2018版高考数学复习解析几何教师用书文.docx

第八章解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程1直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是0，)2斜率公式(1)直线l的倾斜角为()，则斜率ktan_(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1x2，则l的斜率k3直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式yy0k(xx0)不含直线xx0斜截式ykxb不含垂直于x轴的直线两点式不含直线xx1(x1x2)和直线yy1(y1y2)截距式1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0，A2B20平面内所有直线都适用小题体验1(教材习题改编)若过两点A(m,6)，B(1,3m)的直线的斜率为12，则m_答案：22(教材习题改编)已知三角形的三个顶点A(5,0)，B(3，3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为_答案：x13y503已知直线l：axy2a0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a_解析：令x0，则l在y轴的截距为2a；令y0，得直线l在x轴上的截距为1依题意2a1，解得a1或a2答案：1或21点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x，y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线2截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零3求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论小题纠偏1经过点A(2，3)，倾斜角等于直线yx的2倍的直线方程为_解析：直线yx的斜率k1，故倾斜角为，所以所求的直线的倾斜角为，则所求的直线方程为x2答案：x22过点M(3，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为_解析：若直线过原点，则k，所以yx，即4x3y0若直线不过原点设1，即xya则a3(4)1，所以直线的方程为xy10答案：4x3y0或xy10题组练透1(2016绥化一模)直线xsin y20的倾斜角的取值范围是()A0，)BC D解析：选B因为直线xsin y20的斜率ksin ，又1sin 1，所以1k1设直线xsin y20的倾斜角为，所以1tan 1，而0，)，故倾斜角的取值范围是2若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为_解析：kAC1，kABa3由于A，B，C三点共线，所以a31，即a4答案：43若直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(3，3)，则其斜率的取值范围是_解析：设直线l的斜率为k，则直线方程为y2k(x1)，在x轴上的截距为1令313，解得k1或k故其斜率的取值范围为(，1)答案：(，1)谨记通法1倾斜角与斜率k的关系当且由0增大到时，k的值由0增大到当时，k也是关于的单调函数，当在此区间内由增大到()时，k的值由趋近于0(k0)2斜率的2种求法(1)定义法：若已知直线的倾斜角或的某种三角函数值，一般根据ktan 求斜率(2)公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k(x1x2)求斜率典例引领(1)求过点A(1,3)，斜率是直线y4x的斜率的的直线方程；(2)求经过点A(5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程解：(1)设所求直线的斜率为k，依题意k4又直线经过点A(1,3)，因此所求直线方程为y3(x1)，即4x3y130(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为1，将(5,2)代入所设方程，解得a，所以直线方程为x2y10；当直线过原点时，设直线方程为ykx，则5k2，解得k，所以直线方程为yx，即2x5y0故所求直线方程为2x5y0或x2y10由题悟法求直线方程的2个注意点(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)即时应用已知点A(3,4)，求满足下列条件的直线方程：(1)经过点A且在两坐标轴上截距相等；(2)经过点A且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形解：(1)设直线在x轴，y轴上的截距均为a若a0，即直线过点(0,0)及(3,4)直线的方程为yx，即4x3y0若a0，设所求直线的方程为1，又点(3,4)在直线上，1，a7直线的方程为xy70综合可知所求直线的方程为4x3y0或xy70(2)由题意可知，所求直线的斜率为1又过点(3,4)，由点斜式得y4(x3)故所求直线的方程为xy10或xy70锁定考向直线方程的综合应用是常考内容之一，它常与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题常见的命题角度有：(1)与基本不等式相结合的最值问题；(2)与导数的几何意义相结合的问题；(3)与圆相结合求直线方程的问题 