2017浦东高三数学二模试题.pdf

1 浦东新区 2016 学年度第二学期质量抽测 高三数学试卷 2017.4 注意：注意：1. 答卷前，考生务必在试卷上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚答卷前，考生务必在试卷上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚. 2. 本试卷共有本试卷共有 21 道试题，满分道试题，满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟. 一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 12 小小题，满分题，满分 54 分）只要求直接填写结果，分）只要求直接填写结果，1-6 题每个空格填对得题每个空格填对得 4 分，分，7-12 题每个空格填对得题每个空格填对得 5 分，否则一律得零分分，否则一律得零分. 1、已知集合 2 0 1 x Ax x ，集合04Byy，则AB=_2,4)_. 2、若直线l的参数方程为 44 , 23 R xt t yt ，则直线l在y轴上的截距是_1_. 3、已知圆锥的母线长为 4，母线与旋转轴的夹角为30，则该圆锥的侧面积为_8_. 4、抛物线 2 1 4 yx的焦点到准线的距离为_2_. 5、已知关于, x y的二元一次方程组的增广矩阵为 215 120 ，则3xy=_5_. 6、若三个数 123 ,a a a的方差为1，则 123 32,32,32aaa的方差为 9 . 7、已知射手甲击中 A 目标的概率为 0.9，射手乙击中 A 目标的概率为 0.8，若甲、乙两人各 向 A 目标射击一次，则射手甲或射手乙击中 A 目标的概率是_0.98_. 8、函数 3 sin,0, 62 yxx 的单调递减区间是_ 2 0, 3 _. 9、已知等差数列 n a的公差为 2，前n项和为 n S，则 1 lim n n nn S a a =_ 1 4 _. 10、已知定义在R上的函数 f x满足： 20f xfx； 20f xfx ；在 1,1上的表达式为 2 1,1,0 1,0,1 xx f x x x ，则函数 f x与函数 1 2 2 ,0 log,0 x x g x x x 的图象在区间3,3上的交点的个数为 6 . 11、已知各项均为正数的数列 n a满足： 11 210N nnnn aaaan ，且 110 aa, 则首项 1 a所有可能取值中的最大值为 16 . 2 12、 已知平面上三个不同的单位向量单位向量, ,a b c满足 1 2 a bb c ， 若e为平面内的任意单位向量单位向量， 则23a eb ec e的最大值为_21_. 二、选择题二、选择题(本大题共有本大题共有 4 小小题，满分题，满分 20 分分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项 是正确的，选对得是正确的，选对得 5 分，否则一律得零分分，否则一律得零分. 13、若复数z满足2zizi，则复数z在复平面上所对应的图形是 （ D ） A、椭圆； B、双曲线； C、直线； D、线段. 14、已知长方体切去一个角的几何体直观图如图所示 给出下列 4 个平面图： （1） （2） （3） （4） 则该几何体的主视图、俯视图、左视图的序号依次是 （ C ） A、(1)(3)(4)； B、(2)(4)(3)； C、(1)(3)(2)； D、(2)(4)(1). 15、已知2sin1cosxx ，则cot 2 x = （ C ） A、2； B、2 或 1 2 ； C、2 或 0； D、 1 2 或 0. 16、已知等比数列 1234 ,a a a a满足 1 0,1a ， 2 1,2a ， 3 2,4a ，则 4 a的取值范围是 （ D ） A、3,8； B、2,16； C、4,8； D、 2 2,16. 3 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 小小题，满分题，满分 76 分）解答下列各题必须写出必要的步骤分）解答下列各题必须写出必要的步骤 17、 （本小题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） 如图所示，球 O 的球心 O 在空间直角坐标系Oxyz的原点，半径为 1， 且球 O 分别与, ,x y z轴的正半轴交于,A B C三点. 已知球面上一点 3 1 0, 22 D . （1）求,D C两点在球 O 上的球面距离； （2）求直线 CD 与平面 ABC 所成角的大小 解： （1）由题意： 3 1 1,0,0 ,0,1,0 ,0,0,1 ,0, 22 ABCD 则 31 0, 22 CD ，2 分 所以1CD ，即OCD为等边三角形，所以 3 DOC， 4 分 则 1 33 DC 6 分 （2）设直线 CD 与平面 ABC 所成角为， 易得平面ABC的一个法向量1,1,1n ， 11 分 则 31 33 22 sin 613 CD n CDn ， 13 分 即直线 CD 与平面 ABC 所成角 33 arcsin 6 14 分 4 A B O C E D 18、 （本小题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） 某地计划在一处海滩建造一个养殖场. （1） 如图，射线,OA OB为海岸线， 2 3 AOB，现用长度为 1 千米的围网PQ依托海岸线 围成一个POQ的养殖场，问如何选取点,P Q，才能使 养殖场POQ的面积最大，并求其最大面积. （2）如图，直线l为海岸线，现用长度为 1 千米的围网依托海岸线围成一个养殖场. 方案一： 围成三角形OAB（点,A B在直线l上） ， 使三角形OAB面积最大， 设其为 1 S； 方案二：围成弓形CDE（点,D E在直线l上，C是优弧DE所在圆的圆心且 2 3 DCE） ，其面积为 2 S； 试求出 1 S的最大值和 2 S（均精确到 0.001 平方千米） ，并指出哪一种设计方案更好. 解： （1）设,OPx OQy 由余弦定理得 2222 1 123 2 xyxyxyxyxy ， 1 3 xy4 分 则 121133 sin 2323212 Sxy， max 3 12 S（平方千米） 即选取 3 3 OPOQ时养殖场POQ的面积最大. 