全网答案解析重点高中初升高自主招生湖北省武汉市华师一附中自主招生考试数学试卷.pdf

萧绯 初升高自主招生收藏卷 第1页（共15页） 湖北省武汉市华师一附中自主招生考试数学试卷湖北省武汉市华师一附中自主招生考试数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 5 小题，每小题小题，每小题 6 分，满分分，满分 30 分）分） 1下列图中阴影部分面积与算式| |+（ ）2+2 1 的结果相同的是（） ABCD 2下列命题中正确的个数有（） 实数不是有理数就是无理数；aa+a；121 的平方根是11；在实数范围内，非负数一定是 正数；两个无理数之和一定是无理数 A1 个 B2 个 C3 个 D4 3某家庭三口人准备在“五一”期间参加旅行团外出旅游甲旅行社告知：父母买全票，女儿按半价优 惠；乙旅行社告知：家庭旅行可按团体票计价，即每人均按八折收费若这两家旅行社每人的原标价相 同，那么（） A甲比乙更优惠 B乙比甲更优惠 C甲与乙相同D与原标价有关 4如图，ACB=60，半径为 2 的O 切 BC 于点 C，若将O 在 CB 上向右滚动，则当滚动到O 与 CA 也相切时，圆心 O 移动的水平距离为（） A2B4C2D4 5平面内的 9 条直线任两条都相交，交点数最多有 m 个，最少有 n 个，则 m+n 等于（） A36B37C38D39 二、二、填空题（共填空题（共 8 小题，每小题小题，每小题 6 分，满分分，满分 48 分）分） 6甲、乙两人骑自行车，同时从相距 65 千米的两地相向而行，甲、乙两人的速度和为 32.5 千米/时， 则经过小时，两人相遇 7若化简|1x|的结果为 2x5，则 x 的取值范围是 萧绯 初升高自主招生收藏卷 第2页（共15页） 8某校把学生的笔试、实践能力和成长记录三项成绩分别按 50%、20%和 30%的比例计入学期总评成 绩，90 分以上为优秀甲、乙、丙三人的各项成绩（单位：分）如下表，学期总评成绩优秀的学生 是 纸笔测试实践能力成长记录 甲908395 乙889095 丙908890 9已知点 A 是一次函数 y=x 的图象与反比例函数 y= 的图象在第一象限内的交点，点 B 在 x 轴的负半 轴上，且 OA=OB（O 为坐标原点） ，则AOB 的面积为 10如果多项式 x2+px+12 可以分解成两个一次因式的积，那么整数 P 的值是 11如图所示，P 是边长为 1 的正三角形 ABC 的 BC 边上一点，从 P 向 AB 作垂线 PQ，Q 为垂足延 长 QP 与 AC 的延长线交于 R，设 BP=x（0x1） ，BPQ 与CPR 的面积之和为 y，把 y 表示为 x 的 函数是 12已知 x1，x2为方程 x2+4x+2=0 的两实根，则 x13+14x2+55= 13小明、小林和小颖共解出 100 道数学题，每人都解出了其中的 60 道，如果将其中只有 1 人解出的 题叫做难题，2 人解出的题叫做中档题，3 人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多 道 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，满分小题，满分 72 分）分） 14 （10 分）在ABC 中，AB=AC，A=45，AC 的垂直平分线分别交 AB、AC 于 D、E 两点，连接 CD，如果 AD=1，求：tanBCD 的值 萧绯 初升高自主招生收藏卷 第3页（共15页） 15 （12 分） （2005河南）某公司为了扩大经营，决定购进 6 台机器用于生产某种活塞现有甲、乙两 种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示经过预算，本次购买机 器所耗资金不能超过 34 万元 甲乙 价格（万元/台） 75 每台日产量 （个） 10060 （1）按该公司要求可以有几种购买方案？ （2） 若该公司购进的 6 台机器的日生产能力不能低于 380 个， 那么为了节约资金应选择哪种购买方案？ 16 如图所示，已知边长为 4 的正方形钢板有一个角锈蚀，其中 AF=2，BF=1，为了合理利用这块钢板将 在五边形 EABCD 内截取一个矩形块 MDNP， 使点 P 在 AB 上， 且要求面积最大， 求钢板的最大利用率 17如图所示等腰梯形 ABCD 中，AD=BC，ABCD，对角线 AC 与 BD 交于 O，ACD=60，点 S、 P、Q 分别是 OD、OA、BC 的中点 求证：PQS 是等边三角形 萧绯 初升高自主招生收藏卷 第4页（共15页） 18如图，直线 OB 是一次函数 y=2x 的图象，点 A 的坐标是（0，2） ，点 C 在直线 OB 上且ACO 为 等腰三角形，求 C 点坐标 19已知关于 x 的方程（m21）x23（3m1）x+18=0 有两个正整数根（m 是正整数） ABC 的三 边 a、b、c 满足，m2+a2m8a=0，m2+b2m8b=0 求： （1）m 的值； （2）ABC 的面积 萧绯 初升高自主招生收藏卷 第5页（共15页） 2011 年湖北省武汉市华师一附中自主招生考试数学试卷年湖北省武汉市华师一附中自主招生考试数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 5 小题，每小题小题，每小题 6 分，满分分，满分 30 分）分） 1下列图中阴影部分面积与算式| |+（ ）2+2 1 的结果相同的是（） ABCD 【考点】二次函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质版权所有【专题】压轴题 【分析】先把算式的值求出，然后根据函数的性质分别求出四个图中的阴影部分面积，看是否与算式的 值相同，如相同，则是要选的选项 【解答】解：原式= + + = = A、作 TEX 轴，TGY 轴，易得，GTFETD，故阴影部分面积为 11=1； B、当 x=1 时，y=3，阴影部分面积 13 = ；C、当 y=0 时，x=1，当 x=0 时，y=1阴影部分面积 为1（1）1 =1；D、阴影部分面积为 xy= 2=1故选 B 【点评】解答 A 时运用了全等三角形的性质，B、C、D 都运用了函数图象和坐标的关系，转化为三角 形的面积公式来解答 2下列命题中正确的个数有（） 实数不是有理数就是无理数；aa+a；121 的平方根是11；在实数范围内，非负数一定是 正数；两个无理数之和一定是无理数 A1 个 B2 个 C3 个 D4 【考点】实数版权所有【分析】根据定义一一判定即可 【解答】解：实数包括有理数和无理数，故说法正确； 当 a0 时，a+aa，故选项错误； 正数的平方根由两个，且互为相反数，故说法正确； 实数可分为：正数、负数和 0、非负数即正数和 0，故说法错误； 中，两个互为相反数的无理数和为 0，故说法错误此题共有和正确，故选 B 【点评】 此题主要考查了实数的分类和性质， 解答此题应熟知以下概念： （1） 实数包括有理数和无理数； 实数可分为正数、负数和 0； （2）正数的平方根由两个，且互为相反数 萧绯 初升高自主招生收藏卷 第6页（共15页） 3某家庭三口人准备在“五一”期间参加旅行团外出旅游甲旅行社告知：父母买全票，女儿按半价优 惠；乙旅行社告知：家庭旅行可按团体票计价，即每人均按八折收费若这两家旅行社每人的原标价相 同，那么（） A甲比乙更优惠 B乙比甲更优惠 C甲与乙相同D与原标价有关 【考点】列代数式版权所有 【专题】计算题 【分析】因为原票价相同，所以先设原票价都为 x 元，根据甲、乙收费情况分别列出代数式进行比较， 得出答案 【解答】解：设原票价都为 x 元， 则按甲告知，票总价为：x+x+ x=2.5x， 按乙告知，票总价为：3x80%=2.4x， 2.5x2.4x 所以乙比甲优惠 故选 B 