磁悬浮球控制系统的滑模变结构控制设计——毕业论文

毕 业 设 计学生姓名： 学 号： 学 院： 电气工程学院 专 业： 测控技术与仪器 题 目： 磁悬浮球控制系统的滑模 变结构控制设计 指导教师： 评阅教师： 年 月 河北科技大学毕业设计成绩评定表姓 名 学 号 成 绩专 业测控技术与仪器题 目 磁悬浮球控制系统的滑模变结构控制设计指导教师评语及成绩 指导教师： 年 月 日评阅教师评语及成绩 评阅教师： 年 月 日答辩小组评语及成绩答辩小组组长： 年 月 日答辩委员会意见 学院答辩委员会主任： 年 月 日 注：该表一式两份，一份归档，一份装入学生毕业设计说明书中。毕 业 设 计 中 文 摘 要随着科技的不断发展与进步，电悬磁浮系统因其独特的噪声小、磨损少、控制精度高、能源消耗极少等多处优势广泛应用于经济的各个领域。本文详细地介绍了磁悬浮技术的发展历史与现状，以及对滑模变结构控制的概述，包括滑模控制的简介及其优缺点、滑动模态的定义、滑模变结构控制的发展历史与研究现状、滑模控制的基本原理及控制器设计步骤等等一系列关于滑模控制的问题的介绍。文中以磁悬浮小球控制系统为主要研究对象，将其基本组成结构以及其工作的基本原理进行分析研究，并在此基础上建立该控制系统相应的数学模型，然后利用滑模变结构控制方法对磁悬浮小球系统进行控制器的设计，同时利用MATLAB仿真软件对此控制器不断仿真研究，最终实现对磁悬浮球系统的控制。关键词： 磁悬浮球系统 滑模控制 MATLAB仿真 本 科 毕 业 设 计 第 39 页 共 36 页毕 业 设 计 外 文 摘 要Title Sliding Mode Variable Structure Control Design Of Magnetic Levitation Ball Control System AbstractWith the continuous development and progress of science and technology, electric suspension maglev system because of its unique low noise, less wear and tear, high control accuracy, consumes very little energy and so many advantages it is widely used in various sectors of the economy. This article describes in detail the history and current situation of the development of magnetic suspension technology, as well as an overview of variable structure control, including the development of history and Sliding Mode Control Introduction, advantages and disadvantages of the definition of sliding mode, sliding mode variable structure control the status quo, the basic principle of sliding mode control and controller design step, and so a series of sliding mode control problem description. Text to maglev ball control system as the main research object, the basic principles of basic structures and its work were analyzed, and the establishment of the control system on the basis of the corresponding mathematical model, and then use the variable structure control method magnetic levitation ball system controller design, while taking advantage of MATLAB simulation software simulation of this controller constantly, and ultimately for Magnetic levitation ball system.Keywords: Magnetic Levitation System Sliding Mode Control MATLAB simulation目 录1 绪论11.1 磁悬浮技术简介11.2 磁悬浮技术应用11.3 磁悬浮技术历史发展与现状41.4 课题研究的意义51.5 主要研究内容61.6 本章小结72 滑模变结构控制（SMC）82.1 滑模变结构控制概述82.2 滑模变结构控制的发展历史及研究现状92.3 滑模变结构控制的基本原理102.4 抖动问题及其削弱措施122.5 本章小结143 磁悬浮球控制系统153.1 磁悬浮球控制系统的组成及结构图153.2 磁悬浮球控制系统的工作原理163.3 磁悬浮球控制系统的数学模型173.4 本章小结224 滑模变结构控制设计234.1 滑模变结构控制器的设计234.2 滑模控制器的抖动削弱264.3 滑模控制器的稳定性分析284.4 仿真研究284.5 本章小结32结论33致谢34参考文献351 绪论目前，电磁悬浮技术（又称EML技术）依旧是国内外研究的主要热点，其中以磁悬浮高速列车，磁悬浮轴承等的发展最为显著。