山东省沂水县高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.3.2平面与平面垂直的判定学案.docx

23.2平面与平面垂直的判定学习目标1.理解二面角及其平面角的概念，能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角；2.掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角；3.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直知识点一二面角思考1观察教室内门与墙面，当门绕着门轴旋转时，门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状数学上，用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所在的平面所形成的角？答案二面角思考2平时，我们常说“把门开大一点”，在这里指的是哪个角大一点？答案二面角的平面角1定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形2相关概念：这条直线叫二面角的棱，两个半平面叫二面角的面3画法：4记法：二面角l或AB或PlQ，或PABQ.5.二面角的平面角：若有Ol；OA，OB；OAl，OBl，则二面角l的平面角是AOB.知识点二平面与平面垂直思考建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成“铅锤”，用这种方法来检查墙与地面是否垂直当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？此时铅锤线与地面什么关系？答案都是垂直1平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直(2)画法：记作：.2判定定理文字语言一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直图形语言符号语言l，l类型一定义法判定两平面垂直例1如图，在四面体ABCD中，BDa，ABADCBCDACa.求证：平面ABD平面BCD.解因为ABD与BCD是全等的等腰三角形，所以取BD的中点E，连接AE，CE，则AEBD，BDCE.在ABD中，ABa，BEBDa，所以AEa.同理CEa，在AEC中，AECEa，ACa.由于AC2AE2CE2，所以AECE，所以AE面BCD.又AE面ABD，所以平面ABD平面BCD.反思与感悟1.利用两个平面互相垂直的定义可以直接判定两平面垂直，其判定的方法是：(1)找出两相交平面的平面角；(2)证明这个平面角是直角；(3)根据定义，这两个相交平面互相垂直2此类问题在证明平面角是直角时常用勾股定理的逆定理，解答时要特别注意跟踪训练1如图，过S点引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且ASBASC60，BSC90.求证：平面ABC平面BSC.证明取BC中点D，连接SD、AD，由SASBSC，ASBASC60，得ABACSA.ADBC，SDBC，ADS是二面角ABCS的平面角又BSC90，令SA1，则SD，AD，SD2AD2SA2.ADS90，平面ABC平面BSC.类型二面面垂直的判定定理判定两平面垂直例2如图，在四棱锥PABCD中，若PA平面ABCD且ABCD是菱形求证：平面PAC平面PBD.证明PA平面ABCD，BD平面ABCD，BDPA.ABCD是菱形，BDAC.又PAACA，BD平面PAC.又BD平面PBD，平面PBD平面PAC.反思与感悟 利用面面垂直的判定定理证明两平面垂直，只需转证线面垂直，关键是在其中的一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直跟踪训练2如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB90，ACAA1，D是棱AA1的中点证明：平面BDC1平面BDC.证明由题设知BCCC1，BCAC，CC1ACC，所以BC平面ACC1A1.又DC1平面ACC1A1，所以DC1BC.由题设知A1DC1ADC45，所以CDC190，即DC1DC.又DCBCC，所以DC1平面BDC.又DC1平面BDC1，故平面BDC1平面BDC.类型三求二面角的大小例3如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABCA1B1C1中，AB4，ACBC3，D为AB的中点(1)求点C到平面A1ABB1的距离；(2)若AB1A1C，求二面角A1CDC1的平面角的余弦值解(1)由ACBC，D为AB的中点，得CDAB，又CDAA1，故CD面A1ABB1，所以C到平面A1ABB1的距离为CD.(2)如图，取D1为A1B1的中点，连接DD1，则DD1AA1CC1.又由(1)知CD面A1ABB1，故CDA1D，CDDD1，所以A1DD1为所求的二面角A1CDC1的平面角因CD面A1ABB1，AB1面A1ABB1，所以AB1CD，又已知AB1A1C，A1CCDC，所以AB1面A1CD，故AB1A1D，从而A1AB1、A1DA都与B1AB互余，因此A1AB1A1DA，所以RtA1ADRtB1A1A.