题点全练角度一：与基本不等式相结合的最值问题1过点P(4,1)作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点(1)当AOB面积最小时，求直线l的方程(2)当|OA|OB|取最小值时，求直线l的方程解：设直线l：1(a0，b0)，因为直线l经过点P(4,1)，所以1(1)12，所以ab16，当且仅当a8，b2时等号成立，所以当a8，b2时，AOB的面积最小，此时直线l的方程为1，即x4y80(2)因为1，a0，b0，所以|OA|OB|ab(ab)552 9，当且仅当a6，b3时等号成立，所以当|OA|OB|取最小值时，直线l的方程为1，即x2y60角度二：与导数的几何意义相结合的问题2设P为曲线C：yx22x3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为()ABC0,1 D解析：选A由题意知y2x2，设P(x0，y0)，则k2x02因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，所以0k1，即02x021，故1x0角度三：与圆相结合求直线方程的问题3在平面直角坐标系xOy中，设A是半圆O：x2y22(x0)上一点，直线OA的倾斜角为45，过点A作x轴的垂线，垂足为H，过H作OA的平行线交半圆于点B，则直线AB的方程是_解析：直线OA的方程为yx，代入半圆方程得A(1,1)，H(1,0)，直线HB的方程为yx1，代入半圆方程得B所以直线AB的方程为，即xy10答案：xy10通法在握处理直线方程综合应用的2大策略(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值演练冲关1设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P(x，y)，则|PA|PB|的最大值是_解析：易求定点A(0,0)，B(1,3)当P与A和B均不重合时，因为P为直线xmy0与mxym30的交点，且易知两直线垂直，则PAPB，所以|PA|2|PB|2|AB|210，所以|PA|PB|5(当且仅当|PA|PB|时，等号成立)，当P与A或B重合时，|PA|PB|0，故|PA|PB|的最大值是5答案：52(2017衡阳一模)已知点P在直线x3y20上，点Q在直线x3y60上，线段PQ的中点为M(x0，y0)，且y0x02，则的取值范围是_解析：依题意可得，化简得x03y020，又y00，当点M位于射线BN上除B点外时，kOM0且k20，所以6k2故选A4(2017豫西五校联考)曲线yx3x5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为_解析：设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为(0，)，因为y3x211，所以tan 1，结合正切函数的图象可知，的取值范围为答案：5如果AC0，且BC0，那么直线AxByC0不经过第_象限解析：由题意知ABC0，直线方程变形为yxAC0，BC0，其斜率k0直线过第一、二、四象限，不经过第三象限答案：三二保高考，全练题型做到高考达标1(2017秦皇岛模拟)倾斜角为120，在x轴上的截距为1的直线方程是()Axy10 Bxy0Cxy0 Dxy0解析：选D由于倾斜角为120，故斜率k又直线过点(1,0)，所以直线方程为y(x1)，即xy02已知直线l过点(1,0)，且倾斜角为直线l0：x2y20的倾斜角的2倍，则直线l的方程为()A4x3y30 B3x4y30C3x4y40 D4x3y40解析：选D由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为，2，因为直线l0：x2y20的斜率为，则tan ，所以直线l的斜率ktan 2，所以由点斜式可得直线l的方程为y0(x1)，即4x3y403(2015福建高考)若直线1(a0，b0)过点(1,1)，则ab的最小值等于()A2 B3C4 D5解析：选C将(1,1)代入直线1得1，a0，b0，故ab(ab)2224，等号当且仅当ab时取到，故选C4(2017菏泽模拟)若直线x2yb0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是()A2,2 B(，22，)C2,0)(0,2 D(，)解析：选C令x0，得y，令y0，得xb，所以所求三角形面积为|b|b2，且b0，因为b21，所以b24，所以b的取值范围是2,0)(0,25已知点P(x，y)在直线xy40上，则x2y2的最小值是()A8 B2C D16解析：选A点P(x，y)在直线xy40上，y4x，x2y2x2(4x)22(x2)28，当x2时，x2y2取得最小值86过点(2，3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_解析：若直线过原点，则直线方程为3x2y0；若直线不过原点，则斜率为1，方程为y3x2，即为xy50，故所求直线方程为3x2y0或xy50答案：3x2y0或xy507设点A(1,0)，B(1,0)，直线2xyb0与线段AB相交，则b的取值范围是_解析：b为直线y2xb在y轴上的截距，如图，当直线y2xb过点A(1,0)和点B(1,0)时，b分别取得最小值和最大值b的取值范围是2,2答案：2,28(2016沈阳一模)若直线l：1(a0，b0)经过点(1,2)，则直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值是_解析：由直线l：1(a0，b0)可知直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b求直线在x轴和y轴上的截距之和的最小值，即求ab的最小值由直线经过点(1,2)得1于是ab(ab)3，因为22当且仅当时取等号，所以ab32，故直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值为32答案：329已