【点评】此题考查了学生对列代数式的理解与掌握，解此题的关键是先由已知列出两种情况的代数式， 再进行比较得出结论 4如图，ACB=60，半径为 2 的O 切 BC 于点 C，若将O 在 CB 上向右滚动，则当滚动到O 与 CA 也相切时，圆心 O 移动的水平距离为（） A2B4C2D4 【考点】切线的性质；角平分线的性质；解直角三角形版权所有 【分析】连接 OC，OB，OD，OO，则 ODBC 因为 OD=OB，OC 平分ACB，可得OCB= ACB= 60=30，由勾股定理得 BC=2 【解答】解：当滚动到O与 CA 也相切时，切点为 D， 连接 OC，OB，OD，OO， ODAC，OD=OB OC 平分ACB，OCB= ACB= 60=30 OC=2OB=22=4，BC=2故选：C 【点评】此题主要考查切线及角平分线的性质，勾股定理等知识点，属中等难度题 萧绯 初升高自主招生收藏卷 第7页（共15页） 5平面内的 9 条直线任两条都相交，交点数最多有 m 个，最少有 n 个，则 m+n 等于（） A36B37C38D39 【考点】直线、射线、线段版权所有 【专题】压轴题；规律型 【分析】求出平面内的 9 条直线任两条都相交，交点数最多的个数，再求得最少的个数；则即可求得 m+n 的值 【解答】解：三条最多交点数的情况就是第三条与前面两条都相交：1+2 四条最多交点数的情况就是第四条与前面三条都相交：1+2+3 五条最多交点数的情况就是第五条与前面四条都相交：1+2+3+4 六条最多交点数的情况就是第六条与前面五条都相交：1+2+3+4+5 七条最多交点数的情况就是第七条与前面六条都相交：1+2+3+5+6 八条最多交点数的情况就是第八条与前面七条都相交：1+2+3+5+6+7 九条最多交点数的情况就是第九条与前面八条都相交：1+2+3+4+5+6+7+8=36 则 m+n=1+36=37 故答案 B 【点评】此题考查了平面图形，主要培养学生的观察能力和几何想象能力 二、填空题（共二、填空题（共 8 小题，每小题小题，每小题 6 分，满分分，满分 48 分）分） 6甲、乙两人骑自行车，同时从相距 65 千米的两地相向而行，甲、乙两人的速度和为 32.5 千米/时， 则经过2小时，两人相遇 【考点】二元一次方程组的应用；有理数的除法版权所有 【分析】本题中涉及到三个量路程、速度、时间，因为已知路程为 65 千米，两人的速度和是 32.5 千米 /时，所以经过 6532.5=2 小时，两人相遇 【解答】解：6532.5=2（小时） 故答案为：2 【点评】此题是一道关于路程的相遇问题，需用到相遇时间=总路程速度和 7若化简|1x|的结果为 2x5，则 x 的取值范围是1x4 【考点】二次根式的性质与化简；实数的性质版权所有 【分析】根据 x 的取值化简绝对值和二次根式的性质分析 【解答】解：|1x|=|1x|=2x5， 则|1x|=x1+x4，即 1x0，x40，解得 1x4 【点评】此题难点不是根据 x 的取值化简绝对值和二次根式，而是由绝对值和二次根式得化简值求 x 的 取值范围所以要求对绝对值的代数定义和二次根式的性质熟练、灵活掌握 萧绯 初升高自主招生收藏卷 第8页（共15页） 8某校把学生的笔试、实践能力和成长记录三项成绩分别按 50%、20%和 30%的比例计入学期总评成 绩，90 分以上为优秀甲、乙、丙三人的各项成绩（单位：分）如下表，学期总评成绩优秀的学生是 甲、乙 纸笔测试实践能力成长记录 甲908395 乙889095 丙908890 【考点】加权平均数版权所有 【专题】图表型 【分析】分别计算三人的加权平均数，然后与 90 比较大小即可 【解答】解：由题意知，甲的学期总评成绩=9050%+8320%+9530%=90.1， 乙的学期总评成绩=8850%+9020%+9530%=90.5， 丙的学期总评成绩=9050%+8820%+9030%=89.6， 故答案为甲、乙 【点评】本题考查了加权成绩的计算平均数等于所有数据的和除以数据的个数 