实际问题与二次函数与二次函数的图象和性质(2.ppt

(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象 向 平移 个单位得到；y=4x2-11的图象 可由 y=4x2的图象向 平移 个单位得到。 （3）将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的 抛物线的函数式是 。 将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的 抛物线的函数式是 。 (2)将函数y=-3x2+4的图象向 平移 个单位可得 y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向 平移 个 单位得到可由 y=2x2的图象。将y=x2-7的图象 向 平移 个单位可得到 y=x2+2的图象。 上5 下11 下4 上7 上9 y=4x2+3 y=-5x2-4 （4）抛物线y=-3x2+5的开口 ，对称轴是 ， 顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ， 当x= 时，取得最 值，这个值等于 。 6.二次函数y=ax2+c (a0)的图象经过点A（1，-1），B （2，5），则函数y=ax2+c的表达式为 。若 点C(-2,m),D（n ,7）也在函数的图象上，则点C的坐标 为 点D的坐标为 . （5）抛物线y=7x2-3的开口 ，对称轴是 ， 顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大 而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ， 当x= 时，取得最 值，这个值等于 。 下y轴 (0,5) 减小 增大 0大 5 上y轴 (0,-3) 减小 增大 0 小 -3 y=2x2-3 (-2,5)或 （2）已知二次函数y=ax2+c ，当x取x1,x2(x1x2, x1,x2分别是A,B两点的横坐标)时，函数值相等， 则当x取x1+x2时，函数值为 （ ） A. a+c B. a-c C. c D. c D (3) 函数y=ax2-a与y= 在同一直角坐标系中的图象可能是 （ ） A (4) 一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线 运行，然后准确落入蓝筐内，已知蓝筐的中心离地面的 距离为3.05m。 1、球在空中运行的最大高度是多少米？ 2、如果运动员跳投时，球出手离地面的高度 为2.25m ， 则他离篮筐中心的水平距离AB是多少？ 某商品现在的售价为每件60元，每星期 可卖出300件，市场调查反映：每涨价1 元，每星期少卖出10件；每降价1元，每 星期可多卖出18件，已知商品的进价为 每件40元，如何定价才能使利润最大？ 分析:调整价格包括涨价和降价两种情况 先来看涨价的情况：设每件涨价x元，则每星期售出商 品的利润y也随之变化，我们先来确定y与x的函数关系式 。涨价x元时则每星期少卖 件，实际卖出 件,销 额为 元，买进商品需付 元因 此，所得利润为 元 10x (300-10x) (60+x)(300-10x)40(300- 10x) y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x) 即 (0X30) (0X30) 可以看出，这个函数的 图像是一条抛物线的一 部分，这条抛物线的顶 点是函数图像的最高点 ，也就是说当x取顶点 坐标的横坐标时，这个 函数有最大值。由公式 可以求出顶点的横坐标 . 所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元 在降价的情况下，最大利润是多少？ 请你参考（1）的过程得出答案。 解：设降价x元时利润最大，则每星期可多卖18x件，实 际卖出（300+18x)件，销售额为(60-x)(300+18x)元，买 进商品需付40(300-10x)元，因此，得利润 答：定价为 元时，利润最大，最大利润为6050元 做一做 由(1)(2)的讨论及现在的销售 情况,你知道应该如何定价能 使利润最大了吗? (0x20) （1）列出二次函数的解析式，并根 据自变量的实际意义，确定自变量的 取值范围； （2）在自变量的取值范围内，运用 公式法或通过配方求出二次函数的最 大值或最小值。 1.在2006年青岛崂山北宅樱桃节前夕，某果品批发公司为 指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查 统计，得到如下数据： 销售价 x（元/千克 ） 25242322 销售量 y（千克） 2000250030003500 （1）在如图的直角坐标系内，作出各组 有序数对（x，y）所对应的点连接各 点并观察所得的图形，判断y与x之间的 函数关系，并求出y与x之间的函 数关系式； （2）若樱桃进价为13元/千克，试求销 售利润P（元）与销售价x (元/千克)之间 的函数关系式，并求出当x取何值时，P 的值最大？ 解：（1）正确描点、连线由图象可知，y是x的一次 函数设 ykxb ， 点（25，2000），（24，2500）在图象上， 解之得： y 500x14500 （2）P（x13）y（x13）（500 x14500 ） 500 x 221000 x188500500（x21）2 32000 P与x的函数关系式为P500 x 221000 x 188500，当销售价为21元/千克时，能获得最大利润 (03河北） 2：某高科技发展公司投资500万元，成功研制出一种 市场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金1500万元进行批 量生产。已知生产每件产品的成本为40元，在销售过程中发现： 当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；销售单价每增加 10元，年销售量将减少1万件，设销售单价为x元，年销售量为y万 件，年获利（年获利年销售额生产成本投资）z万元。 （1）试写出y与x之间的函数关系式；（不必写出的取值范围） （2）试写出z与x之间的函数关系式；（不必写出的取值范围） （3）计算销售单价为160元时的年获利，并说明同样的年获利， 销售单价还可以定为多少元？相应的年销售量分别为多少万件？ （4）公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售 ，第二年年获利不低于1130万元。请你借助函数的大致图象说明 ，第二年的销售单价x（元）应确定在什么范围内？ 解：（1）依题意知，当销售单价定为x元时，年销售量减 少 (x-100)万件. y=20- (x-100) = - x+30. 即y与x之间的函数关系式是: y = - x+30. （2）由题意，得：z = (30- )(x-40)-500-1500 = - x2+34x-3200. 即z与x之间的函数关系式是: z = - x2+34x-3200. (3) 当x取160时，z= - 1602+34160-3200 = - 320. - 320 = - x2+34x-3200. 整理，得x2-340+28800=0. 由根与系数的关系，得 160+x=340. x=180. 即同样的年获利，销售单价还可以定为180元. 当x=160时，y= - 160+30=14; 当x=180时，y= - 180+30=12. 即相应的年销售量分别为14万件和12万件. 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 （4）z = - x2+34x-3200= - (x-170)2-310. 当x=170时，z取最大值，最大值为-310. 也就是说：当销售单价定为170元时，年获利最大，并 且到第一年底公司还差310万元就可以收回全部投资. 第二年的销售单价定为x元时，则年获利为： z = (30- x)(x-40)-310 = - x2+34x-1510. 当z =1130时，即1130 = - x2+34x -1510. 整理，得 x2-340x+26400=0. 解得 x1=120, x2=220. 函数z = - x2+34x-1510的图象大致如图所示：由图 象可以看出：当120x220时，z1130. 所以第二年的销售单价应确定在不低于120元且不高于 220元的范围内. 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 O O 120170 220x(元) z(万元) 1380 1130 例：某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套。经过一段时间 的经营发现：当每套机械设备的月租金为270元时，恰好全部租 出。在此基础上，当每套设备的月租金每提高10元时，这种设备 就少租出一套，且没租出的一套设备每月需支出费用（维护费、 管理费等）20元。设每套设备的月租金为x（元），租赁公司出 租该型号设备的月收益（收益租金收入支出费用）为y（元 ）。 （1）用含x的代数式表示未出租的设备数（套）以及所有未出租 设备（套）的支出费 （2）求y与x之间的二次函数关系式； （3）当月租金分别为300元和350元式，租赁公司的月收益分别 是多少元？此时应该出租多少套机械设备？请你简要说明理由； （4）请把（2）中所求出的二次函数配方成 的形式，并据此说明：当x为何值时，租赁公司出租该型号设备 的月收益最大？最大月收益是多少？ 解：（1）未租出的设备为 套，所有未出租设备支出的费 用为（2x540）元； （2） （3）当月租金为300元时，租赁公司的月收益为11040元，此时 租出设备37套；当月租金为350元时，租赁公司的月收益为11040 元，此时租出设备32套。因为出租37套和32套设备获得同样的收 益，如果考虑减少设备的磨损，应该选择出租32套；如果考虑市 场占有率，应该选择37套； （4） 当x325时，y有最大值11102.5。 但是当月租金为325元时，出租设备的套数为34. 5套，而34.5不 是整数，故出租设备应为34（套）或35（套）。即当月租金为 330元（租出34套）或月租金为320元（租出35套）时，租赁公司 的月收益最大，最大月收益均为11100元。 例：（07河北）某超市销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为 每箱40元，生产厂家要求每箱的售价在40元70元之间市 场调查发现：若每箱50元销售，平均每天可销售90箱，价格 每降低1元，平均每天多销售3箱；价格每升高1元，平均每 天少销售3箱 （1）写出平均每天的销售量y（箱）与每箱售价x（元）之 间的函数关系式（注明自变量x的取值范围）； （2）求出超市平均每天销售这种牛奶的利润W（元）与每 箱牛奶的售价x（元）之间的二次函数关系式（每箱的利润= 售价进价）； （3）请把（2）中所求出的二次函数配方成 的形式，并指出当x=40、70时，W的值 （4）在坐标系中画出（2）中二次函数的图象，请你观察图 象说明：当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？最大 利润为多少？ 解：（1）y=2403x；（2）W=3x2+360x9600 （40x70）；（3）W=3（x60）2+ 1200当 x =40时，W=0；当x =70时，W=900（4）图象略 由图象可知：当售价为60元时，最大销售利润为1 200元 一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离 地面高 米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球 出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮 球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米。 问此球能否投中？ 3米 8米 4米 4米 8 （4，4） 如图，建立平面 直角坐标系 ，点（4，4）是图中这段抛 物线的顶点，因此可设这段 抛物线对应的函数为： (0x8) (0x8) 篮圈中心距离地面3米 此球不能投中 若假设出手的角度和力度都不变, 则如何才能使此球命中? 