控制网格，到最终对N边形孔洞填充，达到边界和其内部连续，生成光滑形体表面的全部过程。第五章，实验结果与分析。给出了三维模型采用Gregory三角形面片拼接以及填充的实验结果。第六章，总结与展望。对本研究的内容进行了概括性的总结和评价，在此基础上对未来需要进一步完善的工作进行了介绍。第二章 N边形孔洞问题及其研究方法2.1 引言在构造任意拓扑复杂形状（Kobblet L.et al. 1998）的曲面时，最常用的方法是通过对曲面的裁剪和拼接来实现，这就需要由多个曲面片进行拼接，从而导致N边形孔洞的产生。N边形孔洞的边界通常是给定的自由曲线或者N个支持曲面（supporting surfaces），这些曲线或支持曲面的边界顺序闭合成环。边洞的填充问题即构造一张或多张曲面覆盖此区域，并满足边界上连续性条件，同时在其内部满足连续性要求。下图中给出了三维空间中的N边形孔洞示例：由图2-1中可知N边形孔洞（Shi K L, et al.2011）周围存在许多规则点，对这些规则点进行插值和拟合构成参数连续的四边形曲面,曲面的边界曲线构成了N边形孔洞的边界。图2-1 N边形孔洞网格Fig 2-1 N-sided hole net不失一般性地,本文假设N个边界曲线或者曲面顺序连接成环，相邻边界曲线或曲面共用角点（corner point），每个边界曲线或曲面的参数方向是沿着N边形孔洞的逆时针方向，支持曲面（如存在）沿边界曲线的参数方向的偏导矢称为跨越切矢（cross-boundary derivative），其正方向指向N边形孔洞的外部。与此相对应，沿边界曲线的u参数方向的偏导矢量为顺沿切矢（along-boundary derivative）。沿着第条边界曲线，记为支持曲面的跨越切矢曲线为： （2-1）其中是对应边界曲线，边界曲线和跨越切矢曲线包括了支持曲面在边界处的全部一阶微分特性，即使使用两条曲线即可生成与该支持曲面一阶参数或者几何连续的曲面（Hahn J. 1989）。其中，N边形孔洞的n阶连续填充问题的给定输入为每个边界的0至n阶跨越切矢的集合，则可以根据约束条件求解出最后的曲面。 图2-2 N边形孔洞边界导数条件 Fig 2-2 N-sided hole derivative boundary condition 在N边形孔洞填充（Levin A.2009）操作前，通常需要对给定的跨越切矢做一致化的操作：（1）如果一阶跨越切矢的平均正方向不指离N边形孔洞（Gregory J A. et al. 1989）的近似中心方向，则对相应曲面的所有奇数阶跨越切矢进行反向。（2）如果跨越切矢次数不同，将次数比较低的曲线都进行升次直至所有曲线的次数相同为止。进行上述的调整操作之后，每一组跨越切矢符合N边形孔洞的定义规则。在进行封闭曲面构造的过程中，常用的方法是参数化曲面构造法，下面将对这种方法进行介绍。2.2 参数化曲面曲线曲面的表示形式有显式、隐式和参数三种，而且从数学角度看，有些曲面的表示形式非常优美，但这些表示方法不适合在计算机环境下对曲线曲面进行描述，从计算机图形学和计算几何的角度看，参数表示效果较优。参数曲线曲面（Vida J, et al. 1994）起源于飞机和船舶的外形设计工艺。美国的Ferguson利用四个角点的位置矢量以及沿着两个方向的切矢量定义三次曲面，将曲线曲面用参数矢量的函数形式表示出来，得到三次参数形式构造的组合曲线。其后，Coons利用一个曲面的四条边界曲线来定义这个曲面，即样条曲面。之后，Bzier（苏步青1980）提出了一种利用控制多边形网格定义曲面的方法。随后德布尔给出了B样条的计算方法并由Gordon应用到形状描述上。Piegl和Tiller（Piegl L A, Tiller W. 1999）发展出了非均匀有理B样条方法并广泛流行起来，成为了现在曲线曲面设计最为常用的方法。2.2.1 Coons曲面1964年S.A.Coons提出了一种曲面分片、拼合造型的思想，他用四条边界构造曲面片，并通过叠加修正曲面片，产生满足用户需要的曲面。使用双三次Coons曲面片来对控制点进行插值，双三次Coons曲面片的定义如下所示：给定控制点及在控制点处的导数： （2-2）那么，双三次Coons曲面片可以表示为： （2-3）其中， ， （2-4）为区间上的三次Hermite基函数。设给定两个分片双三次Coons曲面片，如图2-3所示，两曲面片拼接处曲面为L，记曲线L的两个端点为，关于两个方向的一阶和二阶导数值分别为，则曲线L的形式可以表示为： （2-5）（） 曲线L沿着方向的跨界导矢为： （2-6）（）图2-3 Coons曲面拼接Fig 2-3 Coons surfaces splicing 由曲线L的形式还可以表示为，若给定曲线两个端点处的函数值、两个一阶导数和一个二阶混合偏导数，根据公式（2-5）可知两个分片双三次Coons曲面片在拼接曲线L处为C0连续的；由曲线的跨界导矢形式还可以表示为，根据公式（2-6）可知两个分片双三次Coons曲面片在拼接曲线L处为C0连续的。因此，如果四边形网格各个顶点处的位置、两个一阶偏导数和二阶偏导数这四个条件已知，则由公式（2-3）给定的Coons曲面片拼接而成的曲面是C1连续的。2.2.2 双三次Bzier曲面在空间中给定控制点，可以构造参数化形式的双三次Bzier曲面如下所示： （2-7）其中是关于参数t的三次Bernstein基函数： （2-8）由定义(2-7)可得端点处的导数与控制点之间的关系如下： （2-9） 图2-4 Bzier曲面拼接Fig 2-4 Bzier surfaces splicing 当两个分片双三次Bzier曲面片拼接（Ye X Z, et al. 1996）时，如图2-4所示，设两张要拼接的Bzier曲面片方程为： （2-10）要使两个拼接的曲面达到C0连续，需要满足；若要使拼接后的曲面达到C1连续，首先要满足C0连续，还要满足在公共边界出法矢量相等，即： （2-11）为使两相邻面片在拼接处达到C0连续，则，只需要满足便可保证拼接后的曲面达到C1连续。记两曲面片拼接处曲线为L,由图可知曲线L的两个端点为为，曲线L的表达形式为,根据公式（2-10），已知Bzier曲面片为双三次曲面,则曲线L的次数为3。若已知曲线上四个点的导数值，则可以知道曲线上任意一点处的导数值。即若： （2-12） 则两个拼接的Bzier曲面能达到C1连续。2.2.3 B样条曲面自1946年美国数学家I. J. Schoenberg提出样条函数以来，样条函数以其构造简单、易于计算又有很好的力学背景等特点而被广泛用于科学计算、工程设计和计算机辅助几何设计等领域，成为最重要的曲线和曲面构造方法之一。在样条函数的应用中，三次样条函数是最常用旳方法，因为其具有很强的收敛性和逼近性，能够很快的收敛。在计算机辅助设计和计算机图形学领域，三次样条函数被最为广泛的研究并且得到了广泛的应用，为以后的样条函数理论发展奠定了坚实的基础。三次样条之所以得到了如此多的关注，是因为：(1)三次样条函数是能满足C2连续的最低次样条函数，由于很多数学物理问题和工程中的应用要求二阶连续，而次数低则代表了计算的简便和稳定