它的基本原理很简单，就是利用电磁力“同性相斥、异性相吸”的特点来使得其所控制的对象的重力保持相对平衡，以致其能够达到悬浮状态，并稳固在一个特定的位置。也恰恰因为其能够保持悬浮状态不变，无任何接触点 ，才使得磁悬浮技术拥有噪声小、磨损少、控制精度高、能源消耗极少等多处优势。而在能源极度紧张的当今社会，对磁悬浮技术的继续深入研究与应用无疑具有更为重要的意义。1.1 磁悬浮技术简介在当今情况下，航天领域的发展正逐步的稳定向前。以模拟微重力为背景的的空间悬浮技术正逐步成为许多国家所进行相关科技含量较高的研究的主角。当时间走到2012年的时候时，悬浮技术已开拓了多个领域，例如电磁悬浮、光悬浮、声悬浮、气流悬浮、静电悬浮、粒子束悬浮等，上述的相关的领域中，电磁悬浮（即Electro Magnetic Suspension，简称EMS)的发展是日渐成熟的，同时在各方面的应用也是相对比较广泛的。其主要原理是利用某一高频率电磁场在金属球表面产生的涡流来实现对金属球的升降控制，从而达到一种悬浮状态。假设一种情况，倘若某一个线圈是带有高频电流的，试着把某个金属原件放入线圈中，此时金属的表面便会有高频涡流的出现。因为其与磁场的互相作用，所以洛伦兹力会作用到该金属上。假设通过调试，可以使条件变得理想，这时洛伦兹力便会等于物体本身的重力，因此物件会处于平衡，这样就实现了电磁悬浮。1.2 磁悬浮技术应用磁悬浮就是利用电磁场产生的非机械接触式的电磁力来克服被控对象自身的重力，使得被控对象脱离原位置，从而可以无接触的悬浮于高空的一门先进技术。此项技术是在自动控制理论基础不断发展的前提下而建立起来的一种自动控制技术。其主要特点是：无摩擦、无污染、非机械式接触、噪音小等，且能够消除因为摩擦而产生的相对阻力。这些优点使得它在交通、冶金、机械、电器等多个方面都有广泛的实际应用，有着最为广阔的应用前景1。世界各地所研究最为广泛的当属磁悬浮列车、轴承两大方面。1.2.1 磁悬浮轴承磁悬浮轴承中的转子与轴承是相对分离的，其原理便是利用了电磁场所产生的力，使非接触的设计理念得到了实现。由于磁悬浮轴承系统总是同时包含多个传感器，必定使得其轴向尺寸有所增大、同时系统的动态性能相应降低。其中，最不可忽视的重要缺陷就是该系统成本较高、可靠性反而很低。并且，受磁悬浮轴承系统结构的限制，为了保证系统中不会发生相互耦合，传感器被安装的位置便受到了限制，它不能出现在轴承的中间位置，因此这种设计便会变得相对复杂。另外传感器的昂贵的售价也会降低轴承的性价比，使它的发展收到了一定的限制。因而，就目前看来，想办法“如何去降低磁悬浮轴承的销售价格”依旧是国际上某些研究课题的一个热点。近几年，科学家们不断借鉴于磁悬浮轴承以及无传感器检测技术的两大项研究方法及其研究成果，并将这两大研究领域的最新的研究成果相结合，从而诞生出一个全面的、最新的领域研究方向，即无传感器的磁悬浮轴承技术的研究发展2。此时的磁悬浮轴承系统已不需要再设置专门的位移传感器，它的转子的位移可以根据电磁铁线圈上的电流和电压信号得到。其优势在于转子所占的空间变得更小，使系统提高动态性能得到了实现，有效的增加了自身的稳定性。因而，此类型的磁悬浮轴承系统所需要的控制器将会更便于进行设计，其价格亦会呈现一种明显下降的趋势。1.2.2 磁悬浮列车磁悬浮列车可以形象的理解为“飘着”列车，其原理便是利用电磁铁所产生的力，使得机车能够与轨道实现零接触，实现了悬浮状态，同时，电磁铁还能进一步控制机车的运行方向。依据悬浮方式，机车是分为磁吸型和超导排斥型这样两大领域的。在常导磁吸型磁悬浮列车中，常常以德国研究生产的高速度常导磁悬浮列车Trans Rapid 为主要代表，其工作原理为轨道下方存在的导磁体会被由机车中常导电流产生的力吸引，因此机车便会处于稳定的悬浮状态。另一种超导排斥性的机理为列车行驶的地面上的线圈会与超导磁体所产生的磁场互相作用，排斥力便因此产生，因此机车便会悬浮起来。但磁悬浮列车有很多弊端，譬如其悬浮的气隙相对较大，且应用技术相当复杂，同时，去屏蔽发散的电磁场也是必不可少的一项重要防范措施。这其中，德国与日本 在此方面的研究是占据着相对靠前的位置的。在20世纪80 年代初期，我国方才开始着手于磁悬浮列车的技术研究，起步较世界其他各国都晚一些。然而，我国在磁悬浮列车技术的研究上发展却相对较快。我国是世界上首先做到单线通车并投入了商业化运营道路的高速磁悬浮线路。因而，我国的磁悬浮列车技术的研究较为深入，且速度发展很快，丝毫不落后于世界上其他各国。其中，世界上的第一条具有商业运营性质的高架桥磁悬浮专线当属在2002年底试运行且2003年初在我国全线运行的上海磁悬浮列车。