厦门市2018-2019学年度第一学期高三质检理科数学参考答案.pdf

高三数学（理科）参考答案 第1页（共 8 页） 厦门市 20182019 学年度第一学期高三年级质量检测 数学数学（理科）参考答案参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 15：AABCA 610：BDDAC 11-12：CB 11. 解析：设圆锥的高为h，,AC BD相交于点M，AMB，则 0,2h， 22 4rh， 2 2 111 sin22 222 ABCD SAC BDAC BDrr， 当且仅当,2 2 ACBDr时， ABCD S取到最大值， 则 223 1222 44 3333 P ABCDABCD VShrhhhhh， 令 3 4f hhh，则 2 34fhh，令0fh，解得 2 3 3 h， 所以f h在 2 3 0, 3 上单调递减，在 2 3 ,2 3 上单调递增， 所以 min 2 316 3 39 hh ，则四棱锥PABCD的体积的最大值为 32 3 27 . 所以当四棱锥PABCD 体积最大时， 2 2 6 4 3 rh . 12. 解析：设 AC 和 BD 交于点 E，ACD和ABC的高分别为 1 h， 2 h， ACD的面积是ABC面积的 2 倍， 21 2hh2DEEB， 2DEEB，即2CECDCBCE， 21 33 CECBCD， 又 1 32 nn CAaCBaCD， 由 A、C、E 三点共线，设CACE 21 33 CBCD， 由平面向量基本定理得： 1 2 3, 3 1 2 3 n n a a ， 1 322 nn aa，即 1 121 nn aa， 数列1 n a是以 1 12a为首项，以 2 为公比的等比数列， 1 12 22 nn n a，即21 n n a， 所以， 5 32 133a. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 5 5 14. 130 15. 28 3 16. 1ea 16因为当x0时，1 log11 x a fxaxa，所以00f，又因为fx 为偶函 数，所以fx恰有三个零点等价于fx在0 +，恰有一个零点， 令0fx， 得1=log1 x a ax， 所以1 x g xa与函数log1 a h xx的图象恰有 一个交点，因为函数yg x与函数yh x的图象关于yx对称， 解法一：由于1a，当1 x g xa的图象与直线yx相切时，设切点为 00 ,xy，则 A C D B E 2 h 1 h 高三数学（理科）参考答案 第2页（共 8 页） 0 ln1 x aa且 0 0 1 x ax，所以 0 ln lnxa， 0 1 1ln ln1 ln xa a ，设lnta，则 ln1ttt， 设lnxxxx， 则lnxx， 所以x在0,1单调递增， 在1, 单调递减，又因为11，所以ln1ta，ea，由图可知，a的取值范围为1ea 解法二：如图，由于1a，函数1 x g xa的图象与直线yx有一个公共点为0,0， 当函数1 x g xa的图象与直线yx切于原点时，ln1a，ea，由图可知，a的取 值范围为1ea 三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分. 17. 本题考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换等基础知识；考查推理论证能力、运算求解 能力等；考查函数与方程思想、化归与转化思想等满分 12 分 解： （1） 1 sin 2 SabC， 222 4 3abcS， 222 2 3sinabcabC， 1 分 在ABC中，由余弦定理，得 222 2cosabcabC， cos3sinCC， 4 分 3 tan 3 C， 0,C， 6 C. 6 分 （2）由正弦定理，得4 sinsinsin abc ABC ， 7 分 所以3ba4 3sin4sinBA 5 4 3sin()4sin 6 AA 2 3cos2sinAA 4sin() 3 A， 10 分 因为 5 (0,) 6 A，所以 7 (,) 336 A， 11 分 所以3( 2,4ba，即3ba的取值范围为( 2,4. 12 分 18. 本题考查等比数列的定义、递推数列、数列求和等基础知识；考查推理论证能力、运算求解 能力、创新意识等；考查分类与整合思想、化归与转化思想等满分 12 分 高三数学（理科）参考答案 第3页（共 8 页） 解： （1）1n当时， 111 21 2Saa， 1 3a， 1 分 当2n时，22 nn San， 11 2(1)2 nn San， 2 分 由-得， 1 22(1) nnn aaann， 1 21 nn aa ， 4 分 1 12(1) nn aa 2n， 1 140a， 1 1 2 1 n n a a ， 1 n a是首项为 4，公比为 2 的等比数列. 