新人教版数学高一数列说课稿.doc

、数列课题：数列的通项公式教学目标：理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项，理解与的关系，培养观察能力和化归能力 教学重点：数列通项公式的意义及求法，与的关系及应用一课标要求：(一)数列的概念和简单表示法：1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)。2.了解数列是自变量为正整数的一类函数。二命题走向数列在历年高考都占有很重要的地位，一般情况下都是一至二个客观性题目和一个解答题。但是理科近几年是客观题出现，解答题不再出现。预测高考：1题型既有灵活考察基础知识的选择、填空，又有关于数列推导能力或解决生产、生活中的实际问题的解答题；2知识交汇的题目一般是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题联系的综合题，还可能涉及部分考察证明的推理题。三要点精讲1数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，序号为 的项叫第项（也叫通项）记作；数列的一般形式：，简记作 。（2）通项公式的定义：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。例如，数列的通项公式是= （7，），数列的通项公式是= （）。说明：表示数列，表示数列中的第项，= 表示数列的通项公式； 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，= =； 不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，数列的表示方法：列举法；图象法；解析法（通项公式）；递推法数列通项公式的求法：观察分析法；公式法： 转化成等差、等比数列；累加、累乘法 ；递推法。（3）数列的函数特征与图象表示：序号：1 2 3 4 5 6项 ：4 5 6 7 8 9上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数当自变量从1开始依次取值时对应的一系列函数值，通常用来代替，其图象是一群孤立点。（4）数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。（5）递推公式定义：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。四、基础自测：1.下列对数列的理解有四种：数列可以看成一个定义在N*（或它的有限子集1，2，3，n）上的函数；数列的项数是有限的； 数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；数列的通项公式是惟一的. 其中说法正确的是 （填序号）. 答案 2.设an=-n2+10n+11，则数列an从首项到第 项的和最大. 答案 10或113.(2008安徽文，15)在数列an中,an=4n-,a1+a2+an=an2+bn,nN*,其中a、b为常数，则ab= .答案 -14.已知数列an的通项公式是an=则a2a3= . 答案 205.（2008 北京理，6）已知数列an对任意的p,qN*满足ap+q=ap+aq且a2=-6,那么a10= .答案 -30五、典例分析： 题型1：数列概念 注意：用函数的观点处理数列问题例1 写出下面各数列的一个通项公式：（1）3，5，7，9，； （2），；（3）-1，-，-，； （4），-1，-，-，；（5）3，33，333，3 333，.解 （1）各项减去1后为正偶数，所以an=2n+1.（2）每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21，22，23，24，所以an=.（3）奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子（-1）n；各项绝对值的分母组成数列1，2，3，4，；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2-1，偶数项为2+1，所以an=（-1）n.也可写为an=.（4）偶数项为负，奇数项为正，故通项公式必含因子（-1）n+1，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7，9，11，13组成，而分子则是32+1，42+1，52+1，62+1，按照这样的规律第1、2两项可改写为，-，所以an=(-1)n+1.（5）将数列各项改写为，分母都是3，而分子分别是10-1,102-1,103-1,104-1,所以an=(10n-1).点评：每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号到另一个数集的对应关系，这对考生的归纳推理能力有较高的要求。例2数列中，已知，（1）写出，； （2）是否是数列中的项？若是，是第几项？解析：（1），； （2）令，解方程得， 即为该数列的第15项。增加一个小题：讨论这个数列的增减性。点评：该题考察数列通项的定义，会判断数列项的归属。练习： 1、，； 写出数列的一个通项公式： 思考：等和数列、等积数列，当然也可以与等差数列、等比数列对比。 （1）、已知数列满足，求数列的通项公式。 （2）、已知数列满足，求数列的通项公式。 （3）、数列an中，a1=2,a2=3,且anan+1是以3为公比的等比数列，记bn=a2n-1+a2n (nN*).(1)求a3,a4,a5,a6的值； （2）求证：bn是等比数列.解 anan+1是公比为3的等比数列，anan+1=a1a23n-1=23n，a3=6，a4=9，a5=18，a6=27.证明 anan+1是公比为3的等比数列，anan+1=3an-1an，即an+1=3an-1，a1，a3，a5,，a2n-1，与a2,a4,a6，a2n，都是公比为3的等比数列.a2n-1=23n-1,a2n=33n-1，bn=a2n-1+a2n=53n-1.=3，故bn是以5为首项，3为公比的等比数列.反思：有关相邻两项的和、积等问题，往往需要分奇数项、偶数项讨论。（4）、数列an中，a1=1，对于所有的n2，nN都有a1a2a3an=n2，则a3+a5等于A. B.C.D.答案：A解析一：令n=2、3、4、5，分别求出a3=，a5=，a3+a5=.解析二：当n2时，a1a2a3an=n2.当n3时，a1a2a3an1=（n1）2.两式相除an=（）2，a3=，a5=.a3+a5=.2、根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：（1）， （2），2，8，（3）5，55，555，5 555，55 555， （4）5，0，-5，0，5，0，-5，0，（5）1，3，7，15，31，解（1）这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解成13，35，57，79，911，每一项都是两个相邻奇数的乘积，经过组合，则所求数列的通项公式an=.（2）数列的项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察：，可得通项公式an=.（3）联想=10n-1,则an=(10n-1),即an= (10n-1).（4）数列的各项都具有周期性，联想基本数列1，0，-1，0，则an=5sin.（5）1=2-1，3=22-1，7=23-1，an=2n-1故所求数列的通项公式为an=2n-1.3、数列的通项试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的项数；若没有，说明理由解：当n9时，； 当时，当n9时， ，故， 数列中最大项为或.其值为，其项数为9或10【点评】因为是的函数，难点在于是一个一次函数和一个指数函数的积，不好确定其增减性，故从比较与的大小入手，当然也可以转化为连续函数，通过导数判断。题型2：数列的递推公式-如何建立递推关系式也是一个难点由递推公式求通项公式,常化归为等差等比数列,或用利用迭加an-an-1=f(n)、迭乘an/an-1=f(n)、迭代等方法.例1如图,一粒子在区域上运动,在第一秒内它从原点运动到点,接着按图中箭头所示方向在x轴、y轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度。（1）设粒子从原点到达点时，所经过的时间分别为，试写出的通相公式；（2）求粒子从原点运动到点时所需的时间；（3）粒子从原点开始运动，求经过2004秒后，它所处的坐标。解析：(1) 由图形可设，当粒子从原点到达时，明显有 , 。,。,即。 （2）有图形知，粒子从原点运动到点时所需的时间是到达点所经过得时间 再加（4416）28秒，所以秒。（3）由2004，解得，取最大得n=44，经计算，得19802004，从而粒子从原点开始运动，经过1980秒后到达点，再向左运行24秒所到达的点的坐标为（20，44）。点评：从起始项入手，逐步展开解题思维。由特殊到一般，探索出数列的递推关系式，这是解答数列问题一般方法，也是历年高考命题的热点所在。例2（1）已知数列适合：，写出前五项并写出其通项公式； （2）用上面的数列，通过等式构造新数列，写出，并写出的前5项。解：（1） ，； （2）， ，点评：会根据数列的前几项写出数列的一个通项公式，了解递推公式是给出数列的又一种重要方法，能根据递推公式写出数列的前几项。例3：已知数列中，求通项公式.【解法一】迭代法：【解法二】累加法：由已知，各式相加得，【点评】解法一是迭代法,这是处理由递推式求通项问题的通法通解;解法二累加法适用于型的问题。【变式与拓展】（08江西卷5）在数列中， ，求通项.【答案】.例4：设数列是首项为1的正项数列,且,求数列的通项公式.解：由题意知,由得,因,得,所以,即,到此可采用:【解法一】因为，所以，从而.【解法二】所以 .【解法三】因为，所以，故数列是常数列，.【点评】解法一是迭代法,这是处理由递推式求通项问题的通法通解,解法二是累乘法,适合由条件求通项的题型,解法三是构造法,根据条件特点构造特殊数列求通项,技巧性较强,体现了转化思想.【变式与拓展】(04重庆) 在数列中.,求.【答案】。提示：构造等比数列，在累加求和。例5、已知数列中,求的通项公式.【解法一】迭代法 【解法二】转化法:.又,故数列是首项为2,公比为2的等比数列.,即.【解法三】引入新数列:,两式做差得:,故数列是首项为公比为2的等比数列,即,再用累加法得.【点评】解法一是迭代法,这是处理由递推式求通项问题的通法通解;解法二通过构造特殊数列求通项,对于型的,可转化为,其中,求出等比数列的通项,再求,解法三也是通过做差构造新的数列,达到求解目的.