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：(1)过定点A(3,4)；(2)斜率为解：(1)设直线l的方程为yk(x3)4，它在x轴，y轴上的截距分别是3,3k4，由已知，得(3k4)6，解得k1或k2故直线l的方程为2x3y60或8x3y120(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是yxb，它在x轴上的截距是6b，由已知，得|6bb|6，b1直线l的方程为x6y60或x6y6010如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45和30角，过点P(1，0)的直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线yx上时，求直线AB的方程解：由题意可得kOAtan 451，kOBtan(18030)，所以直线lOA：yx，lOB：yx设A(m，m)，B(n，n)，所以AB的中点C，由点C在直线yx上，且A，P，B三点共线得解得m，所以A(，)又P(1,0)，所以kABkAP，所以lAB：y(x1)，即直线AB的方程为(3)x2y30三上台阶，自主选做志在冲刺名校1已知曲线y，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为_解析：y，因为ex0，所以ex22(当且仅当ex，即x0时取等号)，所以ex24，故y(当且仅当x0时取等号)所以当x0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为，切线的方程为y(x0)，即x4y20该切线在x轴上的截距为2，在y轴上的截距为，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S2答案：2已知直线l：kxy12k0(kR)(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程解：(1)证明：直线l的方程可化为yk(x2)1，故无论k取何值，直线l总过定点(2,1)(2)直线l的方程为ykx2k1，则直线l在y轴上的截距为2k1，要使直线l不经过第四象限，则解得k0，故k的取值范围是(3)依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为12k，A，B(0,12k)又0，k0故S|OA|OB|(12k)(44)4，当且仅当4k，即k时，取等号故S的最小值为4，此时直线l的方程为x2y40第二节两条直线的位置关系1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行：对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1l2(2)两条直线垂直：如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1l2k1k21当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1l22两条直线的交点的求法直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解3三种距离公式P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d平行线AxByC10与AxByC20间距离d小题体验1(教材习题改编)已知点(a,2)(a0)到直线l：xy30的距离为1，则a等于()AB2C1 D1解析：选C由题意知1，|a1|，又a0，a12已知直线l1：ax(3a)y10，l2：x2y0若l1l2，则实数a的值为_解析：由题意，得2，解得a2答案：21在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑2运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x，y的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错小题纠偏1已知P：直线l1：xy10与直线l2：xay20平行，Q：a1，则P是Q的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件解析：选A由于直线l1：xy10与直线l2：xay20平行的充要条件是1a(1)10，即a1所以P是Q的充要条件2已知直线3x4y30与直线6xmy140平行，则它们之间的距离是_解析：，m8，直线6xmy140可化为3x4y70，两平行线之间的距离d2答案：2(基础送分型考点自主练透)题组练透1过点(1,0)且与直线x2y20平行的直线方程是()Ax2y10Bx2y10C2xy20 Dx2y10解析：选A依题意，设所求的直线方程为x2ya0，由于点(1,0)在所求直线上，则1a0，即a1，则所求的直线方程为x2y102已知过点A(2，m)和点B(m,4)的直线为l1，直线2xy10为l2，直线xny10为l3若l1l2，l2l3，则实数mn的值为()A10B2C0 D8解析：选Al1l2，2(m2)，解得m8(经检验，l1与l2不重合)，l2l3，211n0，解得n2，mn103已知两直线l1：mx8yn0和l2：2xmy10，试确定m，n的值，使(1)l1与l2相交于点P(m，1)；(2)l1l2；(3)l1l2，且l1在y轴上的截距为1解：(1)由题意得解得m1，n7即m1，n7时，l1与l2相交于点P(m，1)(2)l1l2， 