几何画板在数学教学中的作用及优化原则---毕业论文

韩 山 师 范 学 院学 生 毕 业 论 文（ 2016届）题目（中文）几何画板在数学教学中的作用及优化原则 （英文）The role of The Geometers Sketchpad and principle of optimization in mathematics teaching 系别： 数学与统计学院 专业： 数学与应用数学 班级： 姓名： 学号: 指导教师： 韩山师范学院教务处制摘要：几何画板是以其“动态性”为最大特色的直观几何软件，以点、线、圆为基本元素的变换、作图等简单操作，能轻松实现数学上的数形结合，是教师教学的好工具。虽然现在的信息技术比较发达，但有些数学教师并不能很好的利用信息技术辅助教学，很难让学生直观了解数学本质上的东西，如函数图像的变化过程，立体几何图形认识等。针对以上问题，本文主要从几何画板这一信息技术软件来阐述了几何画板在数学教学中的作用，主要从学生角度、教师角度、课程标准角度来论述其作用。同时，本文还探讨了几何画板在数学教学中应用的优化原则：适用性原则、目的性原则、循序渐进原则、辅助性原则。最后，通过一个具体案例说明几何画板在数学教学中的可行性和必要性。关键词：几何画板；数学教学；直观Abstract：The Geometers Sketchpad is the geometric software with its biggest characteristic of dynamic, it based on the basic elements including point, line and round to perform various simple operations,which can easily implement the union of math and shape and its a good teaching tool for teacher. Although information technology is more developed now, but some of math teacher cant make good use of information technology to auxiliary teaching, which is difficult to make students understand mathematics essence intuitively, such as the change of the process of function image, three-dimensional geometry knowledge, etc.To solve above problems, the article mainly discusses from the information technology software of the Geometers Sketchpad to elaborated the function of the Geometers Sketchpad in mathematics teaching. It discusses its effect of different perspective of students, teachers, curriculum standards . At the same time, this article also discusses the Geometers Sketchpad of the application of optimization principles in mathematics teaching: applicable principle, objective principle, gradual principle, auxiliary principle. Finally, through a specific case to illustrate the feasibility and necessity of the Geometers Sketchpad in mathematics teaching.Keywords: Geometers Sketchpad; mathematical teaching; intuitive目录1. 几何画板在数学教学中的作用 （ ）1.1学生角度 （ ）1.2教师角度 （ ）1.3课程标准角度 （ ）2.