浙江高考数学第八章立体几何8.2空间点、直线、平面之间的位置关系课件.pptx

8.2 空间点、直线、平面之间 的位置关系 -2- -3- -4- -5- 知识梳理双击自测 1.平面的基本性质 (1)公理1:如果一条直线上的 在一个平面内,那么这条直 线在此平面内. 作用:可用来证明点、直线在平面内. (2)公理2:过 的三点,有且只有一个平面. 公理2的推论如下: 经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面; 经过两条相交直线,有且只有一个平面; 经过两条平行直线,有且只有一个平面. 作用:可用来确定一个平面;证明点线共面. (3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只 有 过该点的公共直线. 两点 不在一条直线上 一条 -6- 知识梳理双击自测 作用:可用来确定两个平面的交线;判断或证明多点共线; 判断或证明多线共点. -7- 知识梳理双击自测 2.空间点、直线、平面之间的位置关系 -8- 知识梳理双击自测 -9- 知识梳理双击自测 3.平行公理(公理4)和等角定理 平行公理:平行于同一条直线的两条直线 . 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个 角 . 4.异面直线所成的角 (1)定义:设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O作直线 aa,bb,把a与b所成的 叫做异面直线a与b所 成的角(或夹角). (2)范围: . 互相平行 相等或互补 锐角(或直角) -10- 知识梳理双击自测 1.若点P,Q,R,=m,且Rm,PQm=M,过P,Q,R三点确 定一个平面,则是( ) A.直线QRB.直线PR C.直线RMD.以上均不正确 答案解析解析 关闭 PQm=M,m,M. 又M平面PQR,即M,故M是与的公共点. 又R,R平面PQR,即R,R是与的公共点. =MR.故选C. 答案解析 关闭 C -11- 知识梳理双击自测 2.下列命题正确的个数为( ) 经过三点确定一个平面; 梯形可以确定一个平面; 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面; 若两个平面有三个公共点,则这两个平面重合. A.0B.1 C.2D.3 答案解析解析 关闭 经过不共线的三点可以确定一个平面,不正确; 两条平行线可以确定一个平面,正确; 两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面,正确; 命题中没有说清三个点是否共线,不正确. 答案解析 关闭 C -12- 知识梳理双击自测 3.若,是两个不垂直的平面,在上取4个点,在上取3个点,则这些 点最多可确定平面的个数为( ) A.30B.32C.35 D.40 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 -13- 知识梳理双击自测 4.(教材改编)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是 AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF所成的角的大小为( ) A.30B.45 C.60D.90 答案解析解析 关闭 连接B1D1,D1C(图略),则B1D1EF,故D1B1C为所求的角,又 B1D1=B1C=D1C,D1B1C=60. 答案解析 关闭 C -14- 知识梳理双击自测 5.如图所示,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的 中点,则 (1)当AC,BD满足条件 时,四边形EFGH为菱形; (2)当AC,BD满足条件 时,四边形EFGH是正方形. 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 -15- 知识梳理双击自测 自测点评 1.做有关平面基本性质的判断题时,要抓住关键词,如“有且只有 ”“只能”“最多”等. 2.如果两个不重合的平面只要有一个公共点,那么这两个平面一 定相交且得到的是一条直线. 3.异面直线是指不同在任何一个平面内,没有公共点的直线.不能 错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线. 4.如果异面直线所成的角求出来是钝角,那么应该取其补角. -16- 考点一考点二考点三 平面的基本性质及应用(考点难度) 【例1】 (1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q,R分别是 AB,AD,B1C1的中点,则正方体的过P,Q,R的截面图形是( ) A.三角形B.四边形 C.五边形D.