9已知点 A 是一次函数 y=x 的图象与反比例函数 y= 的图象在第一象限内的交点，点 B 在 x 轴的负半 轴上，且 OA=OB（O 为坐标原点） ，则AOB 的面积为 【考点】一次函数的图象；反比例函数与一次函数的交点问题版权所有 【专题】计算题 【分析】此题应先求出在第一象限内的交点坐标，再由三角形的面积公式求解即可 【解答】解：根据题意可知：x= ， 解得 x= 点 A 在第一象限内， A（，） ，即 OA=2， OA=OB=2 AOB 的面积为 2= 故答案为： 【点评】主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题与三角形面积的结合，有一定的综合性 10如果多项式 x2+px+12 可以分解成两个一次因式的积，那么整数 P 的值是7 或8 或13 【考点】因式分解的应用版权所有 【分析】把 12 分解为两个整数的积的形式，p 等于这两个整数的和 【解答】解：把 12 分成两个整数乘积的形式有：112； （1）（12） ；26； （2）（6） ；34； （3）（4） ， p 的值为 1+12=13；112=13；2+6=8；26=8；3+4=7；34=7， p 的整数值为7 或8 或13 【点评】主要考查了二次三项式的分解因式：x2+（p+q）x+pq=（x+p） （x+q） 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是 1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数 的和 萧绯 初升高自主招生收藏卷 第9页（共15页） 11如图所示，P 是边长为 1 的正三角形 ABC 的 BC 边上一点，从 P 向 AB 作垂线 PQ，Q 为垂足延 长 QP 与 AC 的延长线交于 R，设 BP=x（0x1） ，BPQ 与CPR 的面积之和为 y，把 y 表示为 x 的 函数是y= 【考点】根据实际问题列二次函数关系式版权所有 【分析】根据三角函数分别表示出 BQ，QP，PC 的长，就可以求得BPQ 与CPR 的面积，进而求出 函数解析式 【解答】解：BP=x，B=60，PQB=90，BQ= x，QP=x，PC=1x BPQ 的面积= BQQP=x2，那么 AQ=1 x，可得到 QR=x， 则 PR=x 过点 R 做 RDPC，则 RD=，CPR 的面积= PCRD= BPQ 与CPR 的面积之和为 y，y=（3x24x+2）=x2x+， y=x2x+ 【点评】关键是根据所给条件利用三角函数得到相应的三角形的各边的长 12已知 x1，x2为方程 x2+4x+2=0 的两实根，则 x13+14x2+55=7 【考点】根与系数的关系；代数式求值版权所有【专题】计算题；整体思想 【分析】由于 x1，x2为方程 x2+4x+2=0 的两实根，由此得到 x12+4x1+2=0，x1+x2=4，x1x2=2，而 x13=x12x1，然后代入所求代数式即可求解 【解答】解：x1，x2为方程 x2+4x+2=0 的两实根，x12+4x1+2=0，x1+x2=4，x1x2=2， x12=4x12， 而 x13=x12x1，x13+14x2+55=x12x1+14x2+55=（4x12）x1+14x2+55 =4x122x1+14x2+55=4（4x12）2x1+14x2+55=14（x1+x2）+8+55=14（4）+63 =7故答案为：7 【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用 的解题方法 萧绯 初升高自主招生收藏卷 第10页（共15页） 13 （2012乐平市校级自主招生）小明、小林和小颖共解出 100 道数学题，每人都解出了其中的 60 道， 如果将其中只有 1 人解出的题叫做难题，2 人解出的题叫做中档题，3 人都解出的题叫做容易题，那么 难题比容易题多20道 