将数学史融入中学数学教学的理论与实践.doc

毕业设计(论文) 题题 目：目：将数学史融入中学数学教学将数学史融入中学数学教学 的理论与实践的理论与实践 学学 院：院： 数学与统计学院数学与统计学院 专专 业业 数学与应用数学数学与应用数学 学学 号：号： 学生姓名：学生姓名： 指导教师：指导教师： 二二一四一四 年年 三三 月月 二十三二十三 日日 目录 1.引 论 .1 1.1 本课题研究的背景.1 1.1.1 数学史融入中学数学教学研究的背景概述.1 1.1.2 将数学史融入中学数学教学的现状.2 1.2 数学史应用在中学数学教学中的主要方式.3 1.3 本课题研究的意义.4 2.将数学史融入中学数学教学的理论基础 4 2.1 数学史与中学数学符号的理论基础.4 2.2 数学史与中学数学名词的理论基础.5 2.2.1 几个典型数学名词的由来5 2.2.2 探究典型数学名词的意义7 2.3 数学史与中学数学哲学的理论基础8 2.3.1 三个主要流派8 2.3.2 什么是数学文化9 2.3.2 数学史与中学数学哲学的理论11 2.4 数学史与中学数学方法论的理论基础.11 2.5 数学史与中学数学思想方法的理论基础.12 3.将数学史融入中学数学的实践研究 .13 3.1 数学史融入中学数学教学的案例研究.13 3.1.1 负数概念.13 3.1.2 中国的周髀算经16 3.1.3 勾股定理.18 3.2 数学史融入中学数学教学的实证研究.20 3.2.1 数学史料在无理数与二次根式教学中的应用20 3.2.2 数学史料在勾股定理教学中的应用21 3.2.3 数学史料在相似三角形教学中的应用.21 3.2.4 结论.22 4.就数学史融入中学数学教学提出建议 .23 41 数学老师应进行相关数学史的资源积累.23 4.2 数学老师应熟练掌握数学史相关知识并达到融会贯通24 4.3 数学老师应就归纳总结相关数学史史料的融入方法24 5.后记 .24 致谢 .25 参考文献 .26 毕业设计（论文）课题任务书 .28 外 文 文 献 翻 译 31 文 献 综 述 .46 开题报告 .52 摘 要 早在19世纪，数学史与数学教育之间的关系已经受到欧美数学家和数学教 育家们的关注。1972年，在英国Exeter召开的第二届国际数学教育大会上，成 立了数学史与数学教学关系国际研究小组(International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics，简称HPM)， 1976年开始隶属于国际数学教育委员会自此，数学史与数学教育关系成了数 学教育的重要研究领域之一。 在新的中学数学课程标准中提出了发展数学文化的理念。在数学教学过程 中融入数学史的教学有利于数学文化的生成，并且在培养中学生的数学兴趣、 数学思维和数学情感方面也大有帮助。本文针对有关数学史与数学符号、数学 名词、数学文化、数学思想、数学哲学的理论联系，以及有关数学史融入中学 数学教学的实践来进行研究。 本文提出了将数学史融入到中学数学教学中的建议：1教师自身应加强数学史的 学习与研究；2教师应加强数学史的长期融入与渗透；3教师应加强数学史融入方 式的研究与总结；最后本文进行了数学史融入初中数学教学的层次分析，并提出了实 行的过程、形式和途径。 关键词：数学史 中学数学教育 数学史理论基础 数学史实践 第 1 页，共 32 页 1.引引 论论 1.1 本课题研究的背景 1.1.1 数学史融入中学数学教学研究的背景概述 数学史与数学教育关系的研究早在19世纪就已引起了一些西方数学家的关 注。19世纪末以后直到1972年HPM成立以前，欧美众多著名的数学家、数学史家 和数学教育家都提倡在数学教学中直接或间接地利用数学史。1972年，在第二 届国际数学教育大会上，成立了数学史与数学教育关系国际研究小 (International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics，简称HPM)，专门讨论历史与数学的关联。他们认为 数学史可以显示数学是一种人类活动的结果，而不是一开始便是如此形态的结 构，并能对数学与我们的社会、文化以及和其它各种不同学科之间的关系提供 更多的认识。HPM成立之后，专门讨论数学史在数学教育中作用的文献日益增多。 在数学教育中，仅注重逻辑形式是不够的，直观、归纳、类比，以及好奇、灵 感与信心的重要性，绝不亚于逻辑；而对概念发展历史的洞察，则能提供有关 的丰富材料，在课程的安排、概念的教导、刺激学生的兴趣等方面，都将有所 贡献。 1 1998年4月4日，“数学史与数学教育关系国际研究会”美国分部在美国全 国数学教师委员会年会(在华盛顿特区)召开之际，讨论“数学史在数学教学中 的应用”。约翰逊(Arthur Johnson)致开幕词：“为什么在数学课堂上要讲数 学史?”他论述了如何运用数学史消除那些荒诞的想法，诸如数学是静止的，一 元的，现成的，无误的，永不变化的，且仅为男孩子而设置的等等。他讲到为 什么应当学会利用数学史时列举了一些实例，如使数学变得人性化，显示数学 的演变历程，了解数学对社会以及社会对数学的作用，拉近数学家与现实人之 间的关系，揭示数学知识间的联系以及数学发展的多元文化背景等问题。 