几何画板在数学教学中的优化原则 （ ）2.1适用性原则 （ ）2.2目的性原则 （ ）2.3循序渐进原则 （ ）2.4辅助性原则 （ ）3.几何画板在数学教学中的案例 （ ）4.小结 （ ）附录 （ ）参考文献 （ ）致谢 （ ）几何画板在数学教学中的作用及优化原则1. 几何画板在数学教学中的作用1.1学生角度1.1.1培养学生的观察能力通过几何画板辅助数学教学，使抽象的数学形象化、直观化，几何画板能制作出由教师控制视角的各种立体几何图形，学生能从直观观察这些几何体上的线段与截面，培养学生的观察能力，发展空间想象能力，从而提高学生的创新意识。如在讲解下题时，传统的数学教学难以将本题解释得透彻，学生百闻不如一见:【例1.1.1_1】如图1，该几何体可以说明为什么有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱；如图2，该几何体可以说明为什么有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体不一定是棱台。图2.图1.当然，虽然利用其他的计算机软件也可以实现以上例子的效果，但有些立体几何体的解释不仅仅需要简单的呈现出其形状，还需要它的形成过程。利用几何画板，便可很轻松地完成，让学生对立体几何图形的外观及性质更加清晰明了。如：【例1.1.1_2】如图3和图4，图3中的几何体用一个截面所截后形成图4的2个几何体，其中，图4中左边的几何体可以说明为什么有两个面平行，其余4个面都是等腰梯形的几何体不一定是棱台。图4.图3.教师只需按下按钮显示截面，学生便可看到该立体几何图形中间的截面（如图3），再按分开，便可看到该立体几何图形被截成了2部分。这样既直观，又操作简便，学生也方便理解，有利用学生的空间想象能力、观察力的培养。1.1.2让学生更好理解函数及其图像 传统的数学教学，只能用粉笔和黑板画出平面直角坐标系，通过确定几个特殊的点，再将这些点顺次地连接起来，教师再主动告诉学生某一函数的图像。而利用几何画板辅助数学，不但可以在同一直角坐标系中快速地作出不同函数的图像，还可以比较这些函数之间的联系，帮助学生更好的理解函数及其图像，更好的掌握函数的性质及特点。如：【例1.1.2_1】 在几何画板中在同一直角坐标系中，表示出二次函数的不同形式,以及当参数a,h,k变化时函数的变化情况等。解 :（1）建立坐标系（方形网格）（2）选择【绘图】-【绘制新函数】命令，弹出“新建函数”对话框，在其中输入（即）；同样的方法绘制函数，。（3）点击已生成的函数图像，选择【显示】-【显示标签】，标注各个函数。（4）作y轴的两点a,k,作x轴上的点h（5）选中点a,k,然后选择【度量】-【纵坐标】命令，得到各点的纵坐标；选中点h，然后选择【度量】-【横坐标】命令，得到点h的横坐标（6）选择【绘图】-【绘制新函数】命令，弹出“新建函数”对话框，在其中输入“”（即）然后按“确定”按钮关闭对话框，即可得到函数的图像（7）拖动点a,h,k可在屏幕上看到抛物线方程及函数图像的变化情况（如图6）图6学生通过观察比较同一平面直角坐标系中不同的二次函数图像，再加上教师的适当解说，能更清楚地理解二次函数图像的特点，学生在a,h,k的变化过程中加深对二次函数的理解，更好地掌握二次下左右平移的知识难点。这样的数学教学变得生动有趣，不仅增加了课堂的教学容量，还能够开阔学生的思路，提高学生的数学素养。【例1.1.2_2】求方程的解的个数。（作图思路同上例）学生在求解该方程解的个数时，一般思路是正确的，但容易出现画图的错误（如图7），从而得出有2个交点，故方程有2个解的错误结论。而通过几何画板可轻松地作出正确地图像（如图8），学生可以非常清楚地看到还有一个交点（4，16）所以方程有3个解。基于此，教师作为学习的引导者，适时地让学生反思反思错解的原因是画图失真，而且又没有考虑到指数函数的指数爆炸增长的特点，因而漏解。图8图71.1.3让学生经历数学概念产生的过程传统的数学教学中，教师多用讲授法给学生灌输定义、公式、定理等，只注重知识的运用，而忽略知识产生的过程。新课程标准改革中就提到，要让学生经历知识产生的过程，而数学是比较抽象的一门学科，很多知识无法只是通过“黑板+粉笔”就能给学生精彩地呈现出来，利用几何画板，把数学中很多抽象的概念借助几何画板的作图功能和动态演示功能讲能更清晰明了，利于突破教学难点，让学生知其所然，知其所以然。如：【例1.1.3_1】直线的倾斜角与直线斜率的关系中，值变化时值的变化情况。