近世代数课件--4.2.唯一分解环.ppt

2.唯一分解环 2.1 定义与例子 2.2 等价条件 2.3 典型分解 2.4 最大公因子与互素 2.1 定义与例子 由于上一节的例我们知道，在一个整环里 唯一分解定理未必成立。但是我们也知道，在 有些整环里，比方说整数环里，这个定理是成 立的。 定义1 一个整环 叫做一个唯一分解环，假 如 的每一个既不等于零又不是单位的元都有唯 一分解, 即: （）分解性. a 既不等于零又不是单位的元a可 以分解 （）唯一性. 若同时还有 那么 并且我们可以把 的次序掉换一下，使得 例1. 举正反例子 例2. 在唯一分解环 , 每一个非零元a 的因子, 在相伴的意义下只有有限多个. 证明: (1) 如果a是单位, 那么, a 的因子只有单位, 所 有单位都相伴的(?). 因此, a 的因子, 在相伴的 意义下只有一个. (2) 如果a不是单位, a可以分解 a 的因子只有下面的形式: 不相伴因子总数不超过 个 说明: 不同类因子不相伴, 同类因子可能相伴. 一个唯一分解环有下面重要性质。 定理 1 一个唯一分解环有以下性质； （）若一个素元 能够整除 ，那么 能够整除 或 。 注: 在一个非唯一分解环, 一个非零元a 的 因子, 可以有无穷多个不相伴的(吴品三 ,p181). 证明 能够整除 (1) 当 之中有一个是零或是单位的时候，定 理也是对的。若 ，那么 。若 是单位 ，那么 (2) 和 都不是零元，也都不是单位。这时 c显然不等于零。我们说c又不是一个单位。不 然的话 而由，1定理2， 是素元。这就是说，素元 可以写成两个非单位的乘积，因而有真因子。这 是矛盾。 c既不是零又不是单位，由唯一分解环的定义， 另一方面 这样， 由唯一分解的定义， 一定是某一个 或某一 个 的相伴元。 若 是某一个 的相伴元，那么 同样若 是 某一个的相伴元，那么 。 这样， 能够整除 中的一个。 证完 2.2 等价条件 性质（）的重要性由以下定理可以看出。 定理 2 假定一个整环 有以下性质： （） 的每一个既不是零也不是单位的元 都有 一个分解 （） 的一个素元 若能整除 ，那么 能整 除 或 。 那么, 一定是一个唯一分解环。 证明 我们看 的一个不等于零也不是单位的元 。由性质（）， 有一个分解 我们须要证明， 有唯一分解；就是说，假定我 们也有 那么 ，并且我们可以把这些 的次序掉换一下 ，使得 是 的相伴元。我们对素因子的个数r, 应 用第二型归纳法。 (1) 时, 如果 若是 ，那么 其中 不是单位，而 作为素元的乘积也 不是单位。这就是说，素元 可以写成两个非 单位的乘积，这不可能。 所以 , 定理成立。 (2) 假如, 定理对能写成 个素元的乘积的 元都成立, 即都有唯一分解。 在这个假定之下，我们看一个元 的两种分解： 由性质（）， 能够整除某一个 ；把 的次序换一换， 我们可以假定 ，但 是素元， 不是单 位，所以 这样 这里b是 个素元的乘积，所以依照归纳法 假定， 而且我们可以把 的次序掉换一下，使得 这样我们得到 证完 注 由定理1，2，我们也可以用条件（），（ ）来作唯一分解的定义。 2.3 典型分解 在唯一分解环中, 每一个既不是零也不是单位的 元 都有分解 称为典型分解. 2.4 最大公因子与互素 定义2 (公因子) 元 叫做元 的 公因子，假如c同时能够整除 。 定义3 (最大公因子) 元 叫做 的最 大公因子,假如: (1) 元 是元 的公因子. (2) 的每一个公因子也是 的因子。 例2. 整环中,两个元的最大公因子不一定存在. 唯一分解环的另一重要性质是最大公因子的存在。 定理 3 一个唯一分解环 的两个元 和b在 里 一定有最大公因子。 和b的两个最大公因子d 和 只能差一个单位因子： 证明 若 之中有一个是零，比方说 ，那 么b显然是一个最大公因子。若是 之中一个 单位，比方说 是单位，那么 显然是最大公 因子。 (首先在Z中介绍一个例子) 现在看 和b都不是零也不是单位是的情 形。适当改变典型分解的形式, 可以得到: 用 来表示 与 中较小的一个（ 的 时候就叫 ）而作元 那么显然 . 进一步,可以证明d是最大公因子. 假定 也是 和b的最大公因子，那么 当且仅当 证完 从这个定理用归纳法立刻可以得到 推论 一个唯一分解环 的n个元 在 里一定有最大公因子。 的两个最大公 因子只能差一个单位因子。 这样，若是几个元的某一个最大公因子是一个单 位，这几个元的任何一个最大公因子也是一个单位 。利用这一件事实，我们可以在一个唯一分解环里 规定互素这一个概念。 定义4 我们说，一个唯一分解环的院 互