输油管布置的优化模型(全国奖).doc

输油管布置的优化模型 摘要：本文主要通过建立成本与管线长度的函数关系，利用多元微分求最值的方法求解，采用选址的模型对其位置进行最优选择，解决铺设管线成本费用最低的问题，最终设计出一个合理的路线。在模型分析时，作者总体思路：针对两油厂与火车站的具体情形，从两油厂共用管线和不共用管线的角度进行讨论，通过建立直角坐标系，得出成本、管线长度、附加费的函数关系。在建立模型时，作者首先考虑共用管线的情况，其中只需要考虑共管线处的连接点，并利用数学方法找出其点。其次，考虑非共管线的情况，这样就可以将问题简单化。最后，根据对模型和数据的分析以及一些现实中存在的一些实际问题进行联系，对如何建立两家炼油厂和一个车站提出了一些有较好的建议。 关键词：共管 非共管 最短路径 附加费 投资量一、问题重述某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂和建一个车站。针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的不同情形，在方案设计中，若有共用管线，我们应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置如图所示，其中厂位于郊区（图中的区域），厂位于城区（图中的区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为，。若管线的铺设费用均为每千米7.2万元，铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，需进行估计，聘请三家公司，结果如下表所示：工程咨询公司公司一公司二公司三 附加费用（万元/千米）212420为进一步节省费用，根据炼油厂的生产能力，这时的管线铺设费用将分别降为输送厂成品油的每千米万元，输送厂成品油的每千米万元，共用管线费用为每千米万元，拆迁等附加费用不变。找出最佳布置方案及相应的费用。二、问题分析本题要解决的主要问题就是怎样才能是投资商投资尽量的少，也要圆满的完成任务。然而决定这一问题的关键点有两个，一是确定它们各自的位置，尽可能使它们之间的距离最优，二是最大化的使其费用最优，确定它们的位置。对于它们选址的确定，需考虑共管线与非共管线的两种路径，通过城区，出郊区时的交点及两家炼油厂共管线处交点的位置的情况。第一问只需考虑共线与不共线时所需管线最短的情况，非共管线时，要使所需管线最短，可通过建立直角坐标系，设车站的位置为，也就是两家炼油厂直接到达车站处的位置。根据两点间距离公式建立方程，便很容易求得最优车站的位置；共管线时，只需多考虑两家炼油厂之间管线交接处坐标。第二问中，如题中图中可知，厂位于郊区，厂位于城区，可以以点为原点，铁路线为轴，CA为轴建立直角坐标系，所以可知道，c为15千米（也就是说属于郊区），l为20千米（也就是说郊区之后15千米处属于城郊分隔线），；因为管线的铺设费用均为每千米万元，并且铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，我们需通过对公司资质的查阅及通过加权平均法等，求出我们所需要的附加费用的平均费用。再通过建立方程组带入相应数据可得出最优方案。第三问相对于第二题就较简单，只是需要对其输送费用不同进行求解，这样就可以直接建立方程带入数据，从而算出管线最佳布置方案以及相应的费用，以致得到最优方案。三、模型假设1.管线的连接处损失可忽略不计。2.地形平坦呈理想状态。3.铺设费用包括材料费和人工费等。4.问题二中，共管线与非共管线铺设费用均相等。5.问题二中，点为直角坐标系的原点，火车路线为轴，郊区为轴。四、符号说明：代表其中一家炼油厂，坐标设为；：代表另一家炼油厂，其坐标设为；：代表火车站，设其坐标为；：代表两炼油厂管线交汇点，设其坐标为：城郊区分界线上的一个点，设其坐标为；：代表铺设管线的总费用；：不共用管线单位（千米）费用；：共用管线单位（千米）费用；：表示附加费用；：表示在此过程中所需管线的长度。