如图9，只需用鼠标按住点G，控制直线GB绕点B旋转改变倾斜角的大小，在同一平面直角坐标系中同时显示值随着值变化而变化的值，形成变化的轨迹。几何画板把函数的图像直观地呈现在学生面前，学生的认识从感性认识到理性认识，思路更加清晰。学生变为学习知识的主动者，而教师为引导者，师生一起观察，可得出关系式中值变化时值的变化情况，从而让学生经历了该知识点的产生过程，更好地理解直线的斜率与倾斜角的内在联系，真正的把握了数学的本质。图91.2教师角度1.2.1创设直观的教学情境，激发学生学习兴趣传统的数学教学，教学只是凭借黑板、粉笔、部分实体教具，而数学的概念比较抽象，单凭教师口头讲解难以理解。几何画板是一个形象化、直观化的教学工具教师利用它创设直观的教学情境，激发学生的学习兴趣，使课堂中学生富有主动性和参与性，从而提高教学质量。如，在讲解直线的斜率的应用时，可以创设以下直观的教学情境，激发学生的学习兴趣：【例1.2.1_1】如图10，面积为1313=169的正方形裁剪成图中标出的四块几何图形，然后重新拼接成一个长方形，计算可知长方形的面积为821168，比正方形少了一个单位面积，你知道这是为什么吗？这样的例子直观，又能激发学生的求知欲，学生可能从感性的认识思考:从动画演示的分割观察，视乎面积是不变的，但实际计算后怎么就少了一个单位面积？从而造成了学生的认知冲突，让学生迫切地想要知道问题所在。此时教师可诱发学生思考：在拼图的过程中，我们是否拼得天衣无缝？是否毫无重叠？图10这样的情境直观又充满趣味性，能起到事半功倍的效果，此时学生可能会想到应该有部分图形重合了所以面积才减少了，接着教师适时诱导，自然便水到渠成。学生很可能意识到用直线的斜率的知识来解释该问题，从而达到教学目的。利用几何画板，能轻松实现师生间的互动与合作学习，对学生的主体性发挥、创造力的培养有着重要的意义。1.2.2优化课堂教学，让数学“动”起来传统的数学教学中，为了解决数形结合的问题，教师多以手绘图教学，但手工绘图有不精确、速度慢的弊端，应用几何画板，不但能快速、准确地绘图，还可以让其“动”起来，它特大的特色 “动态性”，即可以用鼠标手动图形上的任一元素（点、线、圆），而事先给定的所有代数或几何关系都保持不变，这样更有利于在数据和图形的变化中把握不变，深入数学的精髓，突破传统教学的难点，让教学不再枯燥无味，不再呆板。如：【例1.2.2_1】研究参数a,h,k对抛物线的影响。解 :（1）建立坐标系（方形网格）（2）作y轴的两点a,k,作x轴上的点h（3）选中点a,k,然后选择【度量】-【纵坐标】命令，得到各点的纵坐标；选中点h，然后选择【度量】-【横坐标】命令，得到点h的横坐标（4）选择【绘图】-【绘制新函数】命令，弹出“新建函数”对话框，在其中输入“”（即）然后按“确定”按钮关闭对话框，即可得到函数的图像（如图11）（5）拖动点a,h,k可在屏幕上看到抛物线方程及函数图像的变化情况（如图12）图1.1.2_2图12图11通过几何画板，只需用鼠标上下移动点a,k，左右移动点h，便可得到，等，函数图像便可一目了然，学生也可在a,h,k“动”态过程中加深对二次函数的理解。利用几何画板反复动态演示，学生便可更好地理解二次函数图像上下左右平移变换的知识难点，从而突破教学难点，大大课堂效率。不仅如此，几何画板除了在代数数学中“动”起来，还能在平面解析几何（如上例1.1.3_1）、立体几何中“动”起来（如上例1.1.1_2）1.2.3增加教学容量，提高教学质量数学教学，除了讲授新课，练习课也是比较重要的，而练习的讲解直接影响学生对知识的运用情况。一个教师习题讲得通俗易懂，直击重点对学生来说犹为重要。但数学的很多练习用传统的教学难以达到最佳效果，如一节需要作图的练习课中，有些习题对图像的精准度要求比较高的，对于传统的教学用“粉笔+直尺”并不能很精准而快速地把相关图像呈现在学生面前，其教学效率并不高。而当今，用几何画板辅助数学教学，恰恰能弥补该弊端，如：【例1.2.3_1】线性规划习题课（如图13）图13以上是线性规划习题课的几何画板课件的首页，学生可以清晰地了解本节习题课的安排和内容。同时，教师在强调教学重点的时候各有相关的已讲过的例子可链接，帮忙学生复习回忆上节课所学知识要点，而在本提纲的右下角，有分层次的练习。本教学结构一目了然，让学生明白本节课做什么，怎么做。如下图为部分复习题（图14_1）、例题（图14_2）和巩固练习（图14_3）的展开的详细内容：图14_1图14_2图14_31.3课程标准角度新课改指出，数学教学活动应激发学生的学习兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考；学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。