上海的磁悬浮列车上装有电磁铁，属于“常导型”磁悬浮列车，利用电磁力“同性相斥、异性相吸”的特点来使得其所控制的对象的重力保持相对平衡，以致其能够达到悬浮状态，并稳固在一个特定的位置。此列车被称为21世纪人们最理想中的超级特快车，其时速每个小时可高达430公里，仅仅低于飞机的飞行速度。1.2.3 其他应用当今社会是逐步往前发展的，因而会对一些设备的要求变得相对“苛刻”。与此同时，关于某些较长行程以及超精密的运动控制的技术研究也越来越吸引人们的注意，各国都想要研究并钻研更多更好的技术。通过对先前进行的研究的分析，可以看到，若想提高行程，实现精密度更加准确的运动控制，必须来消除摩擦力本身非线性因素所带来的相关影响，依托大量的实验结果与结论，最好的方法便是磁悬浮控制。这样，磁悬浮工作台便走入了人们的视野。此技术有两项至关重要的难点，其一：电磁铁的相关结构及其参数的选择；其二：工作状态下北方物体会与电磁铁的铜损产生一定的矛盾。为解决上述技术难点，工作台上变多出来了一个电磁铁，目的是增加吸引力以此来平衡重力。面对第二难点，只是减小磁铁的大小是相对徒劳的，所以必须想办法降低其静态功耗，此时则需要设计尺寸尽量大的电磁铁。若想磁悬浮工作台技术能有很好的发展，就必须解决此类问题。在这种情况下，西安交大的研究人员经大量实验后利用三磁极电磁铁所建造的工作台便合理的解决了第二个难点，这使得磁悬浮往前更近了一步。在磁悬浮技术飞速发展的当今时代，一些工业生产和人们的日常生活中，还存在着磁悬浮风力发电机、磁悬浮电梯、磁悬浮天平、磁悬浮机床等等越来越多的实际应用，汽车以及钢铁行业都出现了磁悬浮技术的身影，面对此技术的大好前景，不难想象到，更多的实用性的产品会逐步进入人们的视野。1.3 磁悬浮技术历史发展与现状时间追溯到17世纪，那个时间节点的人们曾经一度认为物体能够悬浮的可能性是为零的，就好比人们曾认为太阳是围绕着地球旋转的一样，这并不是人们见识短浅，只是那时候的科学技术还是处于萌芽阶段的。一些尝试着令某些物体处于悬浮状态的做法也相继以失败而告终，其中就有大家能想到的方法利用一些物件自带的磁力让物体悬浮起来。当时间的指针走到1840年，英国著名科研家Earnshow 教授指出并论证了在只有磁性材料这个前提下，没有可能性来让物件处于稳定的漂浮状态3-5。二十世纪初，一些科学家建立起磁悬浮的雏形，其基本原理便是通过技术手段，有极大的可能令物体甩掉本身的重力，进而以很高的效率来运转，此时，磁悬浮列车开始揭下了其神秘的面纱，虽然这只是一个假设，但这也是科学技术在不断进步的一个体现。二十世纪三十年代，德国赫尔曼提出，利用电磁铁磁场的可操控性，不会让悬浮的物体失去其稳定的状态，过了二十年，法国做出了由电磁铁及传感器组成的磁悬浮系统的猜想，此举被看做是磁悬浮开端。1960年，美利坚合众国的专家提出了关于磁悬浮包含现实意义的运输系统，这时世界上对将磁悬浮应用到机车上的想法表现出越来越大的兴趣。研究磁悬浮运输的经济强国如雨后春笋般越来越多。在控制装置的体积变得越来越小时，磁悬浮列车也进入了发展的提速阶段，在其历史发展中，有着划时代意义的便是十九世纪60年代，列车模型的成功创建并获得了165km/h上午速度。世界上此技术研发处于看领先地位的当属日、德。磁悬浮伴随着时光的流逝，其拥有破茧成蝶般的蜕变，不仅在机车上有其身影，还可以在轴承中看到它大放异彩的场景。在二十世纪80年代举办的轴承会议中，会议参与人员关于此技术的发展方向及相关需要攻克的难题做了深入的研讨，接下来的时间里，没过2年，便召开一次这个会议。这个会议的成功召开，对世界工业的发展有着深刻的意义，为磁悬浮的进一步发展奠定了基础。磁悬浮系统里有很多构件，其中一个便是功率放大器，它也在不断地“进化”中，一开始，它只是单纯的老式的具有线性功能的放大器，虽然其构造不复杂、有着良好的抗不稳定性并且还可以便于人们实时掌握它的信息等优势，但其没有优良的动态性能，对能量的消耗也比较大，这些特点注定了它只适用于功率低的系统。当实际生活中对系统的响应时间，处理效率需求越来越高时，开关型的功率放大器开始走入人们的视野。这种开关型让磁悬浮往前迈了大的一步，在使动态性能变得更加完善的同事，又做到了节省能源，令系统工作效率得到提高，不过也要看到它不完美的一面，因为自身问题，有很大的可能产生失真情况，空间利用率降低，构造是相对复杂的。面对这种情况，集成放大器便问世了。我国在磁悬浮技术研究领域起步较晚，是在1980年开始着手磁悬浮的研究，西南交大是第一家开始研究的高校，在其努力下，攻克了单自由度实验，使得本身对电磁原理有了很深的理解，并于1990年做出了磁浮模型车。同年代，国防科大做出了一台实验机车。迄今为止，经过不懈的努力与坚持，中国在这个方面收获颇丰，尤其是部分高校，对磁悬浮的贡献是巨大的，例如，西安交大关于电磁铁的研究，一次次的突破终使其被全新设计，国防科大在列车领域所申请的一个又一个的专利也从侧面反映出它的付出与收获，哈工大在轴承方面的突破性进展等等。1.4 课题研究的意义悬磁浮系统因其独特的优势广泛应用于经济的各个领域，但该系统本质上却是不稳定的，非线性的控制系统。从实际出发，不难看出，当今社会中关于磁悬浮的控制器所基本的出发点几乎都是对某一个平衡点进行线性化处理得到的。此方法的相对劣势便是当这一平衡点发生相对变化时，无法再根本上处理系统的控制问题，因而只能做到让系统的部分处于稳定的状态。