五模型的建立与求解5.1建立两家油厂与一个车站的数学模型因为要建立两家炼油厂和一个车站，然而两家炼油厂到铁路的距离和两家炼油厂间的距离有不同的情形，因而要考虑共管与非共管的两种情形建立模型。以火车路线为轴，以垂直于火车路线为轴，建立直角坐标系，设厂坐标为，厂坐标为，车站坐标为，共管线处点的坐标为，假设总费用为万元，不共用管线费用为每千米万元，共用管线费用为万元。5.1.1 不共用管线的情形： 如不共用线管图一所示，总路线为，即目标函数为： 式定义域为，这里目标函数在区间上连续且可导。其导数为：令，可得目标函数在区间上唯一驻点：因为目标函数在区间上可导，驻点唯一，从实际意义上看目标函数的最小值确实在区间上，所以唯一的驻点就是目标函数的最小值点。由不共用管线费用为每千米万元，则最小总费用为： 把代入式中得： 所以，把式带入可得不共用管线所需最小总费用为：5.1.2 共用管线的情形： 如共用管线图二所示，总路线为即总管线：如图有：，即： 对目标函数求偏导得： 令、两式分别为0，得： 所以共用管线的总费用为：即: 将的值代入式中，可得出共用管线最小费用为： 5.2 根据具体两家炼油厂到车站路径的最佳模型由题知，两炼油厂位置已确定，如图三所示，以铁路线为轴，以炼油厂到铁路线的垂直路线为轴,建立直角坐标系。其中厂位于郊区（图中的区域），厂位于城区（图中的区域），两个区域的分界线图中的虚线表示。图三中各字母表示的距离（单位：千米）分别为：设城郊分界线上存在一点，车站坐标为，其共管线与非共管线的费用均为每千米7.2万元，且在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用。因此，需对工程附加费进行估算，经查阅得出如下表：甲资质 乙资质 比例工程师资格所占比例技术骨干年限技术骨干人数软件应用率总比例表一：甲、乙资质相关比例由表一可知：公司一，公司二及公司三的估算可靠度之比为：公司一估算可靠度所占百分比为：公司二估算可靠度所占百分比为：公司二估算可靠度所占百分比为：运用加权平均法计算有： （万元/千米）再分别计算共线与不共线的情况。5.2.1不共用管线的模型 如图三所知： 要使，对其求偏导，即：由上可得：所以 （万元）5.2.2 共用管线的模型 如图四可知：；所以 通过Matlab软件，可以分别求出：所以 （万元）通过对模型的建立及分析可知，不共用管线线路所需的总费用低于共用管线路所需要的总费用，因此选用不共用管线作为最优的模型。从模型中得出把火车站建在距点右侧千米处，把城郊区管线结合点设在距火车线千米处，其总费用万元，这样就找出了较为理想的方案。 5.3根据实际情况选最佳的模型在实际情况中，存在炼油厂的生产能力不同，从而选择管径大小不同，因而导致铺设费用的不同。针对这一情况建立如下模型：5.3.1不共用管线的模型如图五可知：利用Matlab软件使对点分别求偏导,可求出 ：所以 （万元）5.3.2共用管线的模型如图六可知：利用Matlab软件使对点分别求偏导,可求出 ：所以 （万元）通过一些现实问题对本模型进行分析，能够清楚的发现不共用管线低于共用管线的总费用，所以选择不共用管线作为最佳布置方案。也就是说把火车站建在距离点右侧千米处，把城郊区管线结合点设在距火车线千米处，总费用万元。这样就找出了最佳布置方案。 六、结果分析 由以上设计方案我们可以看出，在现实中不可能存在地形呈理想状态的平坦，这样务必会造成管线的浪费，从而提高在此过程中建设总费用。虽然考虑的是理想状态下的设计方案，但是也能完整的考虑到本题在这个模型中所考虑到的多种方案，比如，先从共用管线与不共用管线来分开讨论，其次再从城区比郊区多增加附加费用来考虑。这样就充分的体现了本题的完整度。从而多种方案中进行全面的对比，从而找出最佳的方案。通过以上分析，我们可知道该种方案能够达到比较节约资费的要求，同样比较好的完成任务。七、模型的评价与改进本文根据问题的要求利用优化的思想，逐步对其模型进行分类讨论，因而使其建立的模型最大限度的接近实际所考虑的问题。本文所建立的模型具有广泛性，而且模型和思路简单易懂。同时可以推广到优化选址的其他问题之中。遗憾的是由于我们是在理想状态下对其进行考虑