6 分 （2）由（1）得， 11 14 22 nn n a， 7 分 1 22 2 212 log (1)log 21 log (1)log 22 n n n n n an b an ， 8 分 112 21 nn n nn cb bnn 1111 112 2112nnnn ， 10 分 111111 222 233412 n T nn 111111 2 233412 n nn 2 1149 22 222224 nnn nn nnn . 12 分 19. 本题考查线面垂直、直线与平面所成角、二面角等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能 力、推理论证能力；考查数形结合思想、化归与转化思想等. 满分 12 分. （1）证明：由已知，得454ABCBC， 在ABC中， 22 2cos2 2ACBABCBA BCABC， 2 分 222 BCABAC，即ACAB， 3 分 PB平面PAC，AC平面PAC， PBAC， 4 分 又PBABB，AB平面PAB，PB平面PAB， AC平面PAB. 5 分 （2）解：AC平面PAB， CPA为直线PC与平面PAB所成角， 6 分 tan2 AC CPA AP ， 2PA， 高三数学（理科）参考答案 第4页（共 8 页） 在RtPAB中， 22 2PBABPA， 取AB的中点H，连结PH，则PHAB， AC平面PAB，PH平面PAB， ACPH， 又ACABA，AC平面ABCD ，AB平面ABCD PH平面ABCD， 8 分 以A点为坐标原点，建立如图空间直角坐标系Axyz， 则2, 2,0 ,2,2,0 ,0,4,0 ,1, 1, 2BCDP， 1,3,2 ,1,5,2PCPD， 设平面PCD的法向量为, ,nx y z， 则 320, 520 n PCxyz n PDxyz ，取1x，解得1,1,2 2n， 9 分 又平面PAC的法向量为1, 1,2PB， 10 分 10 cos, 5 PB n PB n PB n ， 11 分 二面角APCD的余弦值为 10 5 . 12 分 20本题考查椭圆的定义、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识；考查运算求解能力、推理论证 能力等，考查数形结合、化归与转化等数学思想. 满分 12 分. 解： （1）依题意，QFQP，则4QEQFQEQPEPEF， 3 分 所以Q的轨迹为以,E F为焦点，4为长轴长的椭圆， 所以2,3,1acb， 所以点Q的轨迹方程为 2 2 1 4 x y. 5 分 （2）依题意得直线AB的斜率存在，设直线:1(2)AB yk x，即21ykxk， 设 1122 ( ,), (,)A x yB x y， 联立 2 2 21, 1 4 ykxk x y ， 消去y并整理得 222 (1 4)8 (21)4(21)40kxkkxk 6 分 所以0， 12 2 8 (21) 1 4 kk xx k ， 2 12 2 4(21)4 1 4 k x x k ， 8 分 因为M是C与y轴正半轴的交点，所以(0,1)M， 所以 12 12 12 11yy kk xx z y x H A B C D P 高三数学（理科）参考答案 第5页（共 8 页） 1221 12 11yxyx x x 1221 12 2222kxkxkxkx x x 1212 12 221kx xkxx x x 10 分 16121 2 16 (1) k kk k k k 221kk1 所以 12 kk为定值，且定值为1. 12 分 21. 本题考查函数的极值、导数及其应用、不等式等基础知识；考查推理论证能力、运算求解 能力、创新意识等；考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等满分 12 分 解法一： （1）由ee1 xx fxaax得，ee1 xx fxaa， 1 分 即ee1e1 xxx fxa， 当0a时，当,0x时，0fx；当0,x时，0fx； 所以fx在,0单调递增，在0,单调递减，fx不存在极小值点，不合题意； 3 分 当01a时，令0fx得， 12 0,lnxxa，因为01a，所以 12 xx， 当,0x时，0fx；当0, lnxa时，0fx； 当ln ,xa时，0fx； 