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北京数 学 试 卷 19已知：平行四边形ABCD的对角线交点为O，点 E、 F分别在边AB、CD上，分别沿DE、BF折叠四边 形ABCD，A、C两点恰好都落在O点处，且四边 形DEBF为菱形（如图） （1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）在四边形ABCD中，求的 值 20如图，AB为O的直径，C为O上一点，AD和过C点的切线互 相垂直，垂足为D，AD交O于点E.（1）求证：AC平分DAB； （2）若B=60，CD=，求AE的长。 22实践与操作：如图1是以正方形两顶点为圆心，边长为半径，画两 段相等的圆弧而成 的轴对称图形，图2是以图1为基本图案经过图形变换拼成的一个中心 对称图形 （1） 请你仿照图1，用两段相等圆弧（小于或等于半圆），在 图3中重新设计一个不同的轴对 称图形 （2）以你在图3中所画的图形为基本图案，经过图形变换在图4中拼 成一个中心对称图形 23已知：关于的一元二次方程（m为实数）（1）若方程有两个不相等 的实数根，求的取值范围（2）在（1）的条件下，求证：无论取何值， 抛物线总过 轴上的一个固定点（3）若是整数，且关于的一元二次方程 有两个不相等的 整数根，把抛物线向右平移3个单位长度求平移后的 解析式 24如图1，ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分 别在AB、AC边 上，此时BD=CF，BDCF成立 （1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转（090）时，如图2， BD=CF成立吗？ 若成立，请证明；若不成立，请说明理由 （2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45时，如图3，延长BD交CF 于点G 求证：BDCF； 当AB=4，AD=时，求线段BG的长 25概念：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小 值叫做线段a与 线段b的距离 已知O（0，0），A（4，0），B（m，n）， C（m+4，n）是平面直角坐 标系中四点 第3答案（1）证明：连接OE， 四边形ABCD是平行四边形， DO=OB， 1分 四边形DEBF是菱形， DE=BE， 2分 EOBD， DOE=90， 即DAE=90， 又四边形ABCD是平行四边形，四边形ABCD是矩形 3分 （2）四边形DEBF是菱形，FDB=EDB， 又由题意知EDB=EDA，由（1）知四边形ABCD是矩 形， ADF=90，即FDB+EDB+ADE=90，则 ADB=60， 在RtADB中，有AD：AB=1：，又BC=AD，则 （1）根据上述概念，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距 离是 ； 当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离（即线段AB 长）为 ； （2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段 OA的距离记为d， 求d关于m的函数解析式 （3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC 的中点为M， 求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长； 点D的坐标为（0，2），m0，n0，作MNx轴，垂足为H，是 否存在m的值 使以A、M、H为顶点的三角形与AOD相似？若存在，求出m的 值；若不存在 请 说明理由 20（1）证明：如图1，连接OC， CD为O的切线 OCCD ADCD ADOC 1=2 OA=OC 2=3 1=3 即AC平分DAB. 5分 （2）如图2 AB为O的直径ACB=90 又B=601=3=30 在RtACD中，CD= AC=2CD= 在RtABC中，AC= 4分 连接OE EAO=23=60，OA=OE EAO是等边三角形 AE=OA=4. 5分 22（1）在图3中设计出符合题目要求的图形2分 （2）在图4中画出符合题目要求的图形5分 23 方程有两个不相等的实数根, . , m的取值范围是.2分 （2）证明：令得，. . 第4 ，. 4分 抛物线与x轴的交点坐标为（），（）, 无论m取何值，抛物线总过定点（）. 5 分 （3）是整数 只需是整数. 是整数，且, . 6分 当时，抛物线为 把它的图象向右平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为 . 7分 24 （1）BD=CF成立 理由：ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方 形， AB=AC，AD=AF，BAC=DAF=90， BAD=BACDAC，CAF=DAFDAC， BAD=CAF，在BAD和CAF中， BADCAF（SAS）BD=CF 2分 （2）证明：设BG交AC于点M BADCAF（已证）， ABM=GCMBMA=CMG， BMACMGBGC=BAC=90 BDCF4分 过点F作FNAC于点N 在正方形ADEF中，AD=DE=， AE=2， AN=FN= AE=1 在等腰直角ABC 中，AB=4， CN=ACAN=3，BC=4 在RtFCN中，tanFCN= 在RtABM中，tanABM=tanFCN= 第5AM= AB= CM=ACAM=4 = ，BM= =5分 BMACMG， CG= 6分 在RtBGC中，BG= 7分 25（1）当m=2，n=2时， 如题图1，线段BC与线段OA的距离等于平行线 之间的距离，即为2； 当m=5，n=2时， B点坐标为（5，2），线段BC与线段OA的距 离，即为线段AB的长， 如答图1，过点B作BNx轴于点N，则AN=1，BN=2， 在RtABN中，由勾股定理得：AB=2分 （2）如答图2所示，当点B落在A上时，m的取值范围为2m6： 当4m6，显然线段BC与线段OA的距离等于A半径，即d=2； 当2m4时，作BNx轴于点N，线段BC与线段OA的距离等于 BN 长， ON=m，AN=OA-ON=4-m，在RtABN中， 由勾股定理得： d=4分 （3）依题意画出图形，点M的运动轨迹如答图3中 粗体实线 所示:由图可见，封闭图形由上下两段长度为8的 线段， 以及左右两侧半 径为2的半圆所组成，其周长为： 28+22=16+4， 点M随线段BC运动所围成的封闭图 形的周长为：16+4 5分 结论：存 在 m0， n0，点M位于第 一象限 A（4， 0），D（0，2）， OA=2OD 如图4所示，相似三角形有三种情形： （I）AM1H1，此时点M纵坐标为2，点H在A点左侧 如图，OH1=m+2，M1H1=2，AH1=OA-OH1=2-m， 由相似关系可知，M1H1=2AH1，即2=2（2-m）， m=1；6分 （II）AM2H2，此时点M纵坐标为2，点H在A点右侧 如图，OH2=m+2，M2H2=2，AH2=OH2-OA=m-2， 第6由相似关系可知，M2H2=2AH2，即2=2（m-2）， m=3；7分 （III）AM3H3，此时点B落在A上 如图，OH3=m+2，AH3=OH3-OA=m-2， 过点B作BNx轴于点N，则BN=M3H3=n，AN=m-4， 由相似关系可知，AH3=2