解得或即m4，n2或m4，n2时，l1l2(3)当且仅当2m8m0，即m0时，l1l2又1，n8即m0，n8时，l1l2，且l1在y轴上的截距为1谨记通法1已知两直线的斜率存在，判断两直线平行垂直的方法(1)两直线平行两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；(2)两直线垂直两直线的斜率之积等于1提醒当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况2由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l1：A1xB1yC10(AB0)l2：A2xB2yC20(AB0)l1与l2垂直的充要条件A1A2B1B20l1与l2平行的充分条件(A2B2C20)l1与l2相交的充分条件(A2B20)l1与l2重合的充分条件(A2B2C20)提醒在判断两直线位置关系时，比例式与，的关系容易记住，在解答选择、填空题时，建议多用比例式来解答典例引领已知A(4，3)，B(2，1)和直线l：4x3y20，在坐标平面内求一点P，使|PA|PB|，且点P到直线l的距离为2解：设点P的坐标为(a，b)A(4，3)，B(2，1)，线段AB的中点M的坐标为(3，2)而AB的斜率kAB1，线段AB的垂直平分线方程为y2x3，即xy50点P(a，b)在直线xy50上，ab50又点P(a，b)到直线l：4x3y20的距离为2，2，即4a3b210，由联立可得或所求点P的坐标为(1，4)或由题悟法处理距离问题的2大策略(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求(2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而使计算简便，如本例中|PA|PB|这一条件的转化处理即时应用1已知P是直线2x3y60上一点，O为坐标原点，且点A的坐标为(1,1)，若|PO|PA|，则P点的坐标为_解析：法一：设P(a，b)，则解得a3，b4P点的坐标为(3,4)法二：线段OA的中垂线方程为xy10，则由解得则P点的坐标为(3,4)答案：(3,4)2已知直线l1与l2：xy10平行，且l1与l2的距离是，则直线l1的方程为_解析：因为l1与l2：xy10平行，所以可设l1的方程为xyb0(b1)又因为l1与l2的距离是，所以，解得b1或b3，即l1的方程为xy10或xy30答案：xy10或xy303已知点P(4，a)到直线4x3y10的距离不大于3，则a的取值范围为_解析：由题意得，点P到直线的距离为又3，即|153a|15，解得0a10，所以a的取值范围是0,10答案：0,10锁定考向对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型常见的命题角度有：(1)点关于点对称；(2)点关于线对称；(3)线关于线对称 题点全练角度一：点关于点对称1过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_解析：设l1与l的交点为A(a,82a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(a,2a6)在l2上，把B点坐标代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即点A(4,0)在直线l上，所以由两点式得直线l的方程为x4y40答案：x4y40角度二：点关于线对称2已知直线l：2x3y10，点A(1，2)，则点A关于直线l的对称点A的坐标为_解析：设A(x，y)，由已知得解得故A答案：A角度三：线关于线对称3直线2xy30关于直线xy20对称的直线方程是()Ax2y30Bx2y30Cx2y10 Dx2y10解析：选A设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于xy20的对称点为P(x0，y0)，由得由点P(x0，y0)在直线2xy30上，2(y2)(x2)30，即x2y30通法在握1中心对称问题的2个类型及求解方法(1)点关于点对称：若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得进而求解(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程2轴对称问题的2个类型及求解方法(1)点关于直线的对称：若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：AxByC0对称，由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B0，x1x2)(2)直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行演练冲关1与直线3x4y50关于x轴对称的直线方程为_解析：设A(x，y)为所求直线上的任意一点，则A(x，y)在直线3x4y50上，即3x4(y)50，故所求直线方程为3x4y50答案：3x4y502已知点A(1,3)关于直线ykxb对称的点是B(2,1)，则直线ykxb在x轴上的截距是_解析：由题意得线段AB的中点在直线ykxb上，故解得k，b，所以直线方程为yx令y0，即x0，解得x，故直线ykxb在x轴上的截距为答案：3已知入射光线经过点M(3,4)，被直线l：xy30反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为_解析：设点M(3,4)关于直线l：xy30的对称点为M(a，b)，则反射光线所在直线过点M，所以解得a1，b0又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为，即6xy60答案：6xy60一抓基础，多练小题做到眼疾手快1直线2xym0和x2yn0的位置关系是()A平行B垂直C相交但不垂直 