北师大版选修四 不等式的证明 教案 1.doc

北师大版选修四 不等式的证明 教案考纲传真通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法1基本不等式定理1：设a，bR，则a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立定理2：如果a，b为正数，则，当且仅当ab时，等号成立定理3：如果a，b，c为正数，则，当且仅当abc时，等号成立定理4：(一般形式的算术几何平均不等式)如果a1，a2，an为n个正数，则，当且仅当a1a2an时，等号成立2不等式证明的方法(1)比较法是证明不等式最基本的方法，可分为求差比较法和求商比较法两种.名称求差比较法求商比较法理论依据abab0abab0abab0b0，1abb0，1ab(2)综合法与分析法综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法即“由因导果”的方法分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法即“执果索因”的方法1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论()(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论()(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实()(4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)若ab1，xa，yb，则x与y的大小关系是()AxyBxyCxyDxyAxyaab.由ab1得ab1，ab0，所以0，即xy0，所以xy.3(教材改编)已知ab0，M2a3b3，N2ab2a2b，则M，N的大小关系为_MN2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因为ab0，所以ab0，ab0,2ab0，从而(ab)(ab)(2ab)0，故2a3b32ab2a2b.4已知a0，b0且ln(ab)0，则的最小值是_4由题意得，ab1，a0，b0，(ab)2224，当且仅当ab时等号成立5已知x0，y0，证明：(1xy2)(1x2y)9xy.证明因为x0，y0，所以1xy230,1x2y30，8分故(1xy2)(1x2y)339xy.10分比较法证明不等式 已知a0，b0，求证：.证明法一：()0，.10分法二：由于111.8分又a0，b0，0，.10分规律方法1.在法一中，采用局部通分，优化了解题过程；在法二中，利用不等式的性质，把证明ab转化为证明1(b0)2作差(商)证明不等式，关键是对差(商)式进行合理的变形，特别注意作商证明不等式，不等式的两边应同号提醒：在使用作商比较法时，要注意说明分母的符号变式训练1(2017莆田模拟)设a，b是非负实数，求证：a2b2(ab).【导学号：57962490】证明因为a2b2(ab)(a2a)(b2b)a()b()()(ab).6分因为a0，b0，所以不论ab0，还是0ab，都有与同号，所以()0，所以a2b2(ab).10分综合法证明不等式设a，b，c均为正数，且abc1，证明：(1)abbcac；(2)1.证明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，得a2b2c2abbcca，由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1，所以3(abbcca)1，即abbcca.5分(2)因为b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，则abc，所以1.10分规律方法1.综合法证明的实质是由因导果，其证明的逻辑关系是：AB1B2BnB(A为已知条件或数学定义、定理、公理，B为要证结论)，它的常见书面表达式是“，”或“”2综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键变式训练2(2017石家庄调研)已知函数f(x)2|x1|x2|.(1)求f(x)的最小值m；(2)若a，b，c均为正实数，且满足abcm，求证：3.【导学号：57962491】解(1)当x1时，f(x)2(x1)(x2)3x3；2分当1x2时，f(x)2(x1)(x2)x43,6)；当x2时，f(x)2(x1)(x2)3x6.综上，f(x)的最小值m3.5分(2)证明：a，b，c均为正实数，且满足abc3，因为(abc)22(abc).8分(当且仅当abc1时取“”)所以abc，即3.10分分析法证明不等式(2015全国卷)设a，b，c，d均为正数，且abcd，证明：(1)若abcd，则；(2)是|ab|cd|的充要条件证明(1)a，b，c，d为正数，且abcd，欲证，只需证明()2()2，也就是证明ab2cd2，只需证明，即证abcd.由于abcd，因此.5分(2)若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2，即(ab)24abcd.由(1)，得.8分若，则()2()2，即ab2cd2.因为abcd，所以abcd.于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|是|ab|cd|的充要条件.10分规律方法1.本题将不等式证明与充要条件的判定渗透命题，考查推理论证能力和转化与化归的思想方法，由于两个不等式两边都是正数，可通过两边平方来证明2当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆3分析法证明的思路是“执果索因”，其框图表示为：变式训练3已知abc，且abc0，求证：a.【导学号：57962492】证明要证a，只需证b2ac3a2.abc0，只需证b2a(ab)3a2，只需证2a2abb20，4分只需证(ab)(2ab)0，只需证(ab)(ac)0.abc，ab0，ac0，(ab)(ac)0显然成立，故原不等式成立.10分思想与方法1比较法：求差比较法主要判断差值与0的大小，求商比较法关键在于判定商值与1的大小(一般要求分母大于0)2分析法：BB1B2BnA(结论)(步步寻求不等式成立的充分条件)(已知)