从国内来看，台湾学者在数学史与数学教育研究方面起步较早。针对数学 史对数学教学的作用，刘柏宏认为，历史有助于激发学生的学习兴趣，形成积 第 2 页，共 32 页 极的学习态度，数学在发展中遇到的障碍有助于解释今天的学生所遇到的困难， 历史问题有助于形成学生的数学思维，历史展现出数学知识的人文主义内涵， 历史为教师提供教学向导。 2 虽然大陆的部分学者较早就关注数学史与数学教育的关系，如，吴文俊先 生说数学教育与数学史是分不开的。徐利治先生认为数学哲学、数学史与数学 教育的结合是数学教育改革的一个重要方向。 3 但是，对数学史与数学教育的广泛重视和研究却是进入20世纪后，特别是 近几年的事情。 在2004年的第五届汉字文化圈及邻近地区数学史与数学教育国际学术研讨 会上，李文林先生提出，数学史有利于帮助学生加深对数学概念、方法、思想 的理解；有利于帮助学生体会活的数学创造过程，培养学生的创造性思维能力； 有利于帮助学生了解数学的应用价值和文化价值，明确学习数学的目的，增强 学习数学的动力；有利于帮助学生树立健全人格，培养良好的精神。 4 总之，数学史与数学教育的关系研究日益引起人们的重视，并成为一个重 要的研究领域。我国虽然在这一方面起步较晚，但近几年的发展势头强劲。康 世刚等在分析我国“数学史与中小学数学教育”研究的现状和发展趋势时发现， 1994年到2006年，CNK_I学术期刊收集的“数学史与中小学数学教育”的文章基 本上呈现逐年上升趋势，特别是2001年以后，研究文章急剧上升。 5 数学史与数学教育关系研究“繁荣昌盛”的背后，也曝露出一些问题，例 如，研究重点多是数学史对学生数学学习的作用，探讨数学史对教师教学和教 师发展的论文较少；研究结论大多源于经验体会，存在“想当然”之嫌，缺乏 广泛的调查分析、理论上的论证和具体实证性研究：另外，总体研究水平较低， 很多文章停留在“浅谈”、“试论”层次。因此，有必要对数学史与数学教育 的关系进行更深入探讨，数学史对数学教师的作用也应成为该研究新的增长点。 1.1.2 将数学史融入中学数学教学的将数学史融入中学数学教学的现状现状 在国内，对数学教师数学史素养的研究刚刚开始，在 CNKI 学术期刊数据库 中，输入“数学史素养”或“数学史修养” ，仅能搜索到四篇文章，而且都发在 第 3 页，共 32 页 一般的期刊，由此可见，对教师数学史素养的研究还未引起著名专家学者的关 注。在仅有的几篇文章中，对数学史素养的认识还较混乱，尚未形成统一的看 法。四篇文章的题目中，两篇用到“刍议” ，一篇用到“探讨” ，由此可见，当 前的研究还比较肤浅。虽然有些学者研究了提升数学教师数学史素养的途径或 措施，但大多局限于如何增加教师的数学史知识。在国外，从搜集到的文献来 看，主要研究数学史对数学教师的作用，或数学史在教师教学中的运用等，并 未把教师在数学史方面的状况作为教师自身的一种素养进行研究。因此，对数 学教师的数学史素养有必要进行深入研究，特别是当前数学教学中普遍存在数 学史“低运用”状况下，探讨如何提升数学教师的数学史素养应是非常值得研 究的重要课题。 1.2 数学史应用在中学数学教学中的主要方式数学史应用在中学数学教学中的主要方式 张奠宙先生提出了应用数学史的三个途径：揭示数学发展的规律，形成正 确的数学观、返璞归真，揭示数学的发展过程，并使之符合今天的课堂教学； 提供真实的历史材料，包括原始问题、原始论据、原始过程，增强真实感，体 现数学的人文精神这三点指出了数学史应用于数学教学的方向 香港大学的萧文强教授曾在数学史与数学教育：个人的经验和看法一 文中列出了应用数学史的八种具体方法和途径： (1)在教学中穿插数学家的故事和言行； (2)在讲授某个数学概念时，先介绍它的历史发展； (3)应用数学历史名题讲授数学概念，根据数学史上典型的错误帮助学生克服学 习的困难； (4)指导学生制作富有数学史趣味的壁报、专题研究、剧本、录像等： (5)应用数学史文献设计课堂教学； (6)在课堂内容里渗透历史发展的观点； (7)以数学史为指引设计整体课程； (8)讲授数学史课。 6 其中，上面的(1)、(2)、(4)、(6)的作用主要体现在激发学生学习兴趣上， (8)主要作用是能够拓展学生的知识面，对于数学教学而言(3)、(5)、(7)具有 第 4 页，共 32 页 更为广泛的现实意义，更能从知识、情感、能力等各方面促进学生的学习。 1.3 本课题研究的意义本课题研究的意义 本文研究的意义在于突破传统的数学史应用于数学教学的模式，建构一种 符合数学史和数学教学规律的模式，从而为我们的数学教育教学探索一条更为 科学合理的道路。 2.将数学史融入中学数学教学的理论基础将数学史融入中学数学教学的理论基础 苏联数学教育家斯托利亚尔认为，数学发展史给我们提供了关于数学概念、 方法、语言发展的历史道路的重要信息，它常常指示我们在学校教学中形成和 发展这些概念、方法、语言的途径。可见，数学教学应当充分利用数学史的知 识，努力还原、再现这一发现过程，向学生展现数学知识的产生和发展过程。 学生经历知识形成与发展的过程，对于充实他们的数学文化底蕴有着非常现实 的意义。 2.1 数学史与中学数学符号的理论基础数学史与中学数学符号的理论基础 探寻数学符号来源，体会科学发明过程。