平均指标-1(算数平均、调和平均).ppt

一、平均指标的概念、作用和表现形式 v平均指标：反映客观现象总体单位数量标志表现 一般水平的综合指标，是同质总体各单位某一标 志值在一定时间、地点、条件下的一般水平的代 表值。又称平均数。 v特点： 1、将数量差异抽象化，只反映一般水平； 2、总体各单位标志值分布集中趋势的特征值（一般“两 头小、中间大”，越靠近平均数的标志值次数越多）； 3、只能就同类现象（同一标志）计算。 第二节 平均指标 v反映总体各单位变量分布的集中趋势； v比较同类现象在不同单位发展的一般水平； v比较同一单位的同类指标在不同时期的发展状 况； v分析现象之间的依存关系等。 平均指标的作用 第二节 平均指标 一、平均指标的概念、作用和表现形式 v表现形式： 1. 根据分布数列中各单位的标志值计算而来的 ，称数值平均数。包括算术平均数、调和平 均数、几何平均数等 2. 根据分布数列中的某些标志值所处的位置来 确定的，称位置平均数。包括众数、中位数 、四分位数等。 第二节 平均指标 算术平均数 调和平均数 几何平均数 中位数 众数 数值平均数 位置平均数 平均指标的种类 第二节 平均指标 基本形式基本形式 注意区分算术平均数与强度相对数注意区分算术平均数与强度相对数 算术平均数 直 接 承 担 者 第二节 平均指标 v 指标的含义不同。强度相对指标说明的是某一现象在另 一现象中发展的强度、密度或普遍程度；而平均指标说 明的是现象发展的一般水平。 v 计算方法不同。强度相对指标与平均指标，虽然都是两 个有联系的总量指标之比，但是，强度相对指标分子与 分母的联系，只表现为一种经济关系；而平均指标是在 一个同质总体内标志总量与单位总量的对比。分子是各 单位标志值的总和，分母是单位总数，对比结果是反映 总体各单位某一标志值的平均数。 强度相对指标与平均指标的区别 第二节 平均指标 第二节 平均指标 课堂练习 （ ）全国平均每人分摊的粮食产量是 A、强度相对数 B、平均数 C、结构相对数 D、比较相对数 （ ）下列指标中属于平均指标的是 A、人均钢产量 B、职工月平均工资 C、人均国内生产总值 D、人均粮食产量 （）算术平均数的分子分母可以互换。 A B 简单算术平均数 加权算术平均数 算术平均数的两种计算形式 第二节 平均指标 A. 简单算术平均数： 适用于总体资料未经分组整理 、尚为原始资料的情况 式中： 为算术平均数; 为总体单位总数； 为第 个单位的标志值。 算术平均数的两种计算形式 第二节 平均指标 二、算术平均数 (二)简单算术平均数(未分组资料) 【例】：某工厂某生产班组有11名工人，各人日产量为 15、17、19、20、22、22、23、23、25、26、30件， 求平均日产量。 【解】： 平均日产量=（15+17+19+20+22+22 +23 +23+25+26+30）/11=22 v特点：大小受标志值影响，平均值代表一般水平 第二节 平均指标 平均每人日销售额为： 某售货小组5个人，某天的销售额分别为520元、600 元、480元、750元、440元，则 【例】 第二节 平均指标 二、算术平均数 (三)加权算术平均数(分组资料) x代表变量，f是次数或频数。统计上把f称为权数。 用加权方法计算的算术平均数叫做加权算术平均数; v也可用频率计算 第二节 平均指标 适用于总体资料经过分组整理形成变量数 列的情况 例某厂工人生产情况 (平均日产量=1194/50=23.88) 工人按日产量零件分组(X) 工人人数(f) 总产量(Xf) 20 1 20 21 4 84 22 6 132 23 8 184 24 12 288 25 10 250 26 7 182 27 2 54 合 计 50 1194 第二节 平均指标 单 项 数 列 例某厂工人生产情况(按频率计算平均日产量) 工人按日产量零件 工人人数 Xf/f 分组(X) 绝对数(f) 频率f/f 20 1 0.02 0.40 21 4 0.08 1.68 22 6 0.12 2.64 23 8 0.16 3.68 24 12 0.24 5.76 25 10 0.20 5.00 26 7 0.14 3.64 27 2 0.04 1.08 合 计 50 1.00 23.88 第二节 平均指标 见 教 材 P91 表3 -7 单 项 数 列 二、算术平均数 (三)加权算术平均数(分组资料) v单项式数列：每组变量只有一个取值x； v组距数列：每组变量是一个区间，以组中值代表 该组标志值x，然后计算加权算术平均数。 