练习：根据下列各个数列的首项和递推关系，求其通项公式： ,；，；，； ，题型三：由前n项和求通项公式：例1（14分）、已知数列an的前n项和Sn满足an+2SnSn-1=0 (n2),a1=,求an.解 当n2时，an=Sn-Sn-1,Sn-Sn-1+2SnSn-1=0，即-=2， 4分数列是公差为2的等差数列. 6分；又S1=a1=，=2，=2+（n-1）2=2n，Sn=. 10分 当n2时，an=-2SnSn-1=-2=-， 12分 an=. 14分练习：1、已知数列an中，a1=1,前n项和为Sn，对任意的n2,3Sn-4,an,2-总成等差数列.（1）求a2、a3、a4的值；（2）求通项公式an.解 （1）当n2时，3Sn-4,an,2-成等差数列，2an=3Sn-4+2-Sn-1，an=3Sn-4（n2）.由a1=1,得a2=3(1+a2)-4,a2=,a3=3-4,a3=-,a4=3-4,a4=.a2=，a3=-，a4=.（2）当n2时，an=3Sn-4,3Sn=an+4,可得:3an+1=an+1-an,=-，a2，a3，an成等比数列，an=a2qn-2=-，an=.本题第三小题很容易做出没有分类的情况。利用an 与Sn的关系，不要忘记验证a1 能否与n2时an的式子统一;2、数列的各项都为正数，且满足，求数列的通项公式。【解法一】由得化简得，因为，又得，故是以1为首项，2为公差的等差数列，所以。【解法二】由上可知化简可得即，又，所以，从而，所以，也适合，故。【点评】知和的关系式求通项，一般有两个思路，思路一利用这一关系式转化为的关系求通项；思路二利用转化为的关系求出再求通项，注意对的讨论。【变式与拓展】在数列中，求.【答案】这个前n项和的形式可以多样。【变式与拓展2】（07山东）设数列满足，求数列的通项公式。 【答案】.题型四：应用例6：求数列中的最大项； 已知数列的通项公式，求为何值时，取最大值.例7：设，又知数列的通项满足，试求数列的通项公式；判断数列的增减性. 课后练习：1、根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn（万件）近似地满足关系式Sn=（21nn25）（n=1，2，12），按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是A.5、6月B.6、7月C.7、8月D.8、9月C 解法一：由Sn解出an=（n2+15n9），再解不等式（n2+15n9）1.5，得6n9. 解法二：将选项中的月份代入计算验证.2.数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，的第100项是 .答案 143.数列an中，a1=1,对于所有的n2，nN*都有a1a2a3an=n2，则a3+a5= .答案 4.数列-1,，-，的一个通项公式是 .答案 an=(-1)n5.下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖 块.（用含n的代数式表示）答案 4n+86.已知数列an的前n项和Sn=n2-9n，第k项满足5ak8，则k= .答案 87.若数列an的通项公式an=，记f（n）=2(1-a1)(1-a2)(1-an)，试通过计算f(1),f(2),f(3)的值，推测出f(n)= (用含n的代数式表示）.答案 8.（2008沈阳模拟）数列an满足an+1=a1=，则数列的第2 008项为 .答案 9.已知数列an中,a1=1,(n+1)an=nan+1,则数列an的一个通项公式an= .答案 n二、解答题10、已知函数f（x）=2x-2-x，数列an满足f（log2an）=-2n.（1）求数列an的通项公式；（2）求证：数列an是递减数列.（1）解 f（x）=2x-2-x，f（log2an）=2-2=-2n，即an-=-2n.a+2nan-1=0.an=，又an0，an=-n.（2）证明 an0，且an=-n,=1.an+1an.即an为递减数列.11、已知在正项数列an中，Sn表示前n项和且2=an+1，求an.解 2=an+1,Sn=(a+2an+1),Sn-1=(a+2an-1+1),当n2时，an=Sn-Sn-1=（a-a）+2（an-an-1），整理可得：（an+an-1）（an-an-1-2）=0，an0，an-an-1=2，当n=1时，a1=1,an是以1为首项，2为公差的等差数列. an=2n-1 (nN*).12.已知数列an的前n项和为Sn，满足log2(1+Sn)=n+1,求数列的通项公式.解 Sn满足log2(1+Sn)=n+1,1+Sn=2n+1,Sn=2n+1-1.a1=3,an=Sn-Sn-1=(2n+1-1)-(2n-1)=2n (n2),an的通项公式为an=13.在数列an中，a1=，an=1-(n2,nN*)，数列an的前n项和为Sn.（1）求证：an+3=an;(2）求a2 008.（1）证明 an+3=1-=1-=1-=1-=1-=1-=1-(1-an)=an.an+3=an.（2）解 由（1）知数列an的周期T=3，a1=，a2=-1，a3=2.又a2 008=a3669+1=a1=.a2 008=.14.已知二次函数f(x)=x2-ax+a (xR)同时满足：不等式f(x)0的解集有且只有一个元素；在定义域内存在0x1x2,使得不等式