6 分 O A B P Q 5 （2）方案一：围成三角形OAB 设AOB，由 2 1 1 24 OAOB OAOBOA OB ， 当且仅当 1 2 OAOB时取等号. 所以， 1 11 11 sin1 22 48 SOA OB （平方千米） ， 当且仅当 1 , 22 OAOB时取等号. 9 分 方案二：围成弓形CDE 设弓形中扇形所在圆C的半径为r，而扇形圆心角为 4 3 、弧长为 1 千米， 故 1 4 4 3 3 r . 10 分 于是 2 2 112 1sin 223 Srr 11 分 2 3193 0.144 82 162 （平方千米） 13 分 即 12 SS，方案二所围成的养殖场面积较大，方案二更好. 14 分 6 19、 （本小题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） 已知双曲线 22 :1 43 xy C，其右顶点为P. （1）求以P为圆心，且与双曲线C的两条渐近线都相切的圆的标准方程； （2）设直线l过点P，其法向量为(1, 1)n ，若在双曲线C上恰有三个点 123 ,P P P 到直线l的距离均为d，求d的值. 解： （1）由题意，(2,0)P，渐近线方程： 3 2 yx ，即320xy2 分 则半径 2 3 2 21 734 rd ， 4 分 所以圆方程为： 2 2 12 2 7 xy 6 分 （2）若在双曲线C上恰有三个点 123 ,P P P到直线l的距离均为d，则其中一点必定是与 直线:2l yx平行的直线与双曲线其中一支的切点 8 分 设直线 l与双曲线 C 相切，并且与直线l平行，则 :lyxb，即有 22 3412 yxb xy ，消去y，得到 22 81240xbxb 10 分 则 22 6416(3)0bb ，解得1b，所以 :1lyx12 分 又d是l与 l之间的距离，所以 1 23 2 22 d 或者 1 22 22 d 14 分 7 20、 （本小题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分） 若数列 n A对任意的 * Nn，都有 +1 0 k nn AAk，且0 n A ， 则称数列 n A为“k级创新数列”. （1）已知数列 n a满足 2 1 22 nnn aaa ，且 1 1 2 a ，试判断数列21 n a 是否为“2 级创 新数列” ，并说明理由； （2） 已知正数数列 n b为 “k级创新数列” 且1k ， 若 1 10b ， 求数列 n b的前n项积积 n T； （3）设, 是方程 2 10xx 的两个实根（） ，令k ，在（2）的条件下，记 数列 n c的通项 1 log n n nbn cT ， 求证： 21nnn ccc ， * Nn. 解： （1）由 2 1 22 nnn aaa ， 2 1 2+144+1 nnn aaa ，即 2 1 2121 nn aa ， 2 分 且 1 2120a ， 3 分 21 n a 是“2 级创新数列” 4 分 （2）由正数数列 n b是“k级创新数列” ，得 +1 0,1 k nn bbk，且0 n b +1 lglg nn bkb， 6 分 lg n b是等比数列，且首项 1 lg1b ，公比qk； 11 1 lglg nn n bb qk ； 7 分 由 1 212 lglglglg nnnn TbbbTbbb 9 分 21 1 1 1 n n k kkk k ， 1 1 10N n k k n Tn 10 分 （3）由k ， 111 1 1 lg 1 log lg n n nnn n nbn n n k T k cT bk 8 1 1 11 1 1 n n n n nnnn k kk nn ； 12 分 由, 是方程 2 10xx 的两根， 2 2 1 1 ；14 分 11 11 1 1 nnnn nnnn nn cc 22 2 1 11 nn nn n c .16 分 9 21、 （本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分） 对于定义域为R的函数 g x，若函数 sin g x 是奇函数，则称 g x为正弦奇函数. 已知 f x是单调递增的正弦奇函数，其值域为R， 00f. （1）已知 g x是正弦奇函数，证明：“ 0 u为方程 sin1g x 的解”的充要条件是 “ 0 u为方程 sin1g x 的解”； （2）若 , 22 f af b ，求ab的值； （3）证明： f x是奇函数. 证明： （1） 必要性： 0 u为方程 sin1g x 的解，即 0 sin1g u ，故 00 sinsin1gug u ， 即 0 u为方程 sin1g x 的解.2 分 充分性： 0 u为方程 sin1g x 的解，即 0 sin1gu ，故 0 sin1g u ， 0 sin1g u ，即 0 u为方程 sin1g x 的解. 4 分 （2）因为 0f bff a，由 f x单调递增，可知0ba. 5 分 由（1）可知，若函数 f x是正弦奇函数， 则当a为方程 sin1f x 的解，必有a为方程 sin1f x 的解， sin1fa ，即 2 2 famZm， 而0a ，故 00faf，从而 2 faf bab ， 即0ab； 7 分 同理 2 2 fbn ,0Znfbf，故 2 fbf aba ， 即0ab； 9 分 综上，0ab. 10 分 10 （3） f x的值域为R且单调递增，故对任意Rc，存在唯一的 0, x使得 0 f xc. 11 分 可设 , 22 nn f anf bn * Nn，下证 * 0N nn abn. 当1n 时，由（2）知 11 0ab,命题成立； 12 分 假设nk时命题成立，即 11 0,0 kk abab，而由 f x的单调性 知 1111 0 kkkk bbbaaa ，知 11 , kkkk abba ， 则当1nk时， 1k a 为方程 sin1f x 的解，故 1k a 为方程 sin1f x 的解， 且由单调性知 1kk faf b ，故 11kk faf b ，得 11kk ab ； 同理 11kk ba ，故 11 0 kk ab . 14 分 要证 f x是奇函数，只需证：对