所以fx在,0单调递增，在0, lna单调递减，在ln , a单调递增， 所以fx存在极大值点 1 0x和极小值点 2 lnxa，符合题意； 综上，实数a的取值范围为01a 5 分 （2）由（1）知01a，且fx的极大值点为 1 0x，极小值点为 2 lnxa， 此时 1 1fxa， 2 11 lnfxaaa， 6 分 依题意，得111 lnakaaa对任意01a恒成立， 由于此时 21 0fxfx，所以0k； 7 分 所以 1 1 ln11aaa k ，即 11 ln1 1 a a ka ， 设 11 ln1 1 x g xx kx ，则 2 22 1 2 2 1 1 1 11 xx k k gx x xx ， 8 分 令 2 2 10xx k （*） ， 当1k时， 2 4 40 k ，所以0gx，g x在0,1单调递增， 所以10g ag，即 11 ln1 1 a a ka ，符合题意； 10 分 高三数学（理科）参考答案 第6页（共 8 页） 当01k时， 2 4 40 k ，设（*）的两根为 34 ,x x，且 34 xx， 则 3434 2 0,1xxx x k ，因此 34 01xx， 11 分 则当 3 1xx时，0gx，g x在 3,1 x单调递增， 所以当 3 1xa时，10g ag，即 11 ln1 1 a a ka ， 所以 12 fxkfx，矛盾，不合题意； 综上，k的取值范围是1k 12 分 解法二： （1）同解法一； （2）由（1）知01a，且fx的极大值点为 1 0x，极小值点为 2 lnxa， 此时 1 1fxa， 2 11 lnfxaaa， 6 分 依题意，得111 lnakaaa对任意01a恒成立， 设1 ln11g xk xxkx， 则 1 ln1ln1 xk gxkxkkx xx ， 22 111 k x gxk xxx ， 7 分 当0k时，当0,1x时，0gx，所以gx在0,1单调递增， 所以 110gxgk，所以gx在0,1单调递减，所以10g ag， 即111 lnakaaa，不符合题意； 8 分 当1k时， 当0,1x时，0gx，所以gx在0,1单调递减， 所以 110gxgk，所以gx在0,1单调递增，所以10g ag， 即111 lnakaaa，符合题意； 10 分 当01k时，0gx，所以gx在0,1单调递减，又因为 110gk， 11 ee2 kk gk，设 e 2 x h x x ，则当1x时， 2 1 e 0 x x hx x ， 所以h x在1,单调递增，所以 1 1e20hh k ，即 1 e0 k g， 所以 1 e 10 k gg，即gx在0,1恰有一个零点 0 x， 11 分 且当 0,1 xx时，0gx，gx在 0,1 x单调递减， 所以当 0 1xa时，10g ag，即111 lnakaaa，不合题意； 综上，k的取值范围是1k 12 分 解法三： （1）同解法一 （2）由（1）知01a，且fx的极大值点为 1 0x，极小值点为 2 lnxa， 此时 1 1fxa， 2 11 lnfxaaa， 6 分 依题意，得111 lnakaaa对任意01a恒成立， 由于此时 21 0fxfx，所以0k， 7 分 当1k时， 122 fxfxkfx，不等式成立，符合题意； 9 分 当01k时， 1 1 ln11aaa k ，即 11 ln1 1 a a ka ， 高三数学（理科）参考答案 第7页（共 8 页） 设 11 ln1 1 x g xx kx ，则 2 22 1 2 2 1 1 1 11 xx k k gx x xx ， 10 分 令 2 2 10xx k （*） ，则 2 4 40 k ，设（*）的两根为 34 ,x x，且 34 xx， 则 3434 2 0,1xxx x k ，因此 34 01xx， 11 分 则当 3 1xx时，0gx，g x在 3,1 x单调递增， 所以当 3 1xa时，10g ag，即 11 ln1 1 a a ka ， 所以 12 fxkfx，矛盾，不合题意； 综上，k的取值范围是1k 12 分 22本题考查曲线的伸缩变换的概念、极坐标方程、直线的参数方程等基础知识；考查运算求解能 力；考查数形结合、函数与方程思想满分 10 分 解： （1）将 1 , 2 xx yy ，代入 22 1xy得：曲线C的方程为 2 2 1 4 x y， 2 分 由sin()3 3 得：sin coscos sin3 33 ， 3 分 因为 cos , sin x y ，代入上式并整理得： 直线l的直角坐标方程为32 30xy 5 分 （2）因为直线l的倾斜角为 3 ，所以其垂线的倾斜角为 5 6 ， 过点1,0P