数学必修一集合与函数.doc

第一章集合与函数1.1集合1.1.1集合的含义与表示（第一课时）13【课标定向】学习目标通过实例了解集合的含义；体会元素与集合的“属于”关系.；了解集合中元素的三个特性.提示与建议结合实例，通过思考、研究集合中元素的特征把握集合的特点，体会元素与集合的关系.【互动探究】自主探究1.一般地，我们把研究对象统称为_,把一些元素组成的总体叫做_(简称为_).2.给定的集合,它的元素必须是确定的.也就是说,给定一个集合,那么_.3.一个给定集合中元素是互不相同的,也就是说,_.4.集合中元素不考虑顺序，也就是说_.5.如果是集合A的元素,可以记作_，读作_，如果不是A的元素，记作_.6.只要构成两个集合的元素是_的,我们就称这两个集合是相等的.剖析探法讲解点一 集合的概念集合中的元素具有以下特征：（1）确定性：作为集合的元素，必须是确定的.对于集合A的元素，要么，要么，二者必居其一.如:所有“大于200的数”组成一个集合,而“较大的数”就不能构成一个集合,因为它的元素是不确定的,怎样的数才算较大没有明确的定义.(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，也就是说，在给定的集合中，任何两个元素都是不相同的.(3)无序性:集合中元素的排列次序无关,如1,2和2,1构成的集合相同.例题1 下列各组对象:(1)接近于0的数的全体;(2)比较小的正整数的全体;(3)平面上到点0的距离等于1的点的全体;(4)正三角形的全体;(5)的近似值的全体.其中能构成集合的组数是( )A.2 B.3 C.4 D.5【思维切入】判断所给对象能否构成集合的依据就是集合元素的三个特征.满足集合元素的特征就能构成集合,如不满足就不能构成集合.【解析】(1)(2)(5)不满足集合元素的特征,不能构成集合;(3)(4)构成集合,故选A.【规律技巧总结】判断一组对象是否构成集合关键就是看所给对象是否满足集合中元素的特征.例题2 已知A=m,1,求m的取值范围.【思维切入】 既然m,1是集合三个元素,这三个元素就互不相同.【解析】因为m,1是所给集合的元素,所以，即 所以且.【规律技巧总结】解答本类问题,只要保证所给元素满足集合元素的互异性即可，若求集合中参数取值问题，必须进行检验.【思维拓展】已知A=m,2,2,求m的取值范围.【解析】因为m,2,2是集合中的三个元素，所以， 即 所以且.讲解点二 元素与集合的关系元素与集合有属于与不属于两种关系:如是A的元素,就说属于集合A,记作;如果不是集合A的元素,就说不属于集合A,记作.例题3 用符号或填空:(1)0_; (2)_(3)_ (4)_.【思维切入】首先要熟悉所给的符号分别代表哪个集合,再判断元素是否是对应集合的元素.【解析】(1) (2) (3) (4) 【规律技巧总结】(1)一些常用数集的记法：非负整数集 (或自然数集)记作N;正整数集记作或;整数集记作;有理数集记作;实数集记作. (2) 与取决于是不是集合的元素.根据集合中元素的确定性,可知对任何与,在与这两种情况中必有一种且只有一种情况成立.精彩反思集合中的元素具有三大特征：确定性：作为集合的元素，必须是确定的.互异性：在给定的集合中，任何两个元素都是不相同的.无序性:集合中元素的排列次序无关.其中互异性是判断集合元素个数,判断所给元素能否构成集合的依据;确定性是判断元素与集合关系的依据.解答有关的集合问题时需要我们密切关注集合中元素的这些特征.【自我测评】1.下列条件中能构成集合的是( )A 世界著名科学家B 在数轴上与原点非常接近的点C 所有等腰三角形D 全班品质好的同学2.已知集合中三个元素是的三边长,那么一定不是( )A 锐角三角形 B 钝角三角形C直角三角形 D 等腰三角形3.给出下列三个关系:,其中正确的个数是( ).A 0 B 1 C 2 D 34.下列三个结论:(1)集合中最小的数是1;(2)则;(3),则的最小值是2.其中正确结论的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.35. 用符号或填空_ _N; 1_N; -2 _Q;_ Q; 3_ R; 2_ N 6._.7.判断下列说法是否正确,并说明理由.(1)学校中的年轻教师组成一个集合; (2)由数组成的集合中有5个元素; (3)由组成的集合与由组成的集合是同一个集合.【拓展迁移】思维提升8. 9. .