面对这种情况，加强非线性方面的研究显得比较紧要。滑模控制归属于变结构控制理论，其具有控制的不连续性，伴随着时间与状态的变化，系统也会发生变化，这种特点可称之为开关特性。当系统控制发生切换时，滑模面上的系统会按照特定的踪迹进行滑模运动，这一特点无疑很好的克服了系统的不确定性，对于控制非线性系统具有良好的效果。同时，滑动模态是可以进行设计的，并且其与系统自身的参数变化和外界的扰动都没有关联。滑模控制在去除抖动方面有较大的优势，而且还能确保有良好的鲁棒性。为便于对磁悬浮技术领域的研究，本论文将研究主体设定为单自由度的磁悬浮球控制系统，该系统结构简单、动态性能判定比较容易，分析起来很方便。此外，在滑模变结构控制的基础上增加其他控制从而形成的复合控制方法已成为近年来众学者研究的一个热点。在毕业设计中，将根据滑模变结构理论设计了一个与积分滑模面相关并且与饱和函数相结合的控制器，作为一个比较新颖的算法，同时可以利用Matlab软件来验证它是否可行。所以，当今时代，这种基于Matlab的磁悬浮球系统的新型变结构控制的研究具有很大的实际应用价值与理论研究意义。1.5 主要研究内容设计主要是对磁悬浮技术和滑模变结构控制策略的研究与应用，文章中以磁悬浮小球系统为主要被控对象，然后利用滑模变结构方法设计出与该系统相对应的控制器方案，最后经MATLAB中的Simulink仿真软件进行验证并分析系统稳定性。具体的研究途径如下：1、 首先，需要仔细的分析并了解磁悬浮小球控制系统的工作原理；2、 接下来，应在其工作原理的基础上学会对系统结构图进行受力分析，并演算推导出该系统的动力学微分方程；3、 介绍滑模变结构控制算法的基本原理及特点，提前打造一个深入学习该控制策略的一个平台；4、 系统受力分析完成后，自然是控制器的设计研究过程，即需要将推导出的数学模型与设计出来的控制器完美的结合起来，从而能够更加完美的解决磁悬浮球控制系统的控制问题；5、 众所周知，滑模变结构控制（SMC）中的“抖动”问题是设计控制器是不容忽视的重要一项，文中针对 “抖振”现象的出现，将采用引入指数趋近律和sat饱和函数边界法相结合的策略来解决，从而得到更好地控制效果；6、控制器设计完成后，自然要检验其可行性与其控制效果，而文中利用的是MATLAB中Simulink仿真软件，通过参考系统的动力学微分方程和控制规律，来构造系统仿真图，并利用示波器观察小球位移曲线。结果显示，本次课题设计出的滑模控制器具有可行性，并且能够很好地削弱“抖振”问题。 1.6 本章小结本章介绍了磁悬浮技术的基本工作原理，磁悬浮技术的背景及研究现状，同时详细表述了磁悬浮技术的应用和研究意义。从中可以充分了解到本课题研究的基本内容和研究的途径及意义。2 滑模变结构控制（SMC）同常规算法相比，滑模控制有其独特的特点，其中较大的优势便是其可以应用到非线性领域。滑模控制比较特殊，一开始要做的便是设计出一个与相轨迹相关的滑模面，其作用便是令系统全部的状态向量都沿着相轨迹运动，一直达到期望点。这里需要指出的是，文中所设计的滑模面是不受系统参数以及扰动影响。因而这种控制理论会使系统的鲁棒性变得更高。算法简单、易于操作的滑模控制逐渐成为新的研究热点。2.1 滑模变结构控制概述2.1.1 变结构控制（VSC）概念变结构控制是由前苏联学者Emelyanov、Utkin和Itkin在20世纪60年代初期所提出的一种设计控制方法6-8。然而，当时主要研究的是单输入系统或者是二阶系统，同时利用相平面法来简单分析系统的某些特性，直到进入20世纪70年代后，方才开始着手于状态空间中线性系统方面的研究，这无疑更加丰富了变结构控制理论系统的设计思想。伴随着各项研究的进行，太多种与变结构相关的控制方法逐渐浮出水面，然而这里面，只有滑模控制的变结构控制显得尤为突出，并且其发展效率很高，被人们认为是时下发展前景良好的一种理论。滑模变结构控制从本质上主要表现为系统控制过程中的不连续性。系统本身的“结构”不会是一成不变的，他也会表现为不规则的运动，伴随着系统的变化而变化，虽然滑模控制只是作为变结构控制的一种思想，但是一般情况下，可以将变结构控制就称其为滑模变结构控制(简称SMC)。2.1.2 滑动模态定义 滑动模态是属于非线性的利用微分方程来组建的模型。假设被控系统的初始情况是某一个通过平衡点的轨迹，在加上控制以后，则会看到系统的状态向量会沿着相轨迹运动直至抵达平衡处，所以这个过程可以看作是一种滑动过程。一般来说，被控系统的初始状态不一定会在子流形上。因此，便需要设计一种控制器来控制被控系统，使其达到之前研究所需要的国定状态。即变结构控制器的作用就是要将被控系统的状态点在一定的时间内全部驱动到之前设定的子流形上，并保持其在子流形上不动，可以称这一过程为到达过程。2.1.3 滑模控制的优缺点 优点：滑动模态可以设计且与对象参数和扰动无关，具有快速响应、对参数变化和扰动不灵敏（ 鲁棒性）、无须系统在线辨识、物理实现简单。缺点：当状态轨迹到达滑动模态面后，难以严格沿着滑动模态面向平衡点滑动，而是在其两侧来回穿越地趋近平衡点，从而产生抖振滑模控制实际应用中的主要障碍。2.2 滑模变结构控制的发展历史及研究现状滑模变结构控制系统的基本概念起源于对二阶系统的平面研究，大约在20世纪50年代末期，前苏联学者Utkin、Emelyanov等人就针对于二阶系统的研究提出了变结构控制的概念9-11。