浙江专用2020版高考数学第九章解析几何单元质检.docx

单元质检九解析几何(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知直线l1:mx+y-1=0与直线l2:(m-2)x+my-1=0,则“m=1”是“l1l2”的()A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案A解析当m=0时,两条直线方程分别化为y-1=0,2x+1=0,此时两条直线相互垂直.当m0时,若l1l2,则-m-m-2m=-1,解得m=1.综上可得m=0或m=1.故“m=1”是“l1l2”的充分不必要条件,故选A.2.方程|y|-1=1-(x-1)2表示的曲线是()A.一个椭圆B.一个圆C.两个圆D.两个半圆答案D解析由题意知|y|-10,则y1或y-1,当y1时,原方程可化为(x-1)2+(y-1)2=1(y1),其表示以(1,1)为圆心、1为半径、直线y=1上方的半圆;当y-1时,原方程可化为(x-1)2+(y+1)2=1(y-1),其表示以(1,-1)为圆心、1为半径、直线y=-1下方的半圆.所以方程|y|-1=1-(x-1)2表示的曲线是两个半圆.3.设定点M1(0,-3),M2(0,3),动点P满足条件|PM1|+|PM2|=a+9a(其中a是正常数),则点P的轨迹是()A.椭圆B.线段C.椭圆或线段D.不存在答案C解析a是正常数,a+9a29=6,当且仅当a=3时“=”成立.当|PM1|+|PM2|=6时,点P的轨迹是线段M1M2;当|PM1|+|PM2|6时,点P的轨迹是椭圆.故选C.4.过点P(4,2)作圆x2+y2=4的两条切线,切点分别为A,B,O为坐标原点,则OAB外接圆的方程是()A.(x-2)2+(y-1)2=5B.(x-4)2+(y-2)2=20C.(x+2)2+(y+1)2=5D.(x+4)2+(y+2)2=20答案A解析由题意知,O,A,B,P四点共圆,所以所求圆的圆心为线段OP的中点(2,1).又圆的半径r=12|OP|=5,所以所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.5.已知直线3x-y+4=0与圆x2+y2=16交于A,B两点,则AB在x轴正方向上投影的绝对值为()A.43B.4C.23D.2答案C解析因为圆x2+y2=16的圆心到直线3x-y+4=0的距离为d=412+(3)2=2,所以|AB|=216-4=43,由于直线3x-y+4=0的倾斜角为3,所以AB在x轴正方向上投影的绝对值为|AB|cos3=4312=23,故选C.6.已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为()A.x264-y248=1B.x248+y264=1C.x248-y264=1D.x264+y248=1答案D解析设圆M的半径为r,则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16,M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆,且2a=16,2c=8.故所求的轨迹方程为x264+y248=1,故选D.7.已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,过点M(p,0)的直线交抛物线于A,B两点,若AM=2MB,则|AF|BF|=()A.2B.52C.2D.与p有关答案B解析设直线方程为x=my+p,代入y2=2px,可得y2-2pmy-2p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2pm,y1y2=-2p2,AM=2MB,(p-x1,-y1)=2(x2-p,y2),x1=-2x2+p,y1=-2y2,可得y2=p,y1=-2p,x2=12p,x1=2p,|AF|BF|=2p+12p12p+12p=52,故选B.8.(2018嘉兴模拟)如图,已知椭圆C的中心为原点O,F(-25,0)为C的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|,且|PF|=4,则椭圆C的方程为()A.x225+y25=1B.x236+y216=1C.x230+y210=1D.x245+y225=1答案B解析设椭圆C的标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0),焦距为2c,右焦点为F,连接PF,如图所示.因为F(-25,0)为C的左焦点,所以c=25.由|OP|=|OF|=|OF|知,FPF=90,即FPPF.在RtPFF中,由勾股定理,得|PF|=|FF|2-|PF|2=(45)2-42=8.由椭圆定义,得|PF|+|PF|=2a=4+8=12,所以a=6,a2=36.于是b2=a2-c2=36-(25)2=16,所以椭圆C的方程为x236+y216=1.9.(2018宁波模拟)已知双曲线x2a2-y2=1(a0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为233,P为双曲线右支上一点,且满足|PF1|2-|PF2|2=415,则PF1F2的周长为()A.25B.25+2C.25+4D.23+4答案C解析双曲线x2a2-y2=1(a0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为233,a2+1a=233,可得a=3,c=2,|PF1|-|PF2|=2a=23,|PF1|2-|PF2|2=(|PF1|-|PF2|)(|PF1|+|PF2|)=2a(|PF1|+|PF2|)=23(|PF1|+|PF2|)=415,|PF1|+|PF2|=25,由得|PF1|=5+3,|PF2|=5-3,PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=4+25,故选C.10.