六边形 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 -17- 考点一考点二考点三 (2)在四面体ABCD中,点E,G分别为BC,AB的中点,点F在CD上,点 H在AD上,且有DFFC=23,DHHA=23. 证明:点G,E,F,H四点共面; 证明:EF,GH,BD交于一点. 证明:点E,G分别为BC,AB的中点, EGAC.又DFFC=23,DHHA=23, FHAC.EGFH. 点E,F,G,H四点共面. 由可知,EGFH,且EGFH,即EF,GH是梯形的两腰, 它们的延长线必相交于一点P. BD是EF和GH分别所在平面BCD和平面ABD的交线,而点P是 上述两平面的公共点,由公理3知PBD. 故三条直线EF,GH,BD交于一点. -18- 考点一考点二考点三 方法总结1.公理1是判断一条直线是否在某个平面内的依据;公 理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据;公理3是证明三线共 点或三点共线的依据.要能够熟练的用文字语言、符号语言、图形 语言来表示公理. 2.画几何体的截面,关键是画截面与几何体各面的交线,此交线只 需两个公共点即可确定,作图时充分利用几何体本身提供的面面平 行等条件,可以更快地确定交线的位置. -19- 考点一考点二考点三 对点训练(1)如图所示是正方体和正四面体,P,Q,R,S分别是所在 棱的中点,则四个点共面的图形的序号是 . 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 -20- 考点一考点二考点三 (2)如图所示,平面平面=l,A,B,ABl=D,C,Cl,则平 面ABC与平面的交线是( ) A.直线ACB.直线AB C.直线CDD.直线BC 答案解析解析 关闭 由题意知,Dl,l,D. 又DAB, D平面ABC, 点D在平面ABC与平面的交线上. 又C平面ABC,C, 点C在平面与平面ABC的交线上, 平面ABC平面=CD. 答案解析 关闭 C -21- 考点一考点二考点三 空间两条直线的位置关系(考点难度) 【例2】 (1)如图,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中 点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有 (填上所有 正确答案的序号). 答案解析解析 关闭 在题图中,直线GHMN; 在题图中,G,H,N三点共面,但M平面GHN,NGH,因此直线GH与MN异 面; 在题图中,连接GM,GMHN,因此GH与MN共面; 在题图中,G,M,N共面,但H平面GMN,GMN,因此GH与MN异面. 所以在题图中GH与MN异面. 答案解析 关闭 -22- 考点一考点二考点三 (2)对于两条不同的直线m,n和两个不同的平面,以下结论正确 的是( ) A.若m,n,m,n是异面直线,则,相交 B.若m,m,n,则n C.若m,n,m,n共面于,则mn D.若m,n,不平行,则m,n为异面直线 答案解析解析 关闭 A.时,m,n,m,n是异面直线,可以成立,故A错误; B.若m,m,则,因为n,则n或n,故B错误; C.利用线面平行的性质定理,可得C正确; D.若m,n,不平行,则m,n为异面直线或相交直线,故D不正确,故 选C. 答案解析 关闭 C -23- 考点一考点二考点三 (3)若在教室内任意放一支笔直的铅笔,则在教室的地面上必存在 直线与该铅笔所在的直线( ) A.平行B.相交 C.异面D.垂直 答案解析解析 关闭 由题意,若铅笔所在直线与地面垂直,则在地面上总有这样的直线,使得它 与铅笔所在直线垂直;若铅笔所在直线与地面相交不垂直,则其必在地面 上有一条投影线,在地面上一定存在与此投影线垂直的直线,由三垂线定 理知,与投影垂直的直线一定与此斜线垂直;若铅笔所在直线与地面平行, 过铅笔所在直线的平面与地面的交线与铅笔所在直线平行,在地面内与交 线垂直的直线都与铅笔所在直线垂直.综上,教室内任放一支铅笔,无论怎 样放置,在地面总有这样的直线,使得它与铅笔所在直线垂直.故选D. 答案解析 关闭 D -24- 考点一考点二考点三 方法总结1.证明直线异面.(1)平面外一点A与平面内一点B的连 线和平面内不经过点B的直线是异面直线; (2)反证法:证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面, 从而可得两线异面. 2.证明直线相交,通常用平面的基本性质,平面图形的性质等. 3.利用公理4或平行四边形的性质证明两条直线平行. -25- 考点一考点二考点三 对点训练(1)如图,点P,Q,R,S分别在正方体的 四条棱上,并且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的一 个图是( ) 答案解析解析 关闭 A,B中PQRS,D中直线PQ与RS相交(或RPSQ),即直线PQ与RS共面, 均不满足条件;C中的直线PQ与RS是两条既不平行,又不相交的直线,即 直线PQ与RS是异面直线.