学习数学，每天都必须和数学符 号打交道。所以有人说，与其说是学习数学，不如说是学习符号。每一个数学 符号的产生都有一段丰富的历史。把数学符号的历史弄清楚了，数学的整个脉 络基本也清晰了。 老师需要做两方面的工作，一是在学生新学这些数学符号时，适当穿插讲 解它们的来历；二是让学生通过查阅资料，对它们寻踪探源，并试着撰写“数 学符号的故事”小短文。这两个措施，可以让学生在了解数学发展史的同时， 体会数学符号并不是枯燥无味的，而是充满智慧灵光、闪烁着生命活力。 就拿我们最常用的+、一、X、来说吧。 加号曾经有好几种，现在通用“+”号。 “+”号是由拉丁文“et”(“和”的意思)演变而来的。16 世纪，意大利 科学家塔塔里亚用意大利文“plu” (“加”的意思)的第一个字母表示加，草 第 5 页，共 32 页 写为“仙” ，最后都变成了“+”号。 “一”号是从拉丁文“FrIIRUS”(“减”的意思)演变而来的，简写成“m” ， 再省略掉字母，就成了“一”了。 也有人说，卖酒的商人用“一”表示酒桶里的酒卖了多少。以后，当把新 酒灌人大桶的时候，就在“一”上加一竖，意思是把原线条勾销，这样就成了 “+”号。 到了 15 世纪，德国数学家魏德美正式确定：“+”用作加号， “一”用作减 号。 乘号曾经用过十几种，现在通用两种。一种是“x” ，最早是英国数学家奥 屈特 1631 年提出的；一种是“” ，最早是英国数学家赫锐奥特首创的德国 数学家莱布尼茨认为“”号像拉丁字母“x”而加以反对，赞成用“”号。 他自己还提出用“II”表示相乘，可是这个符号现在应用到集合论中去了。 到了 18 世纪，美国数学家欧德莱确定，把“”作为乘号。他认为“X” 是“+”斜起来写，是另一种表示增加的符号。 “”最初作为减号，在欧洲大陆长期流行。1631 年，奥屈特用“：”表 示除或比。另外有人用“一”(除线)表示除。后来瑞士数学家拉哈在他所著的 代数学里，根据群众创造，正式将“”作为除号。 数学符号的故事，就是数学文化发展的一段缩影。数学符号威力巨大、魅 力无穷。它是数学中特殊的文字，记录和传递着丰富的数学信息；它也是无声 的音符，在人们的心灵深处激荡出美妙的乐章；它更是深奥严谨的数学理论的 源泉之一，滋润着文明之花。引领学生探寻数学符号的来源，能使他们的思维 更加敏捷、严谨和深刻。 7 2.2 数学史与中学数学名词的理论基础数学史与中学数学名词的理论基础 对于在中学教学中出现的一些数学名词，教师应该去探究其词源，某个数 学名词是怎样产生、发展的，有何含义，这些问题具有探究价值对教学也有 意义。倘若不去了解这些数学名词的由来，对于一名中学数学教师而言，这是 有欠缺的。学数学教师而言，这是有欠缺的。 第 6 页，共 32 页 2.2.1 几个典型数学名词的由来几个典型数学名词的由来 中学数学中有一些典型的数学名词，学生开始大都会感到疑惑：“为何会 叫这样的名称?”于是，他们去问老师，有些老师可能会说：“这是规定的，没 什么理由。 ”学生只能似懂非懂的带着疑同走开。例如， “幂”这个词，一个数 的 n 次乘积为什么要用幂这么个古怪的词?无理数就是毫无道理的数吗?“几何” 二字源于何处，它有何特别含义?所有这些问题，教师都应作深入了解。 (一)幂。幂的古体字是一， 说文：“从一，下垂也。 ”它的繁体字是幂， 原义是遮盖东西用的布，后来衍义为面积刘歆用幂这个词表示面积。 九章算 术方田章刘徽注：“凡广纵相乘谓之幂。 ”后来又广义为多次乘方的结果，如 元代朱世杰算学启蒙总括：“自相乘之日幂” 。我们现在定义为幂函数，源 于此。 (二)有理数和无理数。李善兰译几何原本后九卷时把有理数、无理数 分别译为有等几何、无等几何(相当于可公度量与不可公度量)。 几何原本中 就有：“两几何(量)相比，若为两数相比(可公度)则为有等几何” ；“两几何 (量)相比若非两数相比(不可公度)则为无等几何” 。拉丁文中用 ratio，rationalis 表达，ratio 除了有“比”的意义外，还有“理由”的意思。 Rationalis 由 ratio 派生出来它的意义足“可比的” ，同时又有“有理(合乎 情理)的”的含义。 由此可见，李善兰的译法是符合原意的使概念命名照顾含义，这是下了 苫功的。但后来，前者逐渐被人遗忘，只剩下“有理的” 、 “合理的”的意思。 例如，华蘅芳译代数术 ，把 rational，irrational 分别译为有理、无理， 使名词、概念二者不能合拍。却从此，有理数和无理数就直被沿用至今。 (三)几何。 “几何”二字是究竟源自何处?在汉语里， “几何”本来是多少、 若干的意思这种说法自古就有。如曹操短歌行里“尔居徒几何?”中的 “几何”就是多少的意思。 九章算术二百多个问题，几乎都用“几何”结 尾如“今有田广十五步，从十六步，问为田几何?”也是多少的意思。所以， 利玛窭、徐光启在翻译几何原本时，用“几何”来译 magrtitudo 足恰当的， magnitudo 就是“大小”的意思。但是，如果把它作为书名或一个学科的名称， 这就需要再斟酌。因为， 原本里还包含有算术、代数的知识，如一 X 卷是 第 7 页，共 32 页 数论。这就和欧洲文字 geometria(狭义指几何，广义指数学全体)相近。利玛 窦就用这个字作为书名，音译成几何。