视野拓展数学三大难题（之一）有20棵树，每行四棵，古罗马、希腊在16世纪就完成了16行的排列，18世纪高斯猜想能排18行，19世纪美国劳埃德完成此猜想，20世纪末两位电子计算机高手完成20行纪录，跨入21世纪还会有新的突破吗？1.1.1集合的含义与表示 (第二课时)【课标定向】学习目标1.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)来描述不同的集合问题；2.感受集合语言的意义和作用.提示与建议用列举法表示集合时,注意元素不能重复,不能遗漏;用描述法表示集合时首先要清楚集合中代表元素是什么,元素满足什么特征.对比集合的两种表示方法的特点,可以达到准确掌握,灵活运用的目的.【互动探究】自主探究1.把集合的元素_,并用_括起来表示集合的方法叫做列举法.2.请用列举法表示“地球上的四大洋”组成的集合.3.用集合所含元素的_表示集合的方法称为描述法,具体方法是:_.4.图示法：即_，可将集合中元素形象直观的表示出来.5.对某一个具体的集合，表示方法_.剖例探法讲解点一 列举法将集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合的方法就是列举法.使用列举法时注意一下几点:(1)元素间用分隔号“,”隔开;(2)元素不重复;(3)元素无顺序;(4)对于含有较多元素的集合,如果元素有明显的规律,可以用列举法,但必须把元素间的规律显示清楚后才能用删节号.例题1 用列举法表示下列集合:方程的实根组成的集合;小于5的所有自然数组成的集合.大于20的整数组成的集合.【思维切入】从列举法的定义、注意事项入手,注意体现列举法的特征.【解析】(1)-1,1; (2)0,1,2,3,4；(3)21，22，23，；(4)；0，6，14，21.【规律技巧总结】列举法表示集合时注意无序性、互异性. 对于多元素集合可以用省略号表示,应用时要恰当.讲解点二 描述法描述法就是把集合中的元素所具有的共同特征叙述出来,写在大括号内.格式为代表元素|元素所满足的共同特征.用描述法表示集合时要注意:(1)弄清楚元素所具有的形式(即代表元素是什么),是数,还是有序实数对,还是其他形式.(2)元素具有怎样的共同属性.例题2 用描述法表示下列集合:(1)所有正奇数组成的集合;(2)所有偶数组成的集合.【思维切入】弄清集合中的元素及怎样用数学或文字语言描述它们的共性.【解析】(1)(2) 【规律技巧总结】描述法表示集合的重点是共性的描述,代表元素只是形式.如(2)中的集合可以表示为或思维拓展 下面三个集合:(1);(2);(3)它们是不是相同的集合?如果不是,它们各自的含义是什么?【思维切入】对于描述法给出的集合,首先要清楚集合中代表元素是什么,元素满足什么共同特征.【解析】由于三个集合的代表元素不同,所以三个集合不相同.集合(1)代表元素是,表示满足条件的所有组成的集合,所以=R.集合(2)代表元素是表示满足条件的所有组成的集合,所以=集合(3)代表元素是点,表示曲线上的所有点组成的集合.例题3 用适当的方法表示下列集合:(1)由大于5小于9的自然数组成的集合;(2)不等式的解组成的集合;(3)被3除余1的正整数的集合.【思维切入】根据集合的元素的特点选择适当的方法.【解析】(1)6,7,8; (2);(3).【规律技巧总结】列举法和描述法是表示集合的两种基本方法，应注意其优缺点. (1)中集合也可以用描述法表示,集合表示方法一般要符合简洁的原则.精彩反思列举法的优点是可以明确集合中元素及元素个数.常用来表示有限集或有特殊规律的无限集.描述法的优点是可以明确说明集合元素的共同特征,常用来表示无限集.【自我测评】1.下列集合表示法正确的是( )A 1,2,2 B 全体实数C 有理数 D 2.集合的另一种表示方法是( )A 0,1,2,3,4 B 1,2,3,4C 0,1,2,3,4,5 D1,2,3,4,53.用符号或填空:(1)_(2)(-1,1)_;(3)(1,2)_【拓展迁移】思维提升4.用列举法表示下列集合:(1);(2)(3)不大于6的非负整数组成的集合;(4)方程组的解的集合.5.用描述法表示下列集合：所有正偶数组成的集合；由3与4的所有公倍数组成的集合.视野拓展数学三大难题（之二）相邻两国不同着一色，任一地图着色最少可用几色完成着色？五色已证出，四色至今美国阿佩尔和哈肯，罗列了很多图谱，通过计算机逐一理论完成，全面的人工推理尚待有志者。