到了60年代，人们则开始讨论高阶线性的单输入单输出系统在可以转变成线性的切换函数情况下，控制受限与不受限及二次型切换函数的情况。在20世纪70年代末期，大约1977年，Utkin发表了一篇有关于滑模变结构控制系统方面的综述论文，较为系统提出了变结构控制（VSC）和滑模变结构控制（SMC）的方法。并且，同Itkis等人总结发展了滑模变结构控制理论，从而奠定了滑模控制系统的理论基础12,13。只是当时的这些研究成果并未受到广大研究学者的重视。却在之后因其控制器设计相对简单、对被控参数的变化及外界各种干扰都不是很敏感，且易于实现而逐渐的引起人们的关注与重视，并取得了显著的成就。此后，各国学者开始研究多维滑模变结构控制系统，由规范空间扩展到了更一般的状态空间中。大约在80年代末期的时候，滑模变结构控制系统的研究也引起了我国众学者的关注，其中，高为炳院士等人首先提出了趋近律的概念，并首次提出自由递阶的概念14,15。与此同时，王丰尧16、周其节17、姚琼荟18、胡跃明19等人也在滑模控制方面做了大量的研究实验，并相继出版了与滑模控制系统相关的学术专著。现如今，随着科技的不断发展与进步，滑模变结构控制系统的研究领域已涉及到离散、时滞系统等多种复杂多变的系统。滑模变结构控制系统经过近60年的发展与研究，早已形成了一个较其他研究领域而言相对独立的研究个体，并早已成为自动控制系统中一种先进的控制设计方法。由于在实际工程中，被控对象变得愈来愈复杂，其非线性问题也日趋严重，这无疑需要拥有更高更新的技术要求的控制算法来实现工程的操作性。而滑模变结构控制算法正是解决控制问题中非线性系统的一种很好的方法20-22。因此，滑模变结构控制理论的发展研究与实际应用在近几年已经逐渐引起人们的密切关注与重视，全世界各国学者也都争先恐后的针对滑模变结构控制算法出现的问题进行专项研究。尽管滑模变结构控制在60多年的实践中取得的研究进展与成果显而易见，但是其仍旧存在很多方面的局限性，譬如滑模面的准确性设计、滑模控制应用的局限性等等，但其最亟待解决的问题主要表现在滑模控制中涉及到的系统抖动问题。同时，自适应控制、模糊控制等先进的控制技术也相继被用于与滑模控制方法相结合，或者通过引入趋近律来组成一种新的智能滑模综合控制方法，从而使得滑模控制设计中遇到的系统抖动问题能够被很好地削弱或消除，让滑模控制能够更好地应用到实际工程中。2.3 滑模变结构控制的基本原理2.3.1 滑模面的定义 一般地，具有右端不连续微分方程的系统可以描述为:；其中 ， 需要指出的是：表示为状态的函数，可以叫作为切换函数。满足可微分，即 存在。 微分方程的右端 不连续，结构变化得到体现，即根据条件 的正负改变结构为一种系统结构，为另一种系统结构。从而满足一定的控制要求。 微分方程在上没有定义，因此需确定其上系统微分方程： 独立变量变为n-1个，滑模面上方程较原方程阶数降低。如图2-3-1所示,其中，称 所在的这一平面为不连续面、滑模面或者切换面。显然，它将状态空间分为了两个部分。 S(x)0S(x)=0ABC图2-3-1在切换面上的运动点通常有3种情况：(1)常点假设切换面上附近存在状态点，且某个点在面上的状态点穿过，因而把这个点定义为常点。如点A(2)起点假设切换面上的某点附近存在状态点，并且会从某一边离开此点，因而将其定义为起点。如点B(3)止点假设切换面上的某点附近存在状态点，并且会从某一边趋于此点，因而将其定义为止点。如点C倘若滑模面s上的一部分全为止点，则便可以认为，状态点在接近它时，会不由自主的滑向它，这时的区域可以叫做滑模动态区域，状态点的运动方式可以称为“滑模动态运动”。按照假设条件，可以很容易的推出当状态点到达切换面附近时，必有：上式称为局部到达条件。对局部到达条件进一步扩展即可得到全局到达条件： 相应地，构造李雅普诺夫型（Lyapunov）到达条件：满足上述到达条件，状态点将向切换面趋近，切换面为止点区。滑模变结构控制三要素如下：（1）切换面以外的状态点须在指定时间内到达切换面，即是具有可达性的条件；（2） 滑动模态存在性；（3）必须全面保证滑动模态运动的渐近稳定性以及其良好的动态品质。2.3.2 滑模变结构控制的品质滑模控制的运动分为正常运动和滑动模态运动两个阶段，因而其品质则取决于这两段运动的品质。然而，现在尚且不能做到一次性达到改善运动品质的要求，因此可以将其分段来达到要求。即一方面可以通过改变控制率使得正常阶段得到改变，另一方面，同样可以采用切换函数来使其达到所需要求。 以下是几种常见的趋近律：（1）等速趋近律 （2） 指数趋近律 （3） 幂次趋近律 （4）一般趋近律 这里需要特别指出的是，为了使被控对象与状态点之间的距离较近时，为了使抖振产生的可能性最低，则需要保证让被控对象以合适的速度抵达切换面。文中采用的就是利用指数趋近律来改善滑模控制品质。2.4 抖振问题及其削弱措施原则上来说，使用滑模控制时，只要被控系统的状态运动被迫进入了滑动模态运动的模式中，其所有的空间点都将与自身参数的变动和外界干扰再无任何瓜葛，从而可以给系统带来良好的鲁棒性。然而，在实际的工程应用中，常常会出现一种现象：即因系统自身存在的瞬时变化的原因，实际的滑动模态的运动会在滑模面的两边进行高频的震动，这种现象可以称之为抖动。如图2-4所示，为理想和实际滑模运动的比较图。