但是，在汉语里，几何二字没有这个含 义。要用作书名，必须重新定义。因此，利、徐译本在第一卷之首给出定义： “凡论几何，先从一点始，自点引之为线，线展为面，面积为体，是名三度。 ” 这句话原书是没有的，纯粹是利、徐的发明。不过，原来的含义并未废除。于 是， “几何”二字具有双重含义，一直沿用至今。 2.2.2 探究典型数学名词的意义探究典型数学名词的意义 教师讲解典型数学名词的缘由有助于学生深入理解相关概念，使学生受到 教育、获得启示。 (一)帮助理解相关概念。概念、词语、定义三者是密切联系的。学生对概 念的深入理解首先依赖于对词语和定义的理解。一般而言，不管是自创还是从 外围引入的数学概念，我们的先辈们都尽量做到概念、词语、定义三者有机统 一。例如平行四边形、向量、积分等词，词简意赅，可以顾名思义。不过， 有些词的含义经过发展变化，就很难做到“顾名思义”了。例如，许多学生在 学习“幂甬数”时会感到困惑，什么是“幂”?为何把称为“幂函数”?这些困 惑影响学生对这个概念的深入理解。事实上，直到念大学时，笔者才真正查证 并理解了“幂”这个词的含义。于是笔者经常思考一个问题：“中学数学教 学是否应关注其人文性?”答案应该是肯定的。因为，数学是人类文化的重要组 成部分，数学教学不仅应关注数学的科学价值，而且也应关注其文化价值。例 如，教师在讲幂函数概念时需要“咬文嚼字” ，向学生讲解幂的含义的发展， 这对于学生深入理解幂函数概念大有裨益。同时。教师能讲出令学生信服的道 理，也有助于提高学生学习的积极性。此外。像无理数、虚数和自然数这些翻 译的“舶来”概念，如果我们能寻根究源、追溯更原始的外语词源，学生也较 易理解相关概念，问题就会迎刃而解。 8 (二)进行思想品德教育。教师讲解数学名词的同时也可以对学生进行思想 教育：主要从两方面着手。一方面让学生了解哪些数学名词是我国学者独创 的，数学词汇中有些是从外国引入的，有些是我围周有的。对于“舶来”的数 学名词，要引导学生体会汉语的美和优越性。因为，从外围引入的新数学概念， 第 8 页，共 32 页 汉语全是意译，这种做法是让国人更容易接受和理解；而对于我国学者独创的 名词，例如幂、方程、通分、负数等等，教师应当如数家珍，津津乐道。此外， 我国的数学名词也有流到外国特别是邻国日本被日本全盘接受，这都是进 行爱国主义教育很重要的内容。另一方面讲解数学名词，可让学生体会到科 学家先辈造词的艰辛。他们翻译外来数学概念时，通常是在已有的汉语词汇中 寻章摘句，选择比较，推敲琢磨，才留给我们许多很好的数学名词，让学习者 能顺利理解相关的数学概念。例如，李善兰把“无理数”译成“无等几何” ，使 之符合原意，概念命名照顾了含义，这需要下很大苦功。 新课程改革背景下，数学教学强调培养学生的探究能力，为此，教师更应 对教学上的一些问题进行思考、探究，不要想当然。例如，反函数为何要对调 中的字母。把它改写成呢?其中的实质原因是什么?类似的问题很多。数学教师 在教学上具有探究意识，起到了榜样的作用，不仅有利于提高教学质量，对培 养学生的探究意识和探究能力也很有帮助。 9 2.3 数学史与中学数学哲学的理论基础数学史与中学数学哲学的理论基础 目前学术界关于数学文化学的研究大体上可以分为三个主要流派：基于数 学史的实证研究；基于数学史和一般文化学的思辨研究；基于数学哲学和数学 社会学的思辨研究。 2.3.1 三个主要流派三个主要流派 基于数学史的实证研究，以克莱因为主要代表莫里斯克莱因(Morris Kline，1908-1992)，美国应用数学家、数学教育家、数学史家和数学哲学 家他的古今数学思想(1972)、 数学：确定性的丧失(1980)都颇有影 响克莱因在数学文化方面的探讨集中体现在三部著作中：西方文化中的数 学(1953)， 数学；一种文化探索(1962)， 数学与知识的探求 10 (1986)他主编的文集现代世界中的数学(1968)同样体现了他的数学 11 12 文化观念克莱因的工作侧重于数学与各种文化及社会因素之间相互作用的现 象的描述，进而分析数学文化的特征，可以将其称为“实证研究”或“归纳研 第 9 页，共 32 页 究” ，其中提供了大量具体案例由于国内学者的大力引介，以及国内学者一批 内容丰富、案例精彩的同类论著的出版，使得克莱因的数学文化观点和成果在 中国影响极大，明显居于主导地位 基于数学史和一般文化学的思辨研究，以怀尔德为主要代表雷蒙怀尔 德(Raymond LWilder)曾任美国数学会主席，在数学文化方面有两部重要著作： 数学概念的演化(1968)和作为一种文化体系的数学(1981)，是迄 13 14 今为止最具理论价值的数学文化学专著他在前一本书中提出了数学发展的 11 个动力和 10 条规律，在后一本书中进一步总结出 23 条规律怀尔德注重建立 数学文化学的理论体系，关注数学发展的内在文化机制，也较为重视哲学层面 的分析。具有较为浓厚的思辨色彩他充分借助了数学史研究的已有成果。同 时又运用文化学的视角和方法审视一些重要的数学历史现象，获得了一些十分 重要的 结论令人遗憾的是，国内除了少数几部数学文化学论著介绍了前述他给出的 数学发展动力和规律之外，对他的数学文化学著作既没有翻译，也没有系统的 介绍和研究，国内学者的数学文化学研究，也极少受到他的影响。 