1.1.2集合间的基本关系【课标定向】学习目标理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集;在具体情境中了解空集的含义；能用Venn图表示集合的关系.提示与建议子集是描述两个集合关系的概念.集合A是集合B的子集的本质是:集合A的任何一个元素都是集合B的元素,无论是有限集还是无限集,只要是集合A的元素就一定是集合B的元素.特别注意: 是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.【互动探究】自主探究1.用_代表集合，这种图称为Venn图2. 如果_，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集记作：_3. 若集合，_，则称集合A是集合B的真子集（proper subset）记作_4. _，记作_5.空集是指_，记作_6.写出1,2的所有子集,并指出哪些是它的真子集.7. 下列六种关系中正确的是_， ， ，剖例探法讲解点一 子集与真子集1.如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合是集合的子集记作：读作：包含于，或包含即任意x都有x2.若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集（proper subset）。记作： （或 ）. 读作：真包含于（或真包含）.，且存在.3.子集的性质规定：空集是任意集合的子集，即所以空集是任意非空集合的真子集，即若，则传递性：若，且，则；若B，C，则C例题1 已知1,21,2,3,4写出所有的集合.【思维切入】根据子集，真子集的定义求解.【解析】适合题意的有1,2,1,2,3,1,2,4.【规律方法总结】集合含有1,2，在内的二元素或三元素集合，且满足1,2,3,4例题2 已知集合1，3，2m1，集合3，m2若，则实数m_【思维切入】,说明中的所有元素都属于，3是的元素, m2也是的元素,所以m2一l或者m22m1.【解析】，3A,m2m2一l(舍去)或m22m1解得m1m1【规律技巧总结】解决这类问题,需要从分析集合间元素的关系入手,同时需要注意元素的互异性.讲解点二 集合相等两个集合相等就是两个集合中元素都相同从子集的角度考虑就是: 例题3 已知集合，,且=,求的值.【思维切入】由=可得或,解后要验证,【解析】由=可得或解得或或.验证,当时, =2,0,0,这与集合中元素的互异性相矛盾.所以或.【规律技巧总结】集合相等问题就是从元素入手,看元素满足什么条件才能保证两个集合相等.求出参数后需要验证参数是否与元素集合的特征相违背.精彩反思.任取x都有x；，且存在；.包括和B.和集合元素的特征是本部分容易忽略的地方,需要我们在学习的时候特别注意.【自我测评】1判断正误：(1)空集没有子集.（ ）(2)空集是任何一个集合的真子集.( )(3)任一集合必有两个或两个以上子集.( )(4)若，那么凡不属于集合的元素，则必不属于.( )2.若,且=0,1,2,3，C=0,2,4,5,则满足条件的集合A可以是( )A 0,1 B 0,3 C 2,4 D 0,23.若集合M=,则下列结论中正确的是( )A M B M C M D M4设A=,则( )A B C D 5.已知=菱形,=正方形, =平行四边形,则,之间的关系是_.6满足条件11,2,3,4的集合有 _个.7. 【拓展迁移】思维提升8数集X=2n+1|nZ与集合Y=4k1|kZ之间的关系是（）.=.9.设集合，且，求的值.视野拓展数学三大难题（之三）任三人中可证必有两人同性，任六人中必有三人互相认识或互相不认识（认识用红线连，不认识用蓝线连，即六质点中二色线连必出现单色三角形）。单色三角形中，尤以不出现单色三角形的极值图谱的研究更是难点中之难点，热门中之热门1.1.3集合的基本运算【课标定向】学习目标理解两个集合的并集与交集的含义;会求两个简单集合的并集与交集；弄清“或”、“且”的含义.提示与建议（1）符号“”像大桶收尽A、 B元素，符号“”像小网捞出A、 B公共元素（2）并集与“或”相关，交集与“且”相关【互动探究】自主探究1._的集合，称为A与B的并集，记作：AB即AB=_.2._集合称为A与B的交集记作：AB即AB=_3.求所给每组集合A,B的并集C:A=1,3,5，B=2,4,6；A=4,5,6,8，B=3,5,7,8；A=Q，B=|是无理数4. 