该计算方法具有一定的假定性。即假定各单位标志值 在组内是均匀分配的。组内分配越均匀，组中值的代 表性越强。 各种情况组中值的计算：开口组、连续变量离散化、 离散变量连续式分组 第二节 平均指标 例 ：某企业工人日产量的算术平均数计算表 （人均日产量=13550/164=82.62） 按日产量分组 工人数 组中值 Xf (千克) f X 60以下 10 55 550 60-70 19 65 1235 70-80 50 75 3750 80-90 36 85 3060 90-100 27 95 2565 100-110 14 105 1470 110以上 8 115 920 合 计 164 - 13550 第二节 平均指标 组 距 数 列 第二节 平均指标 工 资 （元） 组中值 x 职工人数 x f x（f/f ） f f/f (%) 400500 500600 600700 700800 450 550 650 750 50 70 120 60 16.7 23.3 40.0 20.0 22500 38500 78000 45000 75.15 128.15 260.00 150.00 合 计 300 100 184000 613.3 平均工资： 例 ：根据资料，用频数和频率两种权重方法计算平均工资 两种方 法都行 身高 组中值 人数 比重 （cm） （cm ) （人） （%） 150-155 152.5 3 3.61 155-160 157.5 11 13.25 160-165 162.5 34 40.96 165-170 167.5 24 28.92 170以上 172.5 11 13.25 总计 83 100 某年级83名女生身高资料 次数 f 频率 f/f 变量值 x 组 距 数 列 用 公 式 一 ？ v权数：加权算术平均数中的权数，是标志 值出现的次数（频数） f 或各组次数占总 次数的比重（频率） 。 v权数的作用：权衡组平均数对总平均数作 用大小。 v某一组的次数或频率越大，则该组的标志 值对平均数的影响就越大，反之越小。 权数及作用 二、算术平均数 v注意事项：xf为标志值组内总量，资料中有 多个频数f时，须选用正确的频数。 v加权算术平均数与简单算术平均数的异同： 加权算术平均数受到两个因素的影响，即变量值 大小x和次数多少f的影响；简单算术平均数只反 映变量值大小x这一因素的影响。 简单算术平均是加权算术平均平均f=1的特例； 在某些特殊情况下二者可能相等。 第二节 平均指标 （四）算术平均数的数学性质 1、各个变量值与算术平均数的离差之和等于零。 2、各个变量值与算术平均数的离差平方之和等于最 小值。 第二节 平均指标 1 2 3 4 5 6 7 8 -1-1 -2 1 3 离差的概念 （四）算术平均数的数学性质 3、各标志值同时加、减、乘、除任意一个不为零的常 数A，算术平均数也要相应加、减、乘、除A。 应用：当变量值很大，或很小，导致计算算术平 均数工作量加大时，可以做以下的变量调整： 第二节 平均指标 （四）算术平均数的数学性质 4、n个独立总体各变量代数和的平均数等于各总体 变量平均数的代数和。 5、 n个独立总体各变量乘积的平均数等于各总体变 量平均数的乘积。 第二节 平均指标 算术平均数的数学性质 v两独立同性质变量代数和（差）的平均数等 于各变量平均数的代数和（差） 两独立同性质变量乘积的平均数等于各变量 平均数的乘积 （五）算术平均数有两点不足： v1、算术平均数易受极端变量值的影响，使 的代 表性变小，而且受极大值的影响大于受极小值的影 响。 v截尾平均数：去掉两端若干数值后计算均值； v2、当组距数列为开口组，或者组内分布很不均匀 时，组中值的代表性不可靠，导致 的代表性也 不很可靠。 