【考点】二元一次方程组的应用版权所有 【专题】压轴题 【分析】本题可设 x 道难题，y 道中档题，z 道容易题，因为小明、小林和小颖共解出 100 道数学题， 所以 x+y+z=100，又因每人都解出了其中的 60 道，只有 1 人解出的题叫做难题，2 人解出的题叫做 中档题，3 人都解出的题叫做容易题，所以有 x+2y+3z=180，2，得 xz=20，所以难题比 容易题多 20 道 【解答】解：设 x 道难题，y 道中档题，z 道容易题 x+y+z=100 x+2y+3z=180 2，得 xz=20， 难题比容易题多 20 道 故填 20 【点评】此类题目的解决需仔细分析题意，进而利用方程组来求出答案 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，满分小题，满分 72 分）分） 14 （10 分）在ABC 中，AB=AC，A=45，AC 的垂直平分线分别交 AB、AC 于 D、E 两点，连接 CD，如果 AD=1，求：tanBCD 的值 【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义；解直角三角形版权所有 【专题】计算题 【分析】首先利用线段垂直平分线的性质得出A=ACDAD=DC=1； 根据 AB=AC 求出 BD 长即可求解 【解答】解：DE 垂直平分 AC， AD=CD，A=ACD=45， ADC=BDC=90 AD=CD=1， AC=AB=， 在直角BCD 中， 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质，同时考生需要注意三角函数的运 用 萧绯 初升高自主招生收藏卷 第11页（共15页） 15 （12 分） （2005河南）某公司为了扩大经营，决定购进 6 台机器用于生产某种活塞现有甲、乙两 种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示经过预算，本次购买机 器所耗资金不能超过 34 万元 甲乙 价格（万元/台） 75 每台日产量 （个） 10060 （1）按该公司要求可以有几种购买方案？ （2） 若该公司购进的 6 台机器的日生产能力不能低于 380 个， 那么为了节约资金应选择哪种购买方案？ 【考点】一元一次不等式的应用版权所有 【专题】方案型 【分析】 （1）设购买甲种机器 x 台（x0） ，则购买乙种机器（6x）台，根据买机器所耗资金不能超过 34 万元，即购买甲种机器的钱数+购买乙种机器的钱数34 万元就可以得到关于 x 的不等式，就可以 求出 x 的范围 （2）该公司购进的 6 台机器的日生产能力不能低于 380 个，就是已知不等关系：甲种机器生产的零件 数+乙种机器生产的零件数380 件根据（1）中的三种方案，可以计算出每种方案的需要资金，从而 选择出合适的方案 【解答】解： （1）设购买甲种机器 x 台（x0） ，则购买乙种机器（6x）台 依题意，得 7x+5（6x）34 解这个不等式，得 x2，即 x 可取 0，1，2 三个值 该公司按要求可以有以下三种购买方案： 方案一：不购买甲种机器，购买乙种机器 6 台 方案二：购买甲种机器 1 台，购买乙种机器 5 台 方案三：购买甲种机器 2 台，购买乙种机器 4 台 （2）根据题意，100x+60（6x）380， 解之，可得：x ，由上题解得：x2，即 x2， x 可取 1，2 两个值， 即有以下两种购买方案： 方案一购买甲种机器 1 台，购买乙种机器 5 台，所耗资金为 17+55=32 万元； 方案二购买甲种机器 2 台，购买乙种机器 4 台，所耗资金为 27+45=34 万元 为了节约资金应选择方案一 故应选择方案一 【点评】解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式，正确确定各种情况，确定各种方案 是解决本题的关键 16 （12 