而利用几何画板辅助数学教学，能创设直观的教学环境，激发学生的学习兴趣，同时，几何画板的动画功能让数学课堂“动”起来，师生能在“动”的过程中共同学习，学生经历知识产生的过程，从传统的被动学习转换为主动学习的过程。信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及教学方式产生了很大的影响。新课改还强调，数学课程设计与实施根据实际情况合理地运用现代信息技术，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的有力工具，有效地改进教与学的方式，使学生乐意并有可能投入到现实的、探索性的数学活动中去。利用几何画板辅助数学教学，教师根据学生的认知发展水平和已有的经验为基础，可以在课堂教学中呈现出难以呈现的课程内容，如：函数图像的探索，轨迹图像的探索，空间想象能力的培养以及大数据量运算、机械的运作原理演示。【例1.3】二分求函数的零点。图15_1图15_2用二分法求函数的零点，首先要确定包含了解的初始区间a,b，然后求敬意的中点m，计算f(a),f(m),f(b)。若f(a)与f(m)同号，则取新区间为m,b，否则取新区间a,m。如此循环直至满足精确度的要求，求解过程繁琐，数值计算较为复杂，对获得给定精确度的近似解增加了困难，要解决这一困难，需要恰当地使用信息技术工具，而用几何画板设计的课件中，则可轻松实现大量数据的运算过程，教师可以首先用“求f(x)=x-5的零点”这一最简单的例子演示（如图15_1）二分法的具体操作步骤，并将解题过程用表格的形式清楚地罗列出来；然后教师只需修改函数f(x)的解析式（如图15_2），也可以修改区间的左右端点，所有数据即可以自动更改，大大减少了教师的工作量，也方便学生自我检查。2. 几何画板在数学教学中的优化原则2.1适用性原则一般而言，学生思维发展中：初一年级：形象抽象思维；初二、初三年级：经验型的抽象思维；高一、二：由经验型抽象逻辑思维向理论型抽象逻辑思维转化。因此，在数学教学中，中学低年级我们多用几何画板的动画、图表等创设直观的教学环境帮忙学生思维的过渡发展。当然，我们也拒绝过于直观的停留在视觉表面，否则学生可能产生过分的视觉依赖，而影响了学生思维发展的良好前景。所以，用几何画板在数学教学中应遵循适用性原则，不过分的使用其直观效果用忽略了学生逻辑思维的发展。其次，虽然几何画板的功能十分强大，但教师也要根据学生的已有的认知水平和经验设计适合的课件，既要考虑教学的目标，又要兼顾学生的主观感受。充分考虑本阶段学生数学学习的特点，符合学生的认知规律和心理特征，有利于激发学生的学习兴趣，引发数学思考；充分考虑数学本身的特点，体现数学的实质，设计出适用本阶段及班里学生水平的几何画板课件。2.2目的性原则用几何画板辅助数学教学，教师首先要把握好教学的三维目标，再根据教学目标设计课件或者寻找课件。教师不必所有的课件都自己动手，网络上有很多可利用的教学资源，但在寻找几何画板课件时一定要有目的性和针对性，要符合教学目标。在利用几何画板作教学的切入点时要严格把握好“度”教师用几何画板辅助教学主要是为了加深学生对教学内容的理解，激发学生的学习兴趣，提高教师租用有效教学方法的能力。为此，教师在利用几何画板辅助教学时，提倡以研讨数学教学过程上的问题为主线，不失教学的目的性。同时，老师也要引导学生积极有效地将几何画板用于数学学习活动中，加深对相关数学内容的理解。如：【例2.2】用几何画板进行尺规作图：构造角平分线。解：步骤如下：（1）利用线段工具构造一个角，顶点为O。利用圆工具以O点为圆心，任意长为半径画圆。（2）圆O与角的两条边产交点分别为A、B。选中点A、B，选择“构造”“以圆心和圆周上的点绘圆”构造出圆A，同样的方法构造圆B。两圆的交点为P。（如图16_1）（3）选中点O、点P，选择“构造”“线段”，线段OP就是角的平分线。选中多余的圆与点，按下“Ctrl+H”，尺规作图完成。（如图16_2）图16_1图16_2绘制过程虽然简单，但整个过程却是严谨而又科学的，并且能使学生清楚地看到作图效果和作图过程，以此培养了学生严谨而又科学的作图思维，掌握了尺规作图基本方法，从而达到教学目的。2.3循序渐进原则数学是一门比较抽象的学科，而抽象性便是数学概念的特点。所以，对于抽象的知识的讲解应该遵守循序渐进原则。利用几何画板辅助教学，让学生通过“探究观察归纳抽象”实现数学民现和帮助数学思考，并可以增加课堂容量。