第二节 平均指标 第二节 平均指标 课堂练习 （）各标志值与算术平均数的离差和为最小值。 （）算术平均数不易受极端值的影响。 （）以下那种情况下，加权算术平均数等 于简单算术平均数 A、各组次数相等 B、各组变量值不等 C、各组次数不等 D、各组次数都是1 A,D 【例】 设X=（2，4，6，8），则其调和平均数可由定义计算 如下： 再求算术平均数： 求各标志值的倒数 ： ， ， ， 再求倒数： 是总体各单位标志值倒数的算术平均数的倒 数，又叫倒数平均数 调和平均数 第二节 平均指标 三、调和平均数 一）、调和平均数的计算方法： v调和平均数是各个变量值倒数的算术平均数的倒数 ，又称“倒数平均数” 。 v根据计算（资料）形式分 简单调和平均数 （未分组资料） 加权调和平均数 （分组资料） 第二节 平均指标 A. 简单调和平均数适用于总体资料未经分组整理、尚为原始 资料的情况 式中： 为调和平均数; 为变量值 的个数； 为第 个变量值。 调和平均数 第二节 平均指标 购买总金额 三、调和平均数 一）、调和平均数的计算方法： v 例：某种蔬菜价格早上为0.5元/斤、中午为0.4元/斤、 晚上为0.25元/斤。若早、中、晚各买1斤，求平均价格。 v 例 ：如果早、中、晚各买1元，求平均价格 v 前例为算术平均、后例为调和平均 第二节 平均指标 购买总数量 B. 加权调和平均数适用于总体资料经过分组整理形成变量数 列的情况 调和平均数 式中： 为第 组的变量值； 为第 组的标志总量。 第二节 平均指标 三、调和平均数 一）、调和平均数的计算方法： v 例：某种蔬菜价格早上为0.5元/斤、中午为0.4元/斤、晚 上为0.25元/斤。现早、中、晚各买2元、3元、4元，求平 均价格 第二节 平均指标 这里用到加权调和平均数公式。 三、调和平均数 一）、调和平均数的计算方法： v例：一个水池有甲、乙两个进水管, 单开甲管1 小时可将水池注满,单开乙管2小时可将水池注满, 问同时甲、乙两管多久才能将水池注满? 第二节 平均指标 当已知各组变量值和标志总量时，作为算术平均 数的变形使用。 调和平均数的应用 第二节 平均指标 作为独立意义上的平均数使用基本上没有用途。 作为算术平均数的变形使用是其常见的用法。但此 时已经不能称为调和平均数，只能称其为调和平均 方法。 调和平均数的应用 第二节 平均指标 日产量（件）各组工人日总产量（件） 10 11 12 13 14 700 1100 4560 1950 1400 合计 9710 某企业某日工人的日产量资料如下： 计算该企业该日全部工人的平均日产量。 调和平均数的应用 第二节 平均指标 即该企业该日全部工人的平均日产量为12.1375件。 调和平均数的应用 第二节 平均指标 二）、比值平均数 v比值平均数：相对数或平均数的平均数 如：根据各分公司（月度）的计划完成程度计算全公司 （全季度）的平均计划完成程度；各乡的粮食平均亩产 量计算全县粮食平均亩产量； v需要明确比值的涵义，即分子分母各是什么指标， 比值平均数必须符合原比值的涵义。 如：分公司（月度）的计划完成程度为分公司实际产量 除以分公司计划产量，全公司（全季度）的平均计划完 成程度则为全公司实际产量除以全公司计划产量 既可能是调合平均数，也可能是算术平均数，由资料中 已知数据决定。 第二节 平均指标 由于比值（平均数或相对数）不能直接相加，求解比值的平均 数时，需将其还原为构成比值的分子、分母原值总计进行对比 设比值 分子变量 分母变量 则有： 求解比值平均数 第二节 平均指标 已知 用基本平均数 公式 己知 采用加权算 术平均数公 式 己知 ，采用加权 调和平均数公式 比值求解比值平均数 第二节 平均指标 应采用加权算术平均数公式计算 计划完成程度 （%） 组中值 （%） 企业数 （个） 计划产值 （万元） 90以下 90100 100110 110以上 85 95 105 115 2 3 10 3 800 2500 17200 4400 合计 1824900 计算该公司该季度的平均计划完成程度。 