理想的滑模运动实际的滑模运动图2-4 滑模运动显而易见，滑模控制应用中出现的抖动问题会影响到对被控系统控制的精确性，而且不容忽视且又无可避免的还有被控系统的能源消耗问题，进行对系统造成损害。因而，如何去消除滑模控制中的抖动问题已经成为众学者研究领域的一大热点。就目前来看，从学者的研究成果中不难发现，一般有以下几种方法来削弱滑模控制中出现的抖动问题23。 第一种自然首推边界层法。其基本原理在于利用sat饱和函数来代替sign符号函数，从而获得相对比较平滑的函数曲线，进而达到削弱抖动的效果。但美中不足的是，利用此方法时将难以确定被控制的参数变化，而且会使得系统的稳定精度受到一定的影响。第二种是引入积分滑模面的方法24。控制器中包含积分环节会使得系统控制信号连续性增强，很好地保存了系统的鲁棒特性，但却增加了系统阶次。第三种则可以采取高为炳等人所提出的趋近律方法。例如引用等速的趋近律、指数趋近律等多种方法，进而经过不断地实验和研究，选取互不相同的控制参数，从而可以使得被控系统的空间状态点在即将要到达滑模面时的速度有所减缓，进而削弱抖动效应。第四种方法就是在被控系统中加入模糊控制、自适应控制等各种智能控制理论来构成混合控制器25-27。2.5 本章小结在本章节中，可以清楚地了解到，滑模变结构控制（SMC）是一种比较系统的综合控制策略方案。因而，该控制策略除了可以应用到线性系统中，还将广泛的被各种非线性系统的研究和控制所应用。本章主要介绍了SMC的简介、发展历史及其目前研究的国内外现状，从中清楚地了解到了滑模控制理论的发展历程。此外，在本章节中，可以掌握到滑模变结构控制的一些基本工作原理及其控制器的设计方法，为后面章节中（第四章）进行滑模控制器的设计及应用起了很好的铺垫作用。与此同时，对滑模控制的抖动问题及其削弱措施的简单介绍自然也是无法避免的。3 磁悬浮球控制系统一般来说，电磁场都是利用电能产生的，而在磁悬浮系统中，能量的相互传递与转换都是在电磁场的作用下进行的。磁悬浮系统利用电磁力将物体悬浮，并因其噪声小、磨损少、控制精度高、能源消耗极少等多处优势而广泛地被经济其他领域所引用。然而，凡事总有不完美，该种控制系统本质上是属于非线性系统的，这就使其在控制问题上大大加大了难度，一般的控制线性系统的策略在此系统上早已无法实现。因此，在系统的控制策略上，需要引用具有良好鲁棒性的非线性控制方法。磁悬浮球系统为单自由度系统，单输入单输出，模型简单易懂、分析彻底，且极易实现控制。因此，在本章的介绍中，会详细分析磁悬浮球控制系统的组成及基本结构，并利用其基本工作原理进行受力分析，演算出动力学模型。从而可以很好地为后文控制器的设计做铺垫。3.1 磁悬浮球控制系统的组成及结构图3.1.1 硬件分析磁悬浮球系统结构如下图3-1所示。功率放大器位移传感器控制器支架电磁铁线圈磁悬浮小球IUX图3-1 磁悬浮球控制系统结构图磁悬浮球控制系统（本文只考虑单自由度系统）的基本结构包括硬件及软件两部分。其硬件部分组成主要包括含支架、位移传感器、带线圈的电磁铁及钢球四个部分的磁悬浮装置（亦称其为机械部分）、同时拥有含电源模块、信号采集模块、信号处理模块、控制器以及功率放大器等控制单元的电控部分。3.1.2 软件组成磁悬浮球控制系统中软件的组成一般都采用的是Quanser公司在Simulink软件技术的基础上生产的Wincon控制软件，依据以往的研究数据统计分析可以发现，该软件可以用来实现对磁悬浮小球控制系统中的硬件部分的实时控制，同时产生数据之间的相互交换。即在利用不断实验来验证系统控制效果的过程中，同时利用Matlab中Simulink仿真模块来描绘系统的动力学微分方程，构造出系统仿真电路图，进而设计出系统控制对应的程序，进行在线编译从而生成系统可执行所需要的Vc语言后，便可以将控制器中的相关控制算法传送到系统硬件部分，从而实现对系统的实时控制与操作。同时，在Wincon控制软件的界面中，可以及时观察磁悬浮球系统的实时运行状况。3.2 磁悬浮球控制系统的工作原理磁悬浮球系统的基本原理很简单，就是利用电磁力“同性相斥、异性相吸”的特点来使得其所控制的对象的重力保持相对平衡，以致其能够达到悬浮状态，并稳固在一个特定的位置。具体控制过程如下：系统接通电源后，电磁铁上缠绕的线圈会因此通上电流从而产生电磁场，此时，位于支架上的小钢球也因身处于磁场当中而受到相应电磁力的吸引作用。工作过程中，若电磁铁上的线圈中的电流过小，则会使得磁场中产生的电磁吸引力力小于小钢球的本身的重力作用，终导致小球依然稳稳地停留在支架上，静止不动；不断增加电流，其产生的电磁力也相应增大，当磁力大于小钢球自身的重力时，小球会出现慢慢上升的现象；此时，位移传感器开始工作，将检测到的钢球的上升位置通过信号放大后传送给控制器，控制器则通过已被写入系统的某种控制算法进行计算并调整。接下来，一些通过不断计算得到的需要输出的控制信号，就会经已选好的功率放大器出来，并同时转换成系统需要的电压、电流信号，进而再一次控制电磁铁产生的磁场，从而将电磁力的大小得以改变。这样的话就可以使得小钢球能够不断调节而达到平衡位置（即电磁力等于钢球重力）处，从而来实现系统的稳定磁悬浮。3.3 磁悬浮球控制系统的数学模型3.3.1 磁悬浮球控制系统的数学建模如图3-2所示，即为本论文所研究的磁悬浮小球控制系统的电路结构简图。