基于数学哲学和数学社会学的思辨研究，以郑毓信为代表，代表性论著是 他与王宪昌、蔡仲合著的数学文化学(2000)，试图基于数学哲学的观点 15 和社会学模式构建数学文化学的理论体系，在国内诸多学者的数学文化学研究 中独树一帜 近年来的数学文化学研究，较为突出的是案例研究的迅速增长，国内易见 的，译作如。数学文化理念传播译丛”(复旦大学出版社)，原创如“数学文化 小丛书”(高等教育出版社)、 “数学与人文”丛书(高等教育出版社)、 “七彩数 学”(f4 学出版社)，期刊如数学文化(香港 Global Science Press)，其中 不乏颇为精彩的研究结果，但在数学文化学的理论研究方面则缺少具有足够建 树的论著。 2.3.2 什么是数学文化什么是数学文化 “虽然现在有关数学文化的论文、专著和课程已经很多，但至今并没有一 个获得学术界广泛认同的数学文化定义。本文并不奢望得出这样的定义，但通 第 10 页，共 32 页 过从三个方面考察这个问题，我们可以对数学文化有大致的了解。 什么是文化？什么是文化？文化是一个被长期争论、相当模糊的概念1952 年，美国人 类学家克罗伊波(ALKroeber)和克拉克洪(CKluckhohn)写了文化，关于 概念和定义的检讨(Cluture：A critical review ofconcepts，1952)一书， 统计从 18711951 年间，关于文化的定义有 164 种之多在分析了文化的多种 定义的基础上，他们提出了自己的文化定义：“文化由外显的和内隐的行为模 式构成；这种行为模式通过象征符号而获致和传递；文化代表了人类群体的显 著成就，包括它们在人造器物中的体现；文化的核心部分是传统的(及历史地获 得和选择的)观念，尤其是它们所带的价值；文化体系一方面可以看作是活动的 产物，另一方面则是进一步活动的决定因素 ”一种较为流行的定义见于不列 颠百科全书(1999 年中译本)：“culture 文化人类知识、信仰和行为的整 体在这一定义上，文化包括语言、思想、信仰、风俗习惯、禁忌、法规、制 度、工具、技术、艺术品、礼仪、仪式及其他有关成分文化的发展依人类学 习知识和将知识一代代传下去的能力而定。 ”概括地说，文化是人类知识、思想、 信仰和行为的整体，可进一步细分为智能文化、物质文化、规范文化、精神文 化等基本方面。 什么是数学？什么是数学？对这个问题，同样有很多不同的答案。恩格斯在反杜林论 中写道：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系，所以是非常现实 的材料。 ”很多中国数学家沿用了这一观点，例如，吴文俊在中国大百科全书 数学卷绪论中认为：“数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的，简单地 说，是研究数和形的科学。 ”丁石孙在此基础上作了明显的扩展：“我们认为， 从当今数学发展的现状与趋势来看，数学的研究对象是客观世界的和逻辑可能 的数量关系和结构关系。 ” 另一方面，西方数学界居于主流地位的观点是把数学定义为关于模式与秩 序的科学例如，美国国家研究委员会的观点：“数学是关于模式和秩序的科 学。 ”(人人关心数学教育的未来 ，1989)“数学科学是集严密性、逻辑性、 精确性和创造力与想象力于一身的一门科学。这个领域已被称作模式的科学 (science of patterns)。其目的是要揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界 中所观察到的结构和对称性。无论是由于探讨心脏中血液流动这种实际的问题， 第 11 页，共 32 页 还是由于探讨数论中各种形态抽象的问题的推动，数学科学家都力图寻找各种 模型来描述它们，把它们联系起来，并从它们作出各种推断。部分地说，数学 探讨的目的是追求简单性，力求从各种模型提炼出它们的本质。 ”(振兴美国 数学90 年代的计划 ，1990)。 2.3.2 数学史与中学数学哲学的理论数学史与中学数学哲学的理论 数学的文化价值。数学深刻地影响着我们认识物质世界的方式。数学对于 人类理性精神的养成与发展有着特别重要的意义。数学有着重要的思维训练功 能，尤其是对创造性思维发展有重要作用。数学对人类审美意识的发展有重要 贡献。 概括地说，数学文化教育有助于引导学生更好地理解数学问题、方法、概 念和理论的现实背景，认识数学的发展规律；有助于引导学生认识数学在人类 文化特别是当代社会中的地位和作用；有助于启发学生用数学的眼光去看待周 围的事物，用数学的思考方式去处理各种现实问题，包括那些看起来与数学毫 无关系的问题；有助于引导学生通过对数学理性的认识，培育理性精神；有助 于激发学生对数学的良好情感体验。 2.4 数学史与中学数学方法论的理论基础数学史与中学数学方法论的理论基础 数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律、数学的思想方法以及数学 中 的发现、发明与创新等法则的-I-J学问。