求解比值平均数 分析： 【例A】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下： 第二节 平均指标 【例B】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下 （按计划完成程度分组）： 组别企业数 （个） 计划产值 （万元） 实际产值 （万元） 1 2 3 4 2 3 10 3 800 2500 17200 4400 680 2375 18060 5060 合计 182490026175 计算该公司该季度的平均计划完成程度。 平均指标的种类 求解比值平均数 分析： 应采用平均数的基本公式计算 【例C】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下： 计划完成程度 （%） 组中值 （%） 企业数 （个） 实际产值 （万元） 90以下 90100 100110 110以上 85 95 105 115 2 3 10 3 680 2375 18060 5060 合计 1826175 计算该公司该季度的平均计划完成程度。 平均指标的种类 求解比值平均数 分析： 应采用调和算术平均数公式计算 二）、比值平均数 (一)计算相对数的平均水平 例：某公司各企业计划完成程度情况 工厂 计划完成程度(%)X 计划产值(万元)f Xf 甲 95 1200 乙 105 12800 丙 115 2000 合计 16000 第二节 平均指标 见教材P96表3-11 二）、比值平均数 (一)计算相对数的平均水平 例某公司各企业计划完成程度情况 工厂 计划完成程度(%)X 计划产值(万元)f Xf 甲 95 1200 1140 乙 105 12800 13440 丙 115 2000 2300 合计 16000 16880 w 平均计划完成程度=16880/16000=1.055=105.5% w 比值分母的资料已知，用加权算术平均。 第二节 平均指标 例 某公司各企业平均计划完成程度计算表 工厂 计划完成程度(%)X 实际产值(万元)m m/X （计产） 甲 95 1140 乙 105 13440 丙 115 2300 合计 16880 第二节 平均指标 二）、比值平均数 (一)计算相对数的平均水平 见教材P96表3-12 例某公司各企业平均计划完成程度计算表 工厂 计划完成程度(%)X 实际产值(万元)m m/X 甲 95 1140 1200 乙 105 13440 12800 丙 115 2300 2000 合计 16880 16000 平均计划完成程度=16880/16000=1.055=105.5% 比值分子的资料已知，用加权调合平均。 第二节 平均指标 二）、比值平均数 (一)计算相对数的平均水平 第二节 平均指标 计划完成程度 企业数 实际产值 (%) (个) (万元) 80 90 5 50 90 100 10 80 100 110 120 200 110 120 30 70 合 计 165 400 组中值 m (%) x x 85 59 95 84 105 190 115 61 394 m 例：某工业局下属各企业按产值计划完成程度分组资料如下， 根据资料计算该工业局产值平均计划完成程度： x x m m =平均计划完成程度 = 400 394 = 101.52% 说明：该工业局实际比计划多完成6万元，超额1.52% 完成产值计划任务。 计划产值 二）、比值平均数 (二)计算平均数的平均数 例某商品在三个贸易市场上的销售情况 市场 平均价格(元/千克)X 销售量(千克)f Xf 甲 2.00 30000 乙 2.50 20000 丙 2.40 25000 合计 75000 第二节 平均指标 例某商品在三个贸易市场上的销售情况 市场 平均价格(元/千克)X 销售量(千克)f Xf 甲 2.00 30000 60000 乙 2.50 20000 50000 丙 2.40 25000 60000 合计 75000 170000 平均价格 = 170000/75000=2.27 分母已知，用加权算术平均 第二节 平均指标 二