分） （2013茶陵县自主招生） 如图所示， 已知边长为 4 的正方形钢板有一个角锈蚀， 其中 AF=2， BF=1，为了合理利用这块钢板将在五边形 EABCD 内截取一个矩形块 MDNP，使点 P 在 AB 上，且 要求面积最大，求钢板的最大利用率 萧绯 初升高自主招生收藏卷 第12页（共15页） 【考点】二次函数的应用版权所有【分析】根据题意画图分析用含表示某一边的字母的代数式表示面积，关 键是表示另一边的长借助三角形相似建立关系 【解答】解：如图所示，为了表达矩形 MDNP 的面积，设 DN=x，PN=y， 则面积 S=xy ， 点 P 在 AB 上，由APQABF 得， ， 即 x=102y， 代入，得 S=（102y）y=2y2+10y， 即， 因为 3y4，而 y= 不在自变量的取值范围内， 所以 y= 不是最值点， 当 y=3 时，S=12；当 y=4 时，S=8，故面积的最大值是 S=12，此时，钢板的最大利用率是 80% 【点评】根据函数求出的最值与实际问题中的最值不一定相同，需注意自变量的取值范围 17 （12 分）如图所示等腰梯形 ABCD 中，AD=BC，ABCD，对角线 AC 与 BD 交于 O，ACD=60， 点 S、P、Q 分别是 OD、OA、BC 的中点 求证：PQS 是等边三角形 【考点】等腰梯形的性质；等边三角形的判定；三角形中位线定理版权所有 【专题】证明题 萧绯 初升高自主招生收藏卷 第13页（共15页） 【分析】由于梯形 ABCD 是等腰梯形ACD=60，可知OCD 与OAB 均为等边三角形连接 CS， BP 根据等边三角形的性质可知BCS 与BPC 为直角三角形，再利用直角三角形的性质可知 QS=BP= BC，由中位线定理可知，QS=QP=PS= BC，故PQS 是等边三角形 【解答】证明：连 CS，BP 四边形 ABCD 是等腰梯形，且 AC 与 BD 相交于 O， 可得出：CABDBA， CAB=DBA， 同理可得出：ACD=BDC， AO=BO，CO=DO ACD=60， OCD 与OAB 均为等边三角形 S 是 OD 的中点，CSDO 在 RtBSC 中，Q 为 BC 中点，SQ 是斜边 BC 的中线，SQ= BC 同理 BPAC 在 RtBPC 中，PQ= BC 又SP 是OAD 的中位线， SP= AD= BCSP=PQ=SQ 故SPQ 为等边三角形 【点评】本题主要考查等腰梯形及直角三角形的性质，三角形中位线定理 18如图，直线 OB 是一次函数 y=2x 的图象，点 A 的坐标是（0，2） ，点 C 在直线 OB 上且ACO 为 等腰三角形，求 C 点坐标 【考点】一次函数综合题版权所有【专题】分类讨论 【分析】本题要分三种情况进行讨论， 第一种情况：以 OA 为腰，A 为等腰三角形的顶点，那么 C 点必定在第一象限，且纵坐标的值比 A 的 要大，根据 OA=AC 我们知道了 AC 的距离，我们可以根据 C 的纵坐标和横坐标以及 AC 的长构成的直 角三角形，运用勾股定理以及所在直线的函数关系式求出 C 的坐标 萧绯 初升高自主招生收藏卷 第14页（共15页） 第二种情况：以 OA 为一腰，O 为三角形的顶点，那么 C 点可以有两个，一个在第一象限，一个在第三 象限，且这两个点关于原点对称我们只要求出一个两个就都求出来了，求的方法同第一种情况 第三种情况：以 OA 为底，OC，AC 为腰，此点在第一象限，那么这点的纵坐标必为 1（顶点在底边的 垂直平分线上） ，那么根据所在函数的关系式，可求出这个 C 点的坐标 【解答】解：若此等腰三角形以 OA 为一腰，且以 A 为顶点，则 AO=AC1=2 设 C1（x，2x） ，则得 x2+（2x2）2=22， 解得，得 C1（） ， 若此等腰三角形以 OA 为一腰，且以 O 为顶点，则 OC2=OC3=OA=2， 设 C2（x，2x） ，则得 x2+（2x）2=22，解得=， C2（） ， 又由点 C3与点 C2关于原点