1989年5月，在我国数学教育家徐利 治提出的“把数学方法论用于数学研究和数学教学改革”方针的指导下，在首 都师范大学，周舂荔和杨之倡议并主持召开了“全国首届波利亚数学教育思想 与数学方法论研讨会”江苏无锡市教育科学研究所(现教研中心)特级教师徐沥 泉，出席了这次会议，同年，他设计了一项“贯彻数学方法论的教育方式，全 面提高学生素质”的数学教育实验(简称栅课题或删实验)。椭教育方式就是： 教师在数学教学的全过程中，充分发挥数学教育的两个功能(技术教育功能、文 化教育功能)，自觉地遵循两条基本原则(既教证明，又教猜想原则和教学、学 习、研究(发现)同步协调原则)，瞄准三项基本目标(引导学生自我增进一般科 第 12 页，共 32 页 学素养，自我提高社会文化修养，自我形成和发展数学品质)，恰当地操作八个 变量(数学返璞归真教育，数学审美教育，数学发现法教育，数学家人品教育， 数学史志教育，演绎推理教育，合情推理教学和一般解题方法的教学)，从而达 到全面提高学生素质的目的。由此可见，数学史是数学方法论教育的重要保证， 也是用历史眼光研究宏观数学方法论的主渠道。 2.5 数学史与中学数学思想方法的理论基础数学史与中学数学思想方法的理论基础 目前，义务教育数学课程标准已提出进一步加强数学思想方法的渗透。高 中数学课程标准也指出教学中要强调对基本概念和基本思想的理解和掌握。数 学思想方法是数学的灵魂，亦是数学家的灵魂。翻开数学史册，我们不难发现， 一个重大成果的取得，往往与思想方法的创新有着密切的关系。一部数学史， 既是成果史，又是思想方法史，也可以说是通过不断创新的思想方法而不断导 致新成果的历史。就是说，数学思想方法与数学成果一样，对数学的发展是同 等重要的，都是数学的宝贵财富。 数学思想是对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的 认识过程中提炼上升的数学观念，它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指 导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想。在中学数学中，符号思想、 集合思想、函数思想、结构思想、极限思想、随机思想、对应思想和化归思想 等，都蕴含在数学课程内容的进行中。中学教师只有掌握基本内容及其意义， 才能做好具体工作。前提就是要懂得数学思想史，了解这些数学思想在数学发 展中的地位和作用。 从古到今，数学思想的发展沿着算法的或逻辑的道路有过数次大的转折， 从中国、埃及、巴比伦的实用数学，到希腊的“万物皆数” 、 “研究理念世界的 不变关系” ，再到笛卡尔、牛顿用数学描述自然界的思想，欧氏几何诞生，为微 积分奠基。发展到康托创立集合论，为排除罗素悖论数学家们重建数学基础的 努力，以及冯诺伊曼时代的工作导致现代应用数学的蓬勃发展，都展现着数 学从。抽象一具体抽象一具体”不问断地循环上升的轨迹。 综上所述，数学史能提供中学数学教学的知识背景、思想方法，它不仅是 数 第 13 页，共 32 页 学教师教学工作所必需的，也是帮助教师形成数学思想、科学探索信念的精神 源 泉。 3.将数学史融入中学数学的实践研究将数学史融入中学数学的实践研究 3.1 数学史融入中学数学教学的案例研究数学史融入中学数学教学的案例研究 3.1.1 负数概念负数概念 现代教学理论强调两个方面：一是强调学生学习主动性，要求通过学生的 主动建构获取知识；另一个方面强调教学过程要符合学生的身心发展规律因 此教学内容的选择与确定应该有利于教学过程的优化研究数学史的规律和迸 程，可以发现数学史在数学的课堂教学内容上会给我们以帮助，比如负数概念 的教学 负数是初中学生在进入中学阶段后经历的第一次数的扩张。原来的教材和 老师在这里一般是这样进行处理的：结合山(比如珠穆朗玛峰)的海拔、温度计 计量温度结果的读取等显性讲解附属的意义，力图使学生接受和理解这一概念 的合理性和必要性，然后按部就班的讲授负数的运算法则等的确，多少年来， 我们就是这样去做的，而且效果很好。 然而，这里却有一个潜在的危机：学生在充分感受了数学的这种和谐统一 的美的同时，还会在潜意识里产生一个感觉；为什么要学习负数?这一切就是我 们的前人为我们安排好了的，一开始就是这样子的，是天经地义的，甚至会对 数学产生一种神秘感和不信任感。也就是说传统的教学设计能够很好的解决学 生对负数的认识的问题，但另一个问题却被忽视了：负数的产生与由来的问题， 而这显然是对学生创新意识培养有着更为重要的意义。 其实，美国数学史家M克莱因(MKline。19081992)曾指出：“如果 从一流数学诞生开始，数学家花了1000年才得到负数的概念，又花了另外1000 年才接受负数概念，那么你就可以肯定：学生在学习负数时必定会遇到困 难而且，学生克服这些困难的方式与数学家大致也是相同的”。 16 第 14 页，共 32 页 M克莱因的担心不是没有根据的：实际上，法国的大文豪司汤达 (Stendhal，17831843)在学生时代时就被这个法则困扰了很久，他的两个数 学老师迪皮伊先生和夏倍尔先生都没有给他一个令人信服的解释司汤达因而 对数学和数学老师产生了不信任感他说：“到底是我的两位老师在欺骗我呢， 还是数学本身就是一场骗局呢?” 17 研究人类认识负数的历史不难发现，人类是出于运算的需要，而产生了负 数 负数概念的最早出现是在中国。