探究 （1）跳得高一点 （2）向前平移一点 y x （4，4） （8，3） 在出手角度和力度都不变的情况下,小明的出手高度 为多少时能将篮球投入篮圈? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y X （8，3） （5，4） （4，4） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 在出手角度、力度及高度都不变的情况下，则小明朝 着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投 入篮圈？ (，） 例：某跳水运动员进行10米跳台训练时，身体（看成一点）在空 中的运动路线是一条抛物线如图所示（图中标出的数据为已知条 件），在跳某个 规范动作时，通常情况下，该运动员在空中的最 高处距水面10 m,入水处距池边的距离为4 m，运动员在距水面 高度为5 m以前，必须完成规范的翻腾动作，并调整好入水姿势 ，否则就会出现失误。 2 3 （1）求这条抛物线对应 的二次函数解析式 （2)在某次试跳时，测得运动员 在空中的运动路线是（1）中的抛物线且 运动员在空中调整好入水姿势时，距池边 的水平距离为3 m，问此次跳水会不会失误， 通过计算说明理由。 2 5 3m 10m 1m 跳 台 支 柱 水面 池边 B y A x 解：（1）在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水 点位B，抛物线的关系式为：y=ax2+bx+c 由题意知，O、B两点的坐标依次为（0，0），（2，- 10）且顶点的纵坐标为 2 3 c=0 4a 4ac-b2 = 2 3 4a+2b+c=-10 解得： a=- 25 6 b= 10 3 c=0 或 a=- 3 2 b=-2 c=0 抛物线对称轴在 y轴右 侧，- 0 b 2a 又抛物线开口向下，a0,b0 a=- b= c=0 25 6 10 3 抛物线关系式为y=- x2+ x 25 6 10 3 (2)当运动员在空中距池边的水平距离为3 m,即3 - 2= 时，y=(- ) ( )2+ =- 5 3 5 3 8 5 25 6 8 5 10 3 8 53 16 此时运动员距水面的高为10- = 3 16 14 3 因此此次跳水会出现失误 例： （05河北）某食品零售店为仪器厂代销一种面 包，未售出的面包可退回厂家，以统计销售情况发现 ，当这种面包的单价定为7角时，每天卖出160个。 在此基础上，这种面包的单价每提高1角时，该零售 店每天就会少卖出20个。考虑了所有因素后该零售店 每个面包的成本是5角。 设这种面包的单价为x（角），零售店每天销售这种 面包所获得的利润为y（角）。 用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出 的面包个数； 求y与x之间的函数关系式； 当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面 包获得的利润最大？最大利润为多少？ 解：每个面包的利润为(x5)角，卖出的面包个数为 （30020x）（或160（x7）20） （2） 即： （3） 当x=10时，y的最大值为500。 当每个面包单价定为10角时，该零售店每天获得 的利润最大，最大利润为500角 例： （06河北）利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这 里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算 ，未售出的由厂家负责处理）当每吨售价为260元时，月销 售量为45吨该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式 进行促销经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销 售量就会增加7. 5吨综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材 料共需支付厂家及其它费用100元设每吨材料售价为x（元） ，该经销店的月利润为y（元） （1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量； （2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）； （3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？ （4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大”你认为 对吗？请说明理由 解：（1） =60（吨） （2） 化简得： （3） 利达经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨21元 （4）我认为，小静说的不对 理由：方法一：当月利润最大时，x为210元， 而对于月销售额 来说，当x为160元时，月销售额W最大当x为210元时，月 销售额W不是最大 小静说的不对 方法二：当月利润最大时，x为210元，此时，月销售额为 17325元；而当x为200元时，月销售额为18000元17325 18000，当月利润最大时，月销售额W不是最大 小静说的不对 例：图141是某段河床横断面的示意图查阅该河段的水文资料，得到下表中 的数据： （1）请你以上表中的各对数据（x，y）作为点的坐标，尝试在图142所示的 坐标系中画出y关于x的函数图象； （2） 填写下表： 60x /m 图142 y/ m 20 4 6 10 12 14 1030 40O50 2 8 根据所填表中数据呈现的规律，猜想出用x表示y 的二次函数表达式： （3）当水面宽度为36 m时，一艘吃水深度（船底部到水面 的距离）为1.8 m的货船能否在这个河段安全通过？为什么 ？ 解：（1）图象如下图所示. O 102030405060 x/m 2 14 12 10