求所给每组集合A,B的交集C:(1)A=4,5,6,8，B=3,5,7,8；(2)A=Q，B=x|x是无理数剖例探法讲解点一 并集的概念与运算由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的并集，记作：AB即AB=x|xA，或xB.注意：AB就是把A，B中的元素合在了一起，只不过相同元素只计一次.性质：(1) A A= A, A=A (2) AB=B A B例题1设集合A=|-12，B=|13，求AB【思维切入】为了方便的看出所求集合的并集可以借助于数轴,但要注意端点的虚实.【解析】AB=|-12或13=| -13-1213x【规律技巧总结】用数轴表示集合时，重点考虑端点虚实，见阴影就收在并集内.思维拓展 已知集合,求AB.【解析】AB=30-2oo-3o【规律技巧总结】借助数轴求集合的并集时需要把各个集合端点的相对位置画准确.讲解点二 交集的概念与运算由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合称为A与B的交集记作：AB即AB=|A，且B性质：（1）A A = A，A=；（2）AB=A A B例题2 设集合A=(,y)|y=4+6，B=(,y)|y=5-3 ，求AB【思维切入】两个集合中元素是数对，求交集就是方程组的解集.【解析】， .【规律技巧总结】注意集合元素的特性.讲解点三 并集、交集的性质及简单应用1. 2.交集的性质例题3 .【思维切入】由知3A，解出a即可.【解析】=3a=0或a=2 a=0时，A=2,4,3, B=1,2,3,4 不适合舍去a=2时，A=2,4,3, B=3,-2,2,-3 适合a=2【规律技巧总结】解完后不要忘记检验元素的互异性或其他条件是否适合.精彩反思注意并集与交集区别：通俗的说，并集就是不重复的收集了两个集合的所有元素；交集就是收集了两个集合的公共元素.并集与“或”相关，交集与“且”相关.会用Venn图表示两集合（或三个集合）的交集与并集，并能利用图形进行计算或证明，如：【自我测评】1.设集合,则=( )A 0,1 B -1,0,1C 0,1,2 D -1,0,1,22.设集合,则=( )A BC D3.下面四个结论:(1)若,则;(2)若,则;(3)若,且,则;(4)若,则.其中正确的个数为( )A 1 B 2 C 3 D44.已知A=x|x是锐角三角形,B=x|x是钝角三角形,则=_,=_5.设,，则=_,=_6.设,求.7.设,求，.【拓展迁移】思维提升设A=|-24,B=|a,且求a的取值范围.视野拓展西弗斯串在古希腊神话中，科林斯国王西西弗斯被罚将一块巨石推到一座山上，但是这块石头推上去就滚下来，永无休止。著名的“西西弗斯串”就是根据这个故事而得名的。什么是“西西弗斯串”呢？也就是任取一个数，例如35962，数出这个数中的偶数个数、奇数个数及所有数字的个数，就可得到2（2个偶数）、3（3个奇数）、5（总共5个数），用这3个数组成一个数字串235.对235重复上述程序，就会得到1、2、3，将数字串123再重复进行，仍得123.对这个程序和数的“宇宙”来说123就是一个数字黑洞。1.1.3集合的基本运算【课标定向】学习目标理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.提示与建议1.求某一集合的补集的前提是明确全集,同一集合在不同全集下补集是不同的,补集和全集是两个相互依存不可分割的概念.2.全集是对于研究问题而言的一个相对概念,它含有与研究问题有关的所有集合的全部元素,全集因研究问题而异.【互动探究】自主探究1.一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为_.2.对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合成为集合A相对于全集U的_.3.已知全集U= 1，2，3，4 ,M=1,2，则4. 已知:全集U= ,M=1,2，则CU M=_.剖例探法讲解点一 补集全集：在给定的问题中，若研究的所有集合都是某一给定集合的子集，那么称这给定的集合为全集.若A是全集U的子集，由U中不属于A的元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作.基本性质 ，.