设双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F,过点F与x轴垂直的直线l交两渐近线于A,B两点,与双曲线的其中一个交点为P,设坐标原点为O,若OP=mOA+nOB(m,nR),且mn=29,则该双曲线的渐近线方程为()A.y=34xB.y=24xC.y=12xD.y=13x答案B解析不妨令Ac,bca,Bc,-bca,由OP=mOA+nOB可得P(m+n)c,(m-n)bca,代入双曲线方程得(m+n)2c2a2-b2c2a2(m-n)2b2=1,化简得c2a24mn=1,mn=29,c2a2=98,b2a2=18,故双曲线的渐近线方程为y=24x,故选B.二、填空题(本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分.将答案填在题中横线上)11.已知直线l1:2x-2y+1=0,直线l2:x+by-3=0,若l1l2,则b=;若l1l2,则两直线间的距离为.答案1724解析l1l2,则-2-2-1b=-1,解得b=1.若l1l2,则-2-2=-1b,解得b=-1.两条直线方程分别为x-y+12=0,x-y-3=0.则两直线间的距离为-3-122=724.12.已知圆C:x2+y2-2x-4y+1=0上存在两点关于直线l:x+my+1=0对称,经过点M(m,m)作圆C的切线,切点为P,则m=;|MP|=.答案-13解析圆C:x2+y2-2x-4y+1=0上存在两点关于直线l:x+my+1=0对称,直线l:x+my+1=0过圆心C(1,2),1+2m+1=0.解得m=-1.圆C:x2+y2-2x-4y+1=0,可化为(x-1)2+(y-2)2=4,圆心(1,2),半径r=2,经过点M(m,m)作圆C的切线,切点为P,|MP|=(1+1)2+(2+1)2-4=3.13.若OAB的垂心H(1,0)恰好为抛物线y2=2px的焦点,O为坐标原点,点A,B在此抛物线上,则此抛物线的方程是,OAB面积是.答案y2=4x105解析本题考查抛物线的标准方程与几何性质.因为焦点为H(1,0),所以抛物线的方程是y2=4x.设A(a2,2a),B(b2,2b),由抛物线的对称性可知,b=-a.又因为AHOB,得2aa2-12bb2=-1,解得a=5(不妨取正值),从而可得OAB面积是105.14.已知抛物线y=x2和直线l:y=kx+m(m0)交于两点A,B,当OAOB=2时,直线l过定点;当m=时,以AB为直径的圆与直线y=14相切.答案(0,2)14解析设A(x1,y1),B(x2,y2),y=x2,y=kx+m,整理得x2-kx-m=0,则x1+x2=k,x1x2=-m,y1y2=(x1x2)2=m2,y1+y2=k(x1+x2)+2m=k2+2m,由OAOB=2,则x1x2+y1y2=m2-m=2,即m2-m-2=0,解得m=-1或m=2,由m0,得m=2,直线l:y=kx+2,直线l过定点(0,2),设以AB为直径的圆的圆心M(x,y),圆M与y=14相切于点P,由x=x1+x22=k2,则Pk2,-14,由题意可知PAPB=0,即x1-k2,y1+14x2-k2,y2+14=0,整理得x1x2-k2(x1+x2)+k24+y1y2+14(y1+y2)+116=0,代入整理得m2-m2+116=0,解得m=14,当m=14,以AB为直径的圆与直线y=14相切.15.已知圆O1和圆O2都经过点A(0,1),若两圆与直线4x-3y+5=0及y+1=0均相切,则|O1O2|=.答案5解析如图,原点O到直线4x-3y+5=0的距离d=|5|42+(-3)2=1,到直线y=-1的距离为1,且到(0,1)的距离为1,圆O1和圆O2的一个圆心为原点O,不妨看作是圆O1,设O2(a,b),则由题意得b+1=a2+(b-1)2,b+1=|4a-3b+5|42+(-3)2,解得a=2,b=1.|O1O2|=22+12=5.16.双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线上一点,且PF1PF2=0,F1PF2的内切圆半径r=2a,则双曲线的离心率e=.答案5解析可设P为第一象限的点,由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a,PF1PF2=0,可得PF1PF2,由勾股定理可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,由可得2|PF1|PF2|=4c2-4a2=4b2,由三角形的面积公式可得12r(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)=12|PF1|PF2|,即有c+2a=c2+b2,两边平方可得c2+4a2+4ac=c2+b2=c2+c2-a2,即c2-4ac-5a2=0,解得c=5a(c=-a舍去),即有e=ca=5.17.(2018浙江镇海5月)已知抛物线y2=4x的焦点记为F,过点F作直线l交抛物线于A,B两点,则|AF|-2|BF|的最小值为.