D不能确定解析：选C由可得3x2mn0，由于3x2mn0有唯一解，故方程组有唯一解，故两直线相交，两直线的斜率分别为2，斜率之积不等于1，故不垂直2过点(1,0)且与直线x2y20垂直的直线方程是()Ax2y10 Bx2y10C2xy20 Dx2y10解析：选C因为直线x2y20的斜率为，所以所求直线的斜率k2所以所求直线的方程为y02(x1)，即2xy20故选C3直线x2y10关于直线x1对称的直线方程是()Ax2y10 B2xy10C2xy30 Dx2y30解析：选D由题意得直线x2y10与直线x1的交点坐标为(1,1)又直线x2y10上的点(1,0)关于直线x1的对称点为(3,0)，所以由直线方程的两点式，得，即x2y304与直线l1：3x2y60和直线l2：6x4y30等距离的直线方程是_解析：l2：6x4y30化为3x2y0，所以l1与l2平行，设与l1，l2等距离的直线l的方程为3x2yc0，则|c6|，解得c，所以l的方程为12x8y150答案：12x8y1505若直线2xy10，yx1，yax2交于一点，则a的值为_解析：解方程组可得所以直线2xy10与yx1的交点坐标为(9，8)，代入yax2，得8a(9)2，所以a答案：二保高考，全练题型做到高考达标1已知A(2,3)，B(4,0)，P(3,1)，Q(m，m1)，若直线ABPQ，则m的值为()A1 B0C1 D2解析：选CABPQ，kABkPQ，即，解得m1，故选C2若直线l1：xay60与l2：(a2)x3y2a0平行，则l1与l2之间的距离为()A B4C D2解析：选Cl1l2，解得a1，l1与l2的方程分别为l1：xy60，l2：xy0，l1与l2的距离d3(2016浙江温州第二次适应性)已知直线l1：mxy10与直线l2：(m2)xmy10，则“m1”是“l1l2”的()A充分不必要条件 B充要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件解析：选A由l1l2，得m(m2)m0，解得m0或m1，所以“m1”是“l1l2”的充分不必要条件，故选A4若直线l1：yk(x4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点()A(0,4) B(0,2)C(2,4) D(4，2)解析：选B由于直线l1：yk(x4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又由于直线l1：yk(x4)与直线l2关于点(2,1)对称，所以直线l2恒过定点(0,2)5已知直线l：xy10，l1：2xy20若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是()Ax2y10 Bx2y10Cxy10 Dx2y10解析：选B因为l1与l2关于l对称，所以l1上任一点关于l的对称点都在l2上，故l与l1的交点(1,0)在l2上又易知(0，2)为l1上一点，设它关于l的对称点为(x，y)，则解得即(1,0)，(1，1)为l2上两点，可得l2的方程为x2y106已知点A(3，4)，B(6,3)到直线l：axy10的距离相等，则实数a的值为_解析：由题意及点到直线的距离公式得，解得a或答案：或7以点A(4,1)，B(1,5)，C(3,2)，D(0，2)为顶点的四边形ABCD的面积为_解析：因为kAB，kDCkAD，kBC则kABkDC，kADkBC，所以四边形ABCD为平行四边形又kADkAB1，即ADAB，故四边形ABCD为矩形故S|AB|AD|25答案：258l1，l2是分别经过点A(1,1)，B(0，1)的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是_解析：当两条平行直线与A，B两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大因为A(1,1)，B(0，1)，所以kAB2，所以当l1，l2间的距离最大时，直线l1的斜率为k，所以当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是y1(x1)，即x2y30答案：x2y309已知直线l1：ax2y60和直线l2：x(a1)ya210(1)当l1l2时，求a的值；(2)当l1l2时，求a的值解：(1)法一：当a1时，l1：x2y60，l2：x0，l1不平行于l2；当a0时，l1：y3，l2：xy10，l1不平行于l2；当a1且a0时，两直线方程可化为l1：yx3，l2：yx(a1)，由l1l2可得解得a1综上可知，a1法二：由l1l2知即a1(2)法一：当a1时，l1：x2y60，l2：x0，l1与l2不垂直，故a1不符合；当a1时，l1：yx3，l2：yx(a1)，由l1l2，得1a法二：l1l2，A1A2B1B20，即a2(a1)0，得a10已知ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2xy50，AC边上的高BH所在直线方程为x2y50，求直线BC的方程解：依题意知：kAC2，A(5,1)，lAC的方程为2xy110，联立得C(4,3)设B(x0，y0)，则AB的中点M，代入2xy50，得2x0y010，联立得B(1，3)，kBC，直线BC的方程为y3(x4)，即6x5y90三上台阶，自主选做志在冲刺名校1已知P(x0，y0)是直线l：AxByC0外一点，则方程AxByC(Ax0By0C)0表示()A过点P且与l垂直的直线B过点P且与l平行的直线C不过点P且与l垂直的直线D不过点P且与l平行的直线解析：选D因为P(x0，y0)是直线l1：AxByC0外一点，所以Ax0By0Ck，k0若方程AxByC(Ax0By0C)0，则AxByCk0因为直线AxByCk0和直线l斜率相等，但在y轴上的截距不相等，故直线AxByCk0和直线l平行因为Ax0By0Ck，而k0，所以Ax0By0Ck0，所以直线AxByCk0不过点