例题1设集合U=1，2，3，4，5，A=1，2，3，B=2，5，则A=（ ）A.2 B.2，3 C.3 D.1，3【思维切入】根据补集的定义先求出，再进一步求A.【解析】因为U=1，2，3，4，5，B=2，5，所以A=1，3，4.又A=1，2，3，所以A=1，3.【规律技巧总结】求B在U中的补集就是将U中属于B的元素去掉.思维拓展如图，I表示全集，图中的阴影部分表示的集合是（ ）. A.（AB） B.（AB）C.（AB）（BA）D.（AB）（BA）【思维切入】（方法1）图中阴影部分是两部分的并集，最易猜想的是C，再对C进行考查；（方法2）对A、B、C、D逐个验证.【解析】由图知，阴影部分是（AB）（BA），答案为C.例题2 已知全集U=,集合A=,求A的补集.【思维切入】数集之间的运算常借助于数轴,根据直观图形写出结果.【解析】=.【规律技巧总结】解答本类问题避免出错的一个有效手段是合理利用数轴帮助分析与求解，这也是数与形完美结合之所在，需要密切注意集合端点的虚实.讲解点三 集合的应用例题3 已知集合A=x|x2+ax+12b=0和B=x|x2-ax+b=0，满足（A）B=2，AB=4，U=R，求实数a，b的值【思维切入】（A）B=2，2B，2A，2是x2-ax+b=0的根；同理AB=4，4A， 4B，4是x2+ax+12b=0的根.【解析】（A）B=2，2B，2A，AB=4，4A， 4B，a=，b= -.【规律技巧总结】深刻理解体会补集的含义，从而看懂（A）B=2，AB=4所隐含的意义是成功解答本题的关键.精彩反思1.同一集合在不同全集下补集是不同的,补集和全集是两个相互依存不可分割的概念,求某一集合的补集的前提是明确全集.全集因研究问题而异,是一个相对确定的概念.2.在处理补集问题时用好图示法.【自我测评】1.若集合M=0,1,I=0,1,2,3,4,5,则为( )A 0,1 B2,3,4,5C0,2,3,4,5 D1,2,3,4,52.设U=R,A=,则=( )ABCD3.设集合I=0,1,2,3,4为全集,集合A=0,1,2,3,B=2,3,4则=( )A0 B0,1C0,1,4 D0,1,2,3,44.设集合S=三角形,A=直角三角形,则=_.5.设全集U=1,2,3,4,5,6,=5,6,则A=_.6.在下面图形中，用阴影表示出集合A. 7.设全集U=x|-5x5,A=x|,则A=_.【拓展迁移】思维提升8.设U为全集，M、N是U的两个子集，用适当的符号填空：（1）若MN,则 ;（2）若=N，则M .9.设A=x|-4x-,B=xx-4,求A.10.有15人进家电超市，其中有9人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两种都没买的有 人.视野拓展代数学的西文名称algebra来源于9世纪阿拉伯数学家花拉子米的重要著作的名称。该著作名为“ilm al-jabr wa1 muqabalah”，原意是“还原与对消的科学”。这本书传到欧洲后，简译为algebra。清初曾传入中国两卷无作者的代数学书，被译为阿尔热巴拉新法，后改译为代数学（李善兰译，1853）1.2 函数及其表示1.2.1函数的概念【课标定向】学习目标学习用集合与对应关系的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用;了解构成函数的三要素;会求一些简单函数的定义域.提示与建议通过丰富的实例体会函数是描述变量间的依赖关系的重要的数学模型.【互动探究】自主探究1.设A,B是非空数集,如果按照某种确定的对应关系F,使对于集合A中的任意一个实数x,在数集B中都有_的数f(x)和它对应,那么就称f:为从集合A到集合B的一个函数.记作_.其中,x叫做_,x的取值范围A叫做函数的_.与x值对应的y的值叫做_,它的集合叫做_.2.一次函数的定义域为_,值域为_.剖例探法讲解点一 函数概念的理解在严格的数学定义中,函数就是从一个集合A到另一个集合B的对应关系,这种关系的特殊性在于:A中的任何一个元素在集合B中都有对应元素,且对应元素是唯一的.例题1 判断下列对应能否表示从集合A到集合B的函数.(1);(2);(3)“求平方根”;(4)“求算术平方根”.【思维切入】就是看从集合A到集合B的对应是否满足: A中的任何一个元素在集合B中都有对应元素,且对应元素是唯一的.【解析】(1)满足函数定义的要求,所以是函数.