答案22-2解析由题意知,抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),当斜率k存在时,设直线AB的方程为y=k(x-1),设A(x1,y1),B(x2,y2),由y2=4x,y=k(x-1),整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.则x1+x2=2k2+4k2,x1x2=1,则x2=1x1,根据抛物线性质可知,|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,|AF|-2|BF|=(x1+1)-2x2+1=(x1+1)-2x1x1+1=x12+1x1+1,x10,设f(x)=x2+1x+1,x0,f(x)在区间(0,2-1)上单调递减,在区间(2-1,+)上单调递增,当x=2-1时,f(x)取最小值,最小值为22-2.|AF|-2|BF|的最小值为22-2.三、解答题(本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18.(14分)已知圆C:(x-1)2+y2=9内有一点P(2,2),过点P作直线l交圆C于A,B两点.(1)当l经过圆心C时,求直线l的方程;(2)当直线l的倾斜角为45时,求弦AB的长.解(1)已知圆C:(x-1)2+y2=9的圆心为C(1,0),直线过点P,C,kPC=2-02-1=2,直线l的方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0;(2)当直线l的倾斜角为45时,斜率为1,直线l的方程为y-2=x-2,即x-y=0,圆心C到直线l的距离为12.圆的半径为3,弦AB的长为34.19.(15分)(2017课标高考)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.(1)证明:坐标原点O在圆M上;(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.(1)证明设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.由x=my+2,y2=2x可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4.又x1=y122,x2=y222,故x1x2=(y1y2)24=4.因此OA的斜率与OB的斜率之积为y1x1y2x2=-44=-1,所以OAOB.故坐标原点O在圆M上.(2)解由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.故圆心M的坐标为(m2+2,m),圆M的半径r=(m2+2)2+m2.由于圆M过点P(4,-2),因此APBP=0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-12.当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为10,圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.当m=-12时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为94,-12,圆M的半径为854,圆M的方程为x-942+y+122=8516.20.(15分)已知椭圆C1:x216+y24=1,直线l1:y=kx+m(m0)与圆C2:(x-1)2+y2=1相切且与椭圆C1交于A,B两点.(1)若线段AB的中点的横坐标为43,求m的值;(2)过原点O作l1的平行线l2交椭圆于C,D两点,设|AB|=|CD|,求的最小值.解(1)将l1:y=kx+m代入C1:x216+y24=1得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-4)=0,0恒成立,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-8km1+4k2,x1x2=4(m2-4)1+4k2,所以-4km1+4k2=43,又d=|k+m|1+k2=1,得k=1-m22m,联立得m4-m2-2=0,解得m=2.(2)由(1)得|x1-x2|=416k2-m2+41+4k2,所以|AB|=1+k2416k2-m2+41+4k2,把l2:y=kx代入C1:x216+y24=1得x2=161+4k2,所以|CD|=1+k281+4k2,所以=|AB|CD|=16k2-m2+421+4k2=124-m21+4k2=124-m21+41-m22m2=124-m4m4-m2+1=124-11m2-122+3463,当m=2,k=-24时,取最小值63.21(15分)(2018浙江温州二模)斜率为k的直线交抛物线x2=4y于A,B两点,已知点B的横坐标比点A的横坐标大4,直线y=-kx+1交线段AB于点R,交抛物线于点P,Q.(1)若点A的横坐标等于0,求|PQ|的值;(2)求|PR|QR|的最大值.解(1)A(0,0),B(4,4),k=1.联立y=-x+1x2=4yx2+4x-4=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则|PQ|=1+k2|x1-x2|=8.(2)设AB的方程为y=kx+b,代入x2=4y,得x2-4kx-4b=0.xB-xA=16k2+16b=4,k2=1-b.由y=kx+by=-kx+1xR=1-b2k=k2,联立y=-kx+1x2=4yx2+4kx-4=0,x1+x2=-4k,x1x