如：【例2.3】用等积变换证明勾股定理。在新课中，教师一开始可以用三角形的三边满足什么大小关系过渡到问“直角三角形中的三边又有什么特殊关系呢？”，从而引入新课：让学生观察几何画板中的动画（如图17_1），动画中大的正方形通过分割变换成2个小的正方形的过程（如图17_2）图17_2图17_1学生通过观察，小组合作，教师的适当引导，让学生自己归纳总结他们发现了什么？直角三角形还满足什么样的边的大小关系？从而学生变换为主动学习，学生的学习方式与传统的“灌输式”教学完全不同，在这里学生是学习的主人，教师利用几何画板辅助教学，循序渐近，让学生自己探究、观察，发现新知，教师适当的引导学生总结归纳，抽象出数学规律，让学生学有所获。而获得的过程也不突然，教师边讲解边操作动画，控制起点和终点，加深学生对勾股定理的理解，为学生用勾股定理解决实际问题打下基础。2.4辅助性原则虽然几何画板的功能很强大，能通过几个基本的元素构造出无数的课堂中需要的效果，但教师在利用其辅助教学时，也要遵循辅助性原则。教师是学习活动的组织者、领导者，教师在课堂上过多的使用几何画板，让学生停留在直观层面上的时间太长，会影响学生抽象和逻辑思维的发展，偏离教学目标。新课改指出，教师要合理地运用现代信息技术，有条件的地区，要尽可能合理、有效地使用计算机和有关软件，提高教学效益。教师在利用几何画板“引导”学生时，要注意几何画板只是教师引导的工具，而引导时教师的问题也要恰当、准确、清晰、富有启发性，不过多的提问或介绍有关几何画板的而与数学原理无关的问题。如：教师第一次利用几何画板辅助数学教学时，教师只需简单说明几何画板这个软件是我们很好的数学学习工具，它可以利用其简单的基本元素构造出很多效果，在接下来的学习中，我们会慢慢的学习用这个软件来提高我们解决一些数学问题的效率。简单介绍几何画板便好，它只是教师教学的辅助工具，无需继续说明几何画板这个软件的发展历史、包括什么基本元素并可以实现什么样的效果。否则，一节数学课便成了信息技术课了。此外，教师在教学中，也不是每一节课都要用几何画板辅助教学，要把它用在最需要的地方，显现出信息技术的运用带来的精彩教学，而不是为使用几何画板而教学，应该是为数学而用几何画板教学，应遵循辅助性原则，才能真正的提高课堂教学质量，优化教学。3. 几何画板在数学教学中的案例缺乏信息技术的数学课堂中往往中能“截取”动态的函数图像的几个特殊画面，函数图像的变化过程只能用语言进行描述。教师讲得口干舌燥，学生听得一头雾水。而利用几何画板辅助数学教学，能实现动态与静态间的适时的切换，利用其直观性，有些数学问题学生一看就明白了。如下案例：用定义绘制椭圆，实现椭圆的动态形成过程，制作步骤如下：（1）打开几何画板V5.0，选择绘图-网格样式-方格，制作平面直角作标系。（2）选择点工具画点A，再选择箭头工具，点击纵轴，选择变换-标记镜面；再选择点A和纵轴，选择变换-反射构造对称点A。（3）重新选择点工具画点B，再选择箭头工具单击平面直角作标系中空白处，再依次选择点A、B，选择构造-以圆心和圆周上的点绘圆，如图18_1。（4）选择点工具在圆A上画点C，再点击点A，选择构造-线段；同样的方法构造线段CA。（5）选择线段CA，选择构造-中点，出现交点D，再次选择线段CA，再选择构造-垂线，效果如图18_2。（6）选择线段CA和线段CA，选择构造-交点，出现交点E，右击点E，选择跟踪交点。（7）选择点C、A，选择构造-轨迹，效果如图18_3。（8）选择点C，单击编辑-操作类按钮-动画，生成动画，设计屏幕上显示按钮“动画点”，单击它时便可看到动画效果。同样的方法，选择椭圆轨迹，单击编辑-操作类按钮-显示/隐藏，设计屏幕上出现按钮“隐藏轨迹”。（9）选择点E、A，单击构造-线段，构造出线段EA，用同样的方法构造出线段EA，效果如图18_4。（10）单击圆、垂线、线段CA、CE，点C、D、B，选择显示-隐藏对象（或按快捷键Ctrl+H），效果如图18_5，点击按钮“动画点”，即可看到椭圆的动态形成过程，如图18_6。图18_1图18_2图18_6图18_3图18_4图18_5没有几何画板之前，教学在教学中讲授椭圆时，总是先给出椭圆的定义，再直接给出椭圆的形状，而忽略了椭圆的形成过程。本案例中，让学生直观的感觉椭圆的形成过程，帮助学生更好的理解椭圆的定义：动点E与两个定点A、A（AA2c）的距离之和为常数2a（2a2c）的点的轨迹是椭圆。这样的辅助教学工具是教师的好帮手，具有一定的可行性和必要性，这不但能提高学生对学习的兴趣，还得起到事半功倍的