(2)不是函数,因为A的“0”在B中没有对应元素;(3)不是函数,因为A中元素的对应元素不唯一(正实数的平方根有两个).(4)是函数.【规律技巧总结】关注函数定义的要求的同时注意集合中特殊元素的对应元素的特点.例题2 从甲地到乙地火车票价为80元,儿童乘火车时,按身高确定免票、半票或全票.票价情况如下表：身高h/m购票款w/元0401.480（1）写出购票款w关于儿童身高h的函数关系式；（2）写出函数的定义域和值域（不妨假设全世界最矮的儿童0.5m，最高的2.7m）.【思维切入】将身高和票价的对应关系用数学式子表示出来即可.【解析】(1);(2)函数的定义域为;值域为0,40,80.【规律技巧总结】当函数的定义域的不同部分对应不同的解析式时,我们常表示为这样的分段函数的形式.讲解点二 函数符号y=f（x）的理解（1）符号y=f（）是“y是x的函数”的数学表示，除了将用f（）外，还常用g（），F()，G()等.(2) f（）与f（1）的含义不同.f（）的变量x的函数，在一般情况下是一个变量；而f（1）是自变量为1时所对应的函数值，是一个常量.例题3 已知函数(1)求(2)求函数的定义域.【思维切入】(1)只要将函数式中分别换成,求出值即可;(2)函数的定义域就是保证式子有意义的的取值集合.【解析】(1);.(2)要使函数有意义,则,即.所以函数的定义域为.精彩反思理解函数概念,要注意函数三要素:定义域,值域,对应法则,其中对应法则是核心.通俗的说,f就是对自变量x进行“操作”的“程序”,按照这一“程序”从集合A中任一x,可得出B中唯一y与之对应.同一f可以操作不同的变量,如f(x)是对x进行操作,而f()则是对进行操作.【自我测评】1.下列用图标给出的函数关系中,当x=6时,对应的函数值y等于( )xy1234A2 B3 C4 D无法确定2.在上面的图表中,函数的定义域是( )A BC D 3.已知函数,则=( )A B C D 4.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看做时间的函数其图像可能是（）已知函数（）,g()分别由下表给出：123f()211123g()321 则fg(1)的值为 ；当gf()=2时，= .6.某种茶杯,每个2.5元,把买茶杯的钱数y(元)表示为茶杯个数x(个)的函数,则y=_,其定义域为_.7.已知函数,求:(1);(2);(3).【拓展迁移】思维提升6.已知函数,求的值.视野拓展20世纪著名数学家诺伯特维纳，在博士学位的授予仪式上，当执行主席当面询问他的年龄时，维纳的回答十分巧妙：“我今年岁数的立方是个四位数，岁数的四次方是个六位数，这两个数，刚好把十个数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全都用上了，不重不漏。这意味着全体数字都向我俯首称臣，预祝我将来在数学领域里一定能干出一番惊天动地的大事业。”1.2.1函数的概念【课标定向】学习目标了解构成函数的三要素：定义域，值域，对应法则；会用区间表示函数的定义域，值域.提示与建议1.两个函数当且仅当它们三要素完全相同时，才表示同一函数，根据它们之间的关系，判断两个函数是否为同一函数，主要看它们的定义域，对应法则是否相同.2.求函数的定义域就是求使这个函数有意义的自变量的取值集合.3.“”是一个符号，而不是一个数.4.区间表示的是连续数集，不连续的数集不能用区间表示.区间与数轴联系密切.【互动探究】自主探究1.把下列数集用区间表示：（1）；（2）；（3）.2.函数的定义域是( )A BC D剖例探法讲解点一 函数三要素的应用函数的三要素指定义域，值域，对应法则. 两个函数当且仅当它们三要素完全相同时，才表示同一函数，根据它们之间的关系，判断两个函数是否为同一函数，主要看它们的定义域，对应法则是否相同.例题1 试判断下列函数是否为同一函数:(1)与(2)与;(3)与;(4)与.【思维切入】对于两个函数, 当且仅当它们三要素完全相同时，才表示同一函数.判断两个函数是否为同一函数，主要看它们的定义域，对应法则是否相同.【解析】(3)是,(1)(2)(4)不是.对(1)来说,的定义域为,而的定义域为R;对于(2), 的定义域为,而的定义域为,定义域也不同;(4)中的的定义域为R, 的定义域为,因此也不是同一函数.(3)中两个函数尽管自变量一个用一个用表示,但它们的定义域相同,对于定义域中的同一个变量,根据对应法则都能得到同一个函数值,因此二者是同一个函数.