P2已知直线l：(2ab)x(ab)yab0及点P(3,4)(1)证明直线l过某定点，并求该定点的坐标(2)当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程解：(1)证明：直线l的方程可化为a(2xy1)b(xy1)0，由得所以直线l恒过定点(2,3)(2)由(1)知直线l恒过定点A(2,3)，当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大又直线PA的斜率kPA，所以直线l的斜率kl5故直线l的方程为y35(x2)，即5xy70第三节圆的方程1圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)圆心：(a，b)，半径：r一般方程x2y2DxEyF0，(D2E24F0)圆心：，半径：2点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0a)2(y0b)2r2(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0a)2(y0b)2r2(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0a)2(y0b)2r2小题体验1(2016全国甲卷)圆x2y22x8y130的圆心到直线axy10的距离为1，则a()ABC D2解析：选A因为圆x2y22x8y130的圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线axy10的距离d1，解得a2(教材习题改编)圆C的直径的两个端点分别是A(1,2)，B(1,4)，则圆C的标准方程为_解析：设圆心C的坐标为(a，b)，则a0，b3，故圆心C(0,3)半径r|AB|圆C的标准方程为x2(y3)22答案：x2(y3)223若点(1,1)在圆(xa)2(ya)24的内部，则实数a的取值范围是_解析：因为点(1,1)在圆(xa)2(ya)24的内部，所以(1a)2(1a)24即a21，故1a1答案：(1,1)对于方程x2y2DxEyF0表示圆时易忽视D2E24F0这一成立条件小题纠偏(2016浙江高考)已知aR，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，则圆心坐标是_，半径是_解析：由二元二次方程表示圆的条件可得a2a2，解得a2或1当a2时，方程为4x24y24x8y100，即x2y2x2y0，配方得2(y1)20，不表示圆；当a1时，方程为x2y24x8y50，配方得(x2)2(y4)225，则圆心坐标为(2，4)，半径是5答案：(2，4)5题组练透1(2017石家庄质检)若圆C的半径为1，点C与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C的标准方程为()Ax2y21B(x3)2y21C(x1)2y21 Dx2(y3)21解析：选A因为点C与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C(0,0)，所以所求圆的标准方程为x2y212圆心在y轴上且经过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是()Ax2y210y0 Bx2y210y0Cx2y210x0 Dx2y210x0解析：选B设圆心为(0，b)，半径为r，则r|b|，所以圆的方程为x2(yb)2b2因为点(3,1)在圆上，所以9(1b)2b2，解得b5所以圆的方程为x2y210y03(2015全国卷)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|()A2 B8C4 D10解析：选C设圆的方程为x2y2DxEyF0，则解得圆的方程为x2y22x4y200令x0，得y22或y22，M(0，22)，N(0，22)或M(0，22)，N(0，22)，|MN|4，故选C4(2016天津高考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2xy0的距离为，则圆C的方程为_解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a0，所以圆心到直线2xy0的距离d，解得a2，所以圆C的半径r|CM|3，所以圆C的方程为(x2)2y29答案：(x2)2y29谨记通法1求圆的方程的2种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程(2)待定系数法：若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值2确定圆心位置的3种方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线提醒解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质锁定考向与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想常见的命题角度有：(1)斜率型最值问题；(2)截距型最值问题；(3)距离型最值问题 题点全练角度一：斜率型最值问题1(2016抚顺模拟)已知实数x，y满足方程x2y24x10，求的最大值和最小值解：原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设k，即ykx当直线ykx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值或最小值，此时，解得k所以的最大值为，最小值为角度二：截距型最值问题2已知实数x，y满足方程x2y24x10，求yx的最大值和最小值解：y