早在西汉时期(约公元前2世纪)就已经使用 赤筹表示正数，用黑筹表示负数；公元50年至100年左右出版的九章算术在 解方程组的消元过程中出现了“不够减”的情形，给出了“正负术” 。 628年，印度的婆罗摩芨多(Brahrnagupta)承认了负数可以是二次方程的根； 婆什迦罗(Bhaskara，11141185)称：方程工245x=250有两个根：x=50或X- -一5，不过，他接着说：“第二个根并不用，因为它是不足的，人们并不支持 负根” 吉希腊数学家对负数一无所知，被誉为“代数学鼻祖”的3世纪数学家丢番 图(diophantus)在其数学中称方程4工+20=4是没有意义的 欧洲则是知道15世纪在对方程的讨论中才首次出现负数斐波拉契 (1170712507)在花朵中称：方程X+36=33是没有根据的，除非第一个人 (工)欠债3个钱币意大利数学家卡丹(GCardano，15011576)在其大术 中虽然承认方程的负根， ，并给出简单的加减法则，但他把正数称为“真实的数” ，而把负数称为“虚假的数” 帕斯卡(BPascai，16231662)则认为：从0减 去4纯粹是胡说! 直到18世纪，还有一些西方数学家不理解“小于一无所有”的数，并认为 “负负得正”这一法则是个谬论甚至到了19世纪，英国还有一些数学家不接 受负数如英国数学家弗伦德(WFrend，17571841)抨击那些“谈论比没有 还小的数、谈论负负得正”的现代数学家，认为负数有悖于常理， “只有那些喜 欢信口开河、厌恶严肃思维才支持这种数的使用” 。直到19世纪中叶以前，负数 的概念以及“负负得正”的运算法则在学校的课本中并没有得到正确的解释 负数的艰难发展史对我们进行负数的教学设计有以下几点启示： 第 15 页，共 32 页 首先，负数的产生首先是因为计算的需要，而不是课本上那样人们先理解 了负数的意义的实际上，我们的前人所遇到的关于负数的这些困惑，今天仍 然存在于我们学习的过程中：小学生进行减法运算时，碰到小数减去大数首先 的一个反应是这是不可能的，这与我们的前人开始对待这一问题的反映是极其 相似的：其次，负数为人们所接受有一个艰难的过程，因此我们没有理由认为 学生应该在很短的时间内真正理解负数的意义，而应允许学生有一个过程去接 受；第三，从负数的认识过程，我们可以看出，东方人较西方人更容易接受负 数的概念，尤其是在中国古代，不是把时间花在去考虑负数的意义上，而是先 接受下来，这一方面体现了中国古代数学的实用性的倾向，另一个方面也启示 我们，在负数的教学中，允许学生在学习的过程中去逐步理解、接受负数的意 义 在这个思想引领下，我们对负数的教学做如下设计： (1)(1)设置情景：设置情景： 同学们能用你以前所学的知识来解决下列问题吗： (1)小明买本子一共要给 25 元钱，现在他给了 3 元钱，应找给他几元? (2)若小明手上只有 2 元钱，他能买到想要的本子吗?为什么? 对上述两个问题要求列出算式 学生能够很快给出这样的两个式子：；.32.5=0.52.52=0.5 引导学生思考：第一个式子我们是用小明手中的钱数减去本子的价格，第 二 个问题我们能不能也按这样的顺序列出式子昵?试一下，看看结果等于多少? 学生能够列出式子；，但如何计算却无法解决，只会说；“不够减”22.5 (2)(2)数学相关历史介绍：数学相关历史介绍： 其实不会是很正常的，我们历史上很多数学家也都曾经被这些问题困扰 过 给出历史问题：被誉为“代数学鼻祖”的 3 世纪数学家丢番图(Diophantus)在 其算术中称方程是没有意义的同样，另一个数学家也曾经有4204x 过类似的困惑：斐波拉契(1170?1250?)在花朵中称：方程是没3633x 第 16 页，共 32 页 有根据的，除非第一个人()欠债 3 个钱币x 如何解决困惑呢?我们的前人给我们一个很好的方法：用不同颜色的数来加 以区别。 (3)(3)负数概念：负数概念： 我们不妨以较大的数减去较小的数的结果来表示运算的结果，只是为了以 示区别，不妨用红色来区别，即把这个结果用红色的数来表示区别因此， (这里带下划线的数表示红色数，下同)22.5=0.5 那么，以下式子结果等于什么呢：0-1=？0-3=? 0-5=? 受上面启发，学生回答出正确的结果，只是要以红色来表示这个不同于小 学运算的结果：1，3，5 反之，我们知道，加发和减法互为逆运算，那么下面运算结果是多少： 1+1=? 3+3=？ 5+5=？ 学生很快答出正确结果：O 那么，下面式子等于多少呢： 0 1=？03=？ 05=？ 学生能给出正确结果：1，3，5， 那么，我们把这里的这种特殊的数(红色数)称为负数，而我们原来的数出 了 0 以外，称为正数 负数的表示是在相应的正数前加符号“-” ，比如上面的数 1,3,5 我们表示 为:-1,-3,-5. (4)(4)负数的意义：负数的意义： 从上面可以看到负数与我们原来学的正数之间有着一种对应的关系，比如： ,这说明负数和我们原来所熟知的数(正数)之间有着相反1 1=033=055=0 的意义，也就是说，正负数之间表示的是一对具有相反意义的量 比如，在上面的例子中，小明拿 3 元钱去买 25 元的本子，营业员还要找 给他 O5 元，而如果小明手上只有 2 元钱的话，我们按照上面的式子计算得出 的结果应等于-O5 元，也就是说，营业员要找给他-O5 元，你知道这是什么 意思吗? 