【规律技巧总结】判段两个函数是否是同一个函数,首先要看二者的定义域是否相同,其次再看其对应法则,尤其注意形式不同的对应法则是否仍是同一对应法则.讲解点二 区间的应用区间是研究函数时常用的概念,它的优点是简洁直观.区间表示的是数集,但并不是所有的数集都可以用区间表示,如:1,2,3就不能用区间表示.用区间时要特别注意是否包含区间的端点,如(1,2)和(1,2是不同的区间.例题2 把下列数集用区间表示:(1);(2).【思维切入】根据区间的定义进行“翻译”即可.【解析】 (1)=.(2) =.【规律技巧总结】用区间表示集合时需要注意区间端点的取舍；区间的左端点必须小于右端点.讲解点三 求函数定义域求函数的定义域就是求使函数式有意义的自变量的取值集合.比如:分式的分母不能为0;偶次根式的被开方数不小于0等.例题3 求函数y=的定义域.【思维切入】本题需要保证两个方面:一是被开方数,二是分母不等于0.【解析】要使函数有意义,须解得且所以函数的定义域为(-，0)(0,1【规律技巧总结】求函数的定义域，一般转化为解不等式或不等式组问题；求定义域最后的结果需要用集合或区间表示.精彩反思求函数定义域的原则:(1) 当以表格的形式给出时,其定义域指表格中的的集合;(2)当以图象的形式给出时,其定义域有图象范围决定;(3) 当以解析式给出时,其定义域由使解析式有意义的的集合构成;(4)在实际问题中，函数的定义域由实际问题的意义确定.【自我测评】1.下列函数中表示同一函数的是（ ）A. f(x) =, g(x)= B. f(x)= x , g(x)= |x|C. f(x)= g(x)=D. f(x)=, g(x)=2.下列各式中，函数个数为（ ）（1）（2）；（3）；（4）。A 4 B 3 C 2 D 13.函数y=的值域是（ ）A.B.C.D.R4.将下列集合用区间表示出来:（1）；（2）；（3）.5.求下列函数的定义域：（1）y=（2）y=.6.求下列函数的值域：（1）y=2+1,;(2)y=-1().【拓展迁移】思维提升7.已知函数，求：（1） f（2）；（2）若=5，求的值.视野拓展国际数学家大会（简称ICM）是国际数学界四年一度的大集会。在会上颁发菲尔兹奖奖章和奖金，同时颁发奖励信息科学方面的奈望林纳奖。1998年在德国柏林举行的第23届国际数学家大会上，国际数学家联合会决定设置高斯奖这一奖项。1.2.2函数的表示法(第一课时)【课标定向】学习目标会根据需要选择恰当的方法(如图象法,列表法,解析式法)表示函数;了解分段函数的简单应用.提示与建议各种表示方法都有各自的优点和缺点,需要根据问题的实际需要灵活选择.【互动探究】自主探究1.函数的表示方法,常用的有_,_,_.2.下列函数适合用哪种方法表示?(1)银行中表示利息为存期的函数;(2)2000年到2009 年10年中各年的国民生产总值随时间变化的函数;(3)气象台用自动记录仪器描绘温度随时间变化的函数.3.国内跨省市之间的邮寄信函，每封信函的质量和对应邮资如下表：信函质量m/g0m2020m4040m6060m8080m100邮资M/元0.801.602.403.204.00画出函数图象并写出它的解析式.剖例探法讲解点一 函数的表示方法表示的函数的方法,常用的有列表法,图象法,解析法三种.1.列表法通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数的方法叫列表法.优点:可以直接看出与自变量的值对应的函数值,这种表格经常用到生产和生活中.缺点:它只能表示自变量取较少的有限值的对应关系.2.图象法优点:能形象的表示出函数随自变量变化的趋势.缺点:只能近似求出自变量对应的函数值,而且有时误差较大.3.解析法如果函数时用一个式子表示的,这种表示函数的方法就叫做解析法.优点:简洁,全面的概括了变量间的关系,同时,通过解析式可以求出任意一个自变量所对应的函数值.缺点:不够形象,直观,具体,而且并不是所有的函数都可以用解析法表示出来.例题1 作下列函数的图像,并写出函数的值域:(1);(2);(3).【思维切入】(1)图象是分布在直线上的孤立的点; (2)图像是折线; (3)图象是一段曲线.【解析】 (1)由图象可以看出函数的值域为. (2)原函数可写为,图象是端点为(1,0) 的两条射线.值域为【0,（3）值域为【规律技巧总结】作函数图象的步骤：列表描点连线,同时应充分利用已知函数的图象；函数的图象可以是一群孤立的点、线段、直线及曲线.