故选C. 答案解析 关闭 C -26- 考点一考点二考点三 (2)若P是两条异面直线l,m外的任意一点,则( ) A.过点P有且仅有一条直线与l,m都平行 B.过点P有且仅有一条直线与l,m都垂直 C.过点P有且仅有一条直线与l,m都相交 D.过点P有且仅有一条直线与l,m都异面 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 -27- 考点一考点二考点三 异面直线所成的角(考点难度) 【例3】 (1)(2017课标高考)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中, ABC=120,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余 弦值为( ) C -28- 考点一考点二考点三 解析:方法一:如图,取AB,BB1,B1C1的中点M,N,P,连接MN,NP,PM, 可知AB1与BC1所成的角等于MN与NP所成的角. -29- 考点一考点二考点三 -30- 考点一考点二考点三 方法二:把三棱柱ABC-A1B1C1补成四棱柱ABCD-A1B1C1D1,如图, 连接C1D,BD,则AB1与BC1所成的角为BC1D. -31- 考点一考点二考点三 (2)已知异面直线a,b所成的角为,过空间中定点P,与a,b都成60 角的直线有四条,则的取值范围是 . 解析:如图,将异面直线a,b平移使它们相交于点O,平移后的直线 分别用AB,CD表示,作SO平面ABCD,则BOC=.因为满足与a,b 都成60角的直线有四条,所以必须在区域 SOAB,SOBC,SOCD,SOAD内各有一条直线 与AC,BD成60角.当60,因为异面直线所 成的角的范围为(0,90,所以所求的取值范围是(60,90. (60,90 -32- 考点一考点二考点三 方法总结1.求异面直线所成的角常用方法是平移法,平移的方法 一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的 端点或中点)作平行线平移;补形平移. 2.求异面直线所成的角的三步曲:即“一作、二证、三求”.其中空 间选点任意,但要灵活,经常选择“端点、中点、等分点”,通过作三 角形的中位线,平行四边形等进行平移,作出异面直线所成的角,转 化为解三角形问题,进而求解. -33- 考点一考点二考点三 对点训练 如图,PA平面ABC,ACB=90,且PA=AC=BC=a,则 异面直线PB与AC所成角的正切值等于 . 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 -34- 思想方法构造模型判断空间线面的位置关系 空间点、直线、平面的位置关系是立体几何的理论基础,高考常 设置选择题或填空题,考查直线、平面位置关系的判断和异面直线 所成的角的求法.在判断线、面位置关系时,有时可以借助常见的 几何体作出判断.这类试题一般称为空间线面位置关系的组合判断 题,解决的方法是“推理论证加反例推断”,即正确的结论需要根据空 间线面位置关系的相关定理进行证明,错误的结论需要通过举出反 例说明其错误,在解题中可以常见的空间几何体(如正方体、正四 面体等)为模型进行推理或者反驳. -35- 【典例】 设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,则正 确的结论是( ) A.若mn,n,则m B.若m,则m C.若m,n,n,则m D.若mn,n,则m 答案:C 解析:当mn,n时,可能有m,但也有可能m或m,故A 选项错误;当m,时,可能有m,但也有可能m或m,故 选项B错误;当m,n,n时,必有,从而m,故选项C正确 ;在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中,取m为B1C1,n为CC1,为平 面ABCD,为平面ADD1A1,这时满足mn,n,但m不成 立,故选项D错误. -36- 答题指导空间中的点线面位置关系判断可以借助正方体等特殊 图形作为模型,利用正方体中的众多的垂直平行排除错误选项. -37- 对点训练设为平面,a,b为两条不同的直线,则下列叙述正确的是 ( ) A.若a,b,则ab B.若a,ab,则b C.若a,ab,则bD.若a,ab,则b 答案解析解析 关闭 若a,b,则a与b相交、平行或异面,故A错误;易知B正确;若 a,ab,则b或b,故C错误;若a,ab,则b或b或b与 相交,故D错误. 答案解析 关闭 B -38- 高分策略1.主要题型的解题方法 (1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平 面,再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”).