通过详细分析其各种受力情况以及小球运动的方向，可以很容易的列出该电路图所相对应的数学方程，然后将其进行进一步的分析整理即可得到该控制系统的简易动力学模型。支架MbVCRSICRCXbLCXYFcFg图3-2 磁悬浮球系统的电路结构图仔细分析图3-2，很容易得出关于力的数学方程，则由牛顿第二定律（物体所受合外力之和等于其质量与加速度的乘积）可得 （3.1）其中，：表示小球的质量； ：表示电磁铁到小球顶端的距离； : 表示重力加速度； ：表示电磁力常数； ：表示电磁铁线圈中的电流；表3-1 磁悬浮球系统的电气相关参数符号名称数值单位流过线圈的最大电流3A线圈的等效电感412.5mH线圈的等效电阻10线圈匝数2450铁芯长度0.0825m铁芯半径0.008m电磁力常数采样电阻1小球半径m小球质量0.068kg小球运动的最长路径0.014mg重力加速度9.81电磁常数H/m传感器的敏感系数m/V结合所学的物理现象及基础知识并仔细研究分析该受力图可知，当小球不断向上运动到该控制系统的平衡位置时，其所拥有的速度、加速度均会变为零。此现象体现在数学公式中则集中表现为式（3.1）中的导数项在此时刻会全部变为0，因而，此时的式（3.1）可以简化为： （3.2）设当小球处于系统的平衡位置时，电磁铁上线圈中的电流值恰好为，而小球顶端距离电磁铁的距离则可以表示为。进而便可以得到由小球位移和系统本身存在的电磁力常数表示的小球处于平衡点这一位置时，线圈中的电流值的一个代数式 （3.3）由上式（3.3）可以看出，当确定为一定值时，磁悬浮小球控制系统的平衡点亦随之确定。然后将表3-1中的其他各相关参数数值代入式（3.3）中，即可得到小球运动到平衡点处那一时刻，线圈中的电流值。至此为止，以上对电路图和各式的分析研究均为该系统中的硬件各部分作用的解释说明，是系统外表所见的。当对其有了一个大概的了解后，自然要进一步分析其内在部分的功能。接下来分析的便是该小球控制系统中的电控部分（即含电源、信号采集、处理模块、控制器、功率放大器等），此部分，由物理所学知识-基尔霍夫电压定律可得 （3.4）上式（3.4）即表示的是关于电压的一个一阶微分方程。其中， ：表示线圈的等效电感； ：表示线圈的等效电阻； : 表示线圈的采样电阻； ：表示磁悬浮球系统的输入电压；此外，该磁悬浮球控制系统中的其他各个相关的电气参数的含义以及其对应的参考数值参见表3-1。经以上各项分析研究后，考虑到各参数相关性大小，本次课题中的磁悬浮小球控制系统选择的是如下三个状态变量，即 （3.5）其中，为该小球运动的位移，即为小球运动速度，而则表示为线圈中电流数值大小，用来决定电磁力的大小。将上式（3.2）、（3.4）、（3.5）三者相结合，即可建立如下的状态空间方程： （3.6）上式中，即为式（3.4）中的输入电压。3.3.2 基于平衡点处的线性化经上一小节中的式（3.5）、（3.6）分析可知，线圈中电流和小球的位置（即状态变量中的和）呈现一种非线性关系，不便于控制，因而需要将其微分方程线性化。从实际情况来看，在磁悬浮球控制系统中，小球的运动范围是有一定限制的（呈上下趋势运动），因而可以近似的认为该磁悬浮控制系统系统只在平衡点附近做往复运动。设当小球位于平衡位置（即该系统处于平衡点）时，（其中，）。此时，如果在该控制系统的平衡点处，将式（3.6）中的此微分方程按照数学演算方法中的一阶泰勒级数的形式展开，则可以得到 （3.7）将上式进一步整理可得 （3.8）将其转化成矩阵形式的状态空间方程为 （3.9）即为磁悬浮球系统的动态模型；其中 此时，式（3.6）中的状态方程亦可以写成如下形式： （3.10）将上式（3.10）进一步简化得： （3.11）其中， 上式（3.11）即为该磁悬浮球控制系统的最终的状态方程，即是由动力学微分方程来表示的。截至目前为止，针对磁悬浮球控制系统的基础知识已基本介绍完，同时对磁悬浮球控制系统有了一个更深入的认识，方便后面章节中对滑模变结构控制器的设计。3.4 本章小结本章主要介绍了磁悬浮球系统的基本结构以及工作原理，同时利用其工作原理及结构图力的分析推导出了该控制系统的数学模型，并利用泰勒级数展开式演算出相应的状态方程，对之后滑模变结构控制器的设计做了一个很好地铺垫。4 滑模变结构控制设计经过第二章节的学习，已经可以清楚的知道，滑模变结构控制（SMC）是一种特殊的非线性控制，在系统函数曲线中呈现出一种不连续的状态。这种控制策略最大的特点之一就是：该控制存在一种特殊的模式，即滑动模态。该模态自适应性极强，可以很好地克服系统自身所需参数的不断变动和外界强加在系统上的各种扰动。这一特点无疑很好的克服了系统的不确定性，对于控制非线性系统具有良好的效果。而且，其滑动模态是可以进行设计的，并且其与系统自身的参数变化和外界的扰动都没有关联。接下来，将在上一章节的基础上，利用已然推导出的磁悬浮球系统的微分方程加以演算，并从中应用Backstepping反演设计法进而推算出所需滑模控制器的控制规律u，之后自然也将引入指数趋近律来避免设计滑模控制器时出现的抖动问题。4.1 滑模变结构控制器的设计经考察研究发现可知，Backstepping反演设计方法是直接针对不确定性系统的一种系统化的特殊控制方法，同时很巧妙地将Lyapunov函数的选取与控制器的设计相结合起来。