讲解点二 分段函数A-1 B -1 1 -1 C11 -1 D分段函数是一种特殊的函数,其解析式是由几个不同的式子构成,它们合为一个整体表示一个函数.分段函数的定义域,值域分别是各段定义域,值域的并集.例题2 如图,在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P,沿着边线BCDA由B向A运动.设点P运动的距离为,的面积为.(1)求与之间的关系式;(2)画出的图象.【思维切入】点P在BC,CD,DA上运动时,三角形的高及的表达式都发生变化,所以需要写成分段函数的形式.【解析】(1)(2)的图象为【规律技巧总结】分段函数是一个函数,不要误认为是“几个函数”,它的定义域是各段定义域的并集.精彩反思函数的三中表示方法都有各自的优点和缺点，需要我们根据实际情况灵活选择;分段函数是一种特殊的函数，与分段函数有关的很多问题分情况来处理.【自我测评】1.函数的图像是（ ） 2.某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等累了再走余下的路程，在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中较符合学生走法的是（ ）A B 3.已知函数，求fff(5)的值.4.设距地面x（km）处的气温为y（），在距地面11km内y随x的增加而降低，且每升高1km，气温降低6；高度超过11km时，气温可视为不变，设地面温度为22，试写出y=f（x）的表达式，并画出函数图象.【拓展迁移】思维提升 5.如图，动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发，顺次经过B、C、D，再回到A.设x表示P点的行程，y表示PA的长度，求y关于x的函数关系式.视野拓展华罗庚是一位人生经历传奇的数学家。华罗庚在解析数论、矩阵几何学、典型群、自守函数论、多复变函数论、偏微分方程、高维数值积分等广泛数学领域中都作出卓越贡献，有许多用他他的名字命名的定理、引理、不等式、算子与方法。华罗庚还根据中国实情与国际潮流，倡导应用数学与计算机研制，为经济建设作出了重大贡献。1.2.2 函数的表示法(第二课时)【课标定向】学习目标学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用;会根据需要选择恰当的方法表示函数;了解映射的概念.提示与建议映射与图象,表格,解析式一样,都是反应的变量之间的对应关系.【互动探究】自主探究1.设A,B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有_的元素与之对应，那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射.2.对于映射我们通常把集合A中的元素叫 ，B中与原象对应的元素叫 .3. 对于映射，A中任何一个元素在B中有 元素与之对应，即每个原象都有 象，但不同原象可以有同一个象.4. 已知f（x），则_；f_剖例探法讲解点 映射(1)映射是函数概念的推广,函数是一种特殊的映射,其特殊性在于函数是数集到数集的对应,而映射则不局限于此.(2)映射具有方向性.从A到B的映射和从B到A的映射不一样.(3)对于映射,通常把集合A的元素叫做原象,与之对应的元素叫做象.(4)根据映射的定义,每一个原象都有唯一的象,但不同的原象可能有同一个象.例题1 在下列各图中,箭头标明A中元素与B中元素的对应法则,它们是否为映射?是否为函数?【思维切入】判断的依据就是映射的概念. 看对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中是否都有唯一确定的元素与之对应.【解析】(1)不是映射,也不是函数.因为集合A中元素的对应元素不唯一.(2)不是映射,也不是函数.因为集合A中的元素3没有对应元素.(3)(4)是映射,也是函数.【规律技巧总结】判断一个对应是否为映射，要紧扣映射的定义，深刻理解定义中的关键词“任意”、“都有”、“唯一”等；只要建立在两个非空数集上的映射就是函数.思维拓展判断下列对应是否是集合A到集合B的映射?(1)集合A=1,2,3,4,集合B=3,4,5,6,7,8,9对应关系为;(2)集合A=Z,B=,对应关系为;【解析】(1)A中元素在f作用下都能找到唯一的对应元