第 17 页，共 32 页 那么，你能解释下面这些语句的意义吗? 下课后，可以把有关负数的发展历史作为史料提供给学生看，进一步破除 他们对数学学习的神秘感和恐惧感 这种引入是建立在学生的基础之上的，更能一起学生的兴趣，而且从历史 的过程引入，能消除学生的神秘感：哦，原来数学家曾经也有着和我们一样的 困惑，从而保护了学生学习的积极性 3.1.2 中国的中国的周髀算经周髀算经 (1)(1)选择案例说明选择案例说明 周髀算经原名周髀 ，是中国最早的一部天文著作。因以数学方法阐 述“盖天说”和“四分历”法，引用了相当复杂的分数计算和勾股定理等，所 以唐代时，将其列为数学经典著作，取名周髀算经 。通过对其介绍，进一步 说明数学的作用。 (2)(2)设计理念设计理念 本节课主要以讲故事和讨论的方式进行授课，突出中国古代数学的伟大成 就以及中国传统数学的特点。以此来激发学生的自尊心和爱国主义思想，培养 学生的人文素质。 (3)(3)教学过程教学过程 周髀成书的年代 周髀成书的确切年代没有定论。多数学者认为成书于公元前 l 世纪， 理由是： 周髀卷下之有三：“日主昼，月主夜，昼夜为一日。日月俱起建 星。 ” 汉书律历志则有“至(汉)武帝元封七年(即太初元年，公元前 104 年) 日月在建星” 。两者比较，极为相似，可认为著书时间也大致相同。换个角 度说，中国古代的许多著作，都不是出自一人之手，也不是一个时代的产物。 一般先有一个雏形，后人陆续添加，最后成为较完整的著作。 周髀算经也是 这样，但可以根据书的内容确定成书的大致年代。 (设计意图：对中国古代数学著作有大致的了解) 周髀算经的主要内容 a a数学内容数学内容 第 18 页，共 32 页 周髀中主要的数学成就有三方面：勾股定理(下文具体介绍)；测量术； 分数运算。 测量术，在周髀中有详细的记载。周公日：“大哉言数!请问用矩之道?“ 商高日：“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆， 合矩以为方。 ”这六句话中的前四句是说“矩”的四种用法，即如何测直、测高、 测深和测远。后两句是说“矩”能形成圆方。 “平矩以正绳“是说矩可用来确定 铅垂线和水平线等。这一记载显示了商高时期我国的测量数学水平。 周髀中有相当复杂的分数运算。如“内一衡径二十三万八千里，周七 十一万四千里。分为三百六十五度四分度之一。度得一千九百五十四里二百四 十七步千四百六十一分步之九百三十二。 ” “内一衡”是一个直径为 238000 里的 圆周，那么周长就是 (里)。整个圆周分为度。每一度238000 3=714000 1 365 4 的弧长是 1146141206 714000365=714000=714000=2856000 1461=1954 4414611461 (里)，1 里=300 步 ，再将分数化为步： (步)，由此可见， 1206933 300=247 14611461 周髀中的分数运算已经达到非常娴熟的地步。 18 (设计意图：可以让学生了解我国古代数学的伟大成就) 当然，除了这三个方面之外， 周髀中还有其他的数学成就：如，等差 数列和圆周长的求法，一次内插法等。 b b天文学内容天文学内容 周髀本是一部天文学著作。将其列为数学著作的原因是书中记载的盖 天说是用数学方法阐述的。 对于这部分内容，老师可以做简单的介绍。因为它不是数学内容，避免本 末倒置，但又对其做简单的介绍，目的是为了让学生了解中国传统数学的特点 是具有很强的实用性，也为了进一步说明数学在现实生活和生产中是非常有用 的，尤其在科技高速发展的今天。 第 19 页，共 32 页 3.1.3 勾股定理勾股定理 a a赵爽与勾股定理赵爽与勾股定理 周髀中主要的数学成就之一就是“勾股定理“，而勾股定理在中国古代 乃至世界都占有特别重要的位置。所以，在此具体介绍这个内容。 提到勾股定理，我们就必须提到赵爽，他因注周髀算经而出名。后人对赵 爽的生平所知甚少，只能通过对其所注的周髀算经中大致了解到他是三国 时期吴国人，字君卿。赵爽的数学成果，主要是勾股定理，即“勾股圆方图” 注，是数学史上非常有价值的文献。它记载了勾股理论及其应用，并对勾股定 理进行了详细的表述和证明。这也是我国数学史上一项伟大的数学成就，充分 体现了中国数学的独特思想方法。 赵爽将勾股定理表述为：“勾()股()各自乘，并之为弦( )实(ab 22 ,a bc )，开方除之，即弦()” 。 222 abc 22 cab 弦图 根据赵爽提供的证明方法，用现代的语言表述为：由四个全等的直角三角 形和一个正方形所组成弦图(如上图，虚线及其内部)，将直角三角形的两直角 边分别叫勾(a)和股(b)，斜边叫弦(C)，则小正方形的边长等于勾股差。由图根 据面积相等便可得：，将展开就得到了我们今天想要 22 2()abbac 2 ()ba 的勾股定理，即。 22 cab B A D E C 弦 （c） 勾 （a） 股（b） 第 20 页，共 32 页 (设计意图：不单单是让学生重新回顾勾股定理，而是让学生体会中国数学证明 的特点：利用构造的方法；数形结合思想的集中体现) b西方对勾股定理的研究 从上文中我们可以看出，勾股定理有十分悠久的历史，包括中国在内的