其基本设计步骤如下：即可以从被控系统的最低阶次的微分方程开始，逐一定义误差变量或滑模面，进而引入虚拟控制的概念，一步一步地设计出满足系统所需要求的虚拟控制器，最后再将各个阶次的控制组合起来，从而设计出最终的、真正的控制律。经过上一章的学习，已然得到了磁悬浮球系统的状态方程如式（3.10）所示，接下来便可以直接利用Backstepping反演设计法推算滑模控制器的控制规律u。首先定义第一个误差变量如下： 则依据式（3.11）可得其误差导数为： 选取第一个李雅普诺夫函数为： 则其导数为若要使得，则需要选取第一个虚拟控制：，其中为正的设计参数。进而，我们令第二个误差变量定义为：，此时，第一个误差变量的导数则可以转换成： 相对应的，第一个李雅普诺夫函数的导数则可以表示为，而第二个误差变量的导数即为以此类推，进而选取第二个虚拟控制，从而得到相应的第二个李雅普诺夫函数：令，其中为正的设计参数则第二个李雅普诺夫函数为相应导数为由以上各式综合分析，可得第三个误差变量被定义为：则其对应导数可以表示为：同时，设计第三个李雅普诺夫函数为相应导数为由此为止，则可以很容易的推导出滑模控制器的控制规律如下：为方便之后Simulink仿真电路图的绘画，需要进一步对以上各式进行分析整理，统一化简，其中为一定值，则其导数必为0。第一组，第一个误差变量及其导数：第二组，第二个误差变量及其导数：第三组，第三个误差变量及其导数：第四组，第一个虚拟控制及其导数：第五组，第二个虚拟控制及其导数：第六组，滑模变结构控制器u：4.2 滑模控制器的抖动削弱通过第二章对滑模变结构控制系统的详细介绍可知，如何去削弱滑模控制的抖动问题是不可忽视的重要环节。指数趋近律与其他趋近律相比较而言，是一种趋近效果比较好的一种趋近律。在系统中使用该趋近律，可以使得系统的空间状态点在无限趋近滑模面的过程中，有一种很快的趋近速度，而在即将到达滑模面时，使得趋近速度骤然变小，进而可以达到削弱抖动的最佳效果。而边界法会使得系统曲线变得更加平滑。所以，为得到更好的控制，提高系统的控制性能，本论文中采用的是利用指数趋近律与边界法相结合的办法来尽可能的消除系统的抖动问题。 图4-1（1）正负号函数的曲线图已知指数趋近律可以表示为：其中，和都具有正的元素，和符号一起定义如下一个正负号函数：其函数图像则可以表示如图4-1（1）仔细分析图4-1（1）可知，上式中的正负号函数会导致不连续的控制信号，并产生应该避免的颤动。因此，需要改变函数的不连续性，消除抖动，使控制更精密。这个抖动可以通过在薄边界层平滑控制其不连续性，利用大于零的数及相邻的滑动面来消除，如图4-1（2）所示。即符号函数（正负号函数）可由饱和函数代替，饱和度，具体如下：图4-1（2） 饱和函数的曲线图 其中0通过式（4-20）申请的SAT 函数（即饱和函数），边界层内的闭环动态表现为式（4-21）的PD控制系统，其中是该系统的比例增益, 是该系统的微分增益，而在式（4-22）所表示的PID控制系统中，是系统比例增益， 是系统积分增益，并且是微分增益。然后，我们的SMC（滑模控制）的性能通过与这些PD和PID控制器比较实验来验证符号的净效益和SAT 条款。在式（3-18）中，我们设计的是单自由度磁悬浮球控制系统的控制输入。为确保通过控制输入式（3-18）中的稳定性，让我们考虑对于单自由度的Lyapunov(李雅普诺夫)函数如下： (4-23)通过考虑采取的第一个衍生式（4-23）以及式（4-16）和式（4-18）中的单自由度，我们有 (4-24)其中和是对角矩阵K和Q的组成部分，而矢量是干扰向量。假设存在一个正的常数,其中 (4-25)我们有 (4-26)选择 0和，则一定是负的，因此可以保证控制输入端的稳定性式（3-18）中单自由度，以及保证系统全局稳定。如果式（4-24）的功能是通过式（4-20）的饱和函数所取代，则超越了边界层的稳定性也有了保证。因此，一旦进入边界层，在控制规律式（4-18）作用下，可确保其轨迹保持在边界层内。即确保系统的稳定。4.3 滑模控制器的稳定性分析由以上第4.1小章节控制器的设计可知，本文构造的李雅普诺夫函数为：其导数为:上式恒成立，满足李雅普诺夫稳定性定律的含义，即说明此控制器可以使被控系统保持稳定。4.4 仿真研究经以上分析研究可得磁悬浮球系统的空间状态变量和滑模控制器的控制规律如下所示：其中 带入第三章表3-1中电气相关参数数值即可得状态方程相关系数。利用状态微分方程，在Matlab中的Simulink仿真软件里绘制简易仿真电路图，经示波器观察，可以清晰得到磁悬浮球系统的小球路线曲线图若干。图4-2 滑模面s变化曲线图4-3 小球位移x变化曲图4-4 小球速度v变化曲线图4-5 电流值i变化曲线图4-6 第一个误差变量变化曲线图4-7 第二个误差变量变化曲线图4-8 第三个误差变量变化曲线其中包括滑模面s、三个误差变量、小球位移变化曲线、小球速度变化曲线以及电流变化曲线六个函数图像。由以上仿真图可以看出，当滑模面为0时，控制器能很好地控制小球使其稳定在平衡位置处，此时小球运动为0，同时电流亦有一个稳定值，相应的误差变量均为0值。很好地证明了控制器设计很成功，该控制器可行，且能够很好地控制系统，使得磁悬浮球系统在平衡点达稳定状态。4.5 本章小结本章节中，主要介绍了滑模变结构控制器的一般设计步骤，同时利用引入指数趋近律和饱和函数边界法相结合的方法来削弱控制系统的抖动现