因此，即AAADA1B18，得AA12.从而A1D2.所以，在RtA1DD1中，cosA1DD1.反思与感悟求二面角的大小应注意做题的顺序，一般情况下，是先作出二面角的平面角，然后证明它是二面角的平面角，接着是求出这个角的值，最后说明二面角为多少度这个过程可以简记为：作(找)、证、求、答跟踪训练3如图所示，在ABC中，ABBC，SA平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SAAB，SBBC.(1)证明：BD平面SAC；(2)求二面角EBDC的大小(1)证明SBBC，且E为SC的中点，BESC，又DESC，SC平面BDE，BDSC，SA平面ABC，SABD，BD平面SAC.(2)解由(1)BD平面SAC可得BDDE且BDAC，EDC为二面角EBDC的平面角，设SAa，则ABa，在RtABS中，SBa，BCa，在RtABC中，ACa，SC2a，ASC60，又EDCASC，EDC60，二面角EBDC的大小为60.1直线l平面，l平面，则与的位置关系是()A平行 B可能重合C相交且垂直 D相交不垂直答案C解析由面面垂直的判定定理，得与垂直，故选C.2下列命题：两个相交平面组成的图形叫做二面角；异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直，则a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系其中正确的是()A B C D答案B解析不符合二面角定义，从运动的角度演示可知，二面角的平面角不是最小角故选B.3.如图，已知RtABC，斜边BC，点A，AO，O为垂足，ABO30，ACO45，则二面角ABCO的大小为_答案60解析如图所示，在平面内，过O作ODBC，垂足为D，连接AD.AO，BC，AOBC.又AOODO，BC平面AOD.而AD平面AOD，ADBC.ADO是二面角ABCO的平面角由AO，OB，OC，知AOOB，AOOC.又ABO30，ACO45，设AOa，则ACa，AB2a.在RtABC中，BAC90，BCa，ADa.在RtAOD中，sinADO.ADO60.即二面角ABCO的大小是60.4.如图，在四面体ABCD中，CBCD，ADBD，且E、F分别是AB、BD的中点求证：面EFC面BCD.证明ADBD，EFAD，EFBD.CBCD，F是BD的中点，CFBD.又EFCFF，BD面EFC.BD面BCD，面EFC面BCD.1求二面角的步骤简称为“一作二证三求”2作二面角的三种常用方法(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线如图，则AOB为二面角l的平面角(2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角如图，AOB为二面角l的平面角(3)垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的A点向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则AOB为二面角的平面角或其补角，如图，AOB为二面角l的平面角3证明两个平面垂直的主要途径(1)利用面面垂直的定义；(2)利用面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直一、选择题1在空间四边形ABCD中，如果ADBC，BDAD，那么有()A平面ABC平面ADC B平面ABC平面ADBC平面ABC平面DBC D平面ADC平面DBC答案D解析ADBC，ADBD，BCBDB，AD平面BCD.又AD平面ADC，平面ADC平面DBC.2下列命题中正确的是()A平面和分别过两条互相垂直的直线，则 B若平面内的一条直线垂直于平面内的两条平行直线，则 C若平面内的一条直线垂直于平面内的两条相交直线，则D若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则答案C解析当平面和分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面和有可能平行，故A错；由直线与平面垂直的判定定理知，B、D错，C正确3以下角：异面直线所成角；直线和平面所成角；二面角的平面角可能为钝角的有()A0个 B1个C2个 D3个答案B解析异面直线所成角的范围为(0，90，直线和平面所成角的范围为0，90，二面角的平面角的范围为0，180，只有二面角的平面角可能为钝角故答案为B.4设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A若，m，n，则mnB若，m，n，则mnC若mn，m，n，则D若m，mn，n，则答案D解析A中，m与n可垂直、可异面、可平行；B中m与n可平行、可异面、可垂直；C中若，仍然满足mn，m，n，故C错误；D正确5在正四面体PABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是()ABC面PDF BDF面PAEC面PDF面ABC D面PAE面ABC答案C解析如图所示，BCDF，BC平面PDF.A正确由BCPE，BCAE，BC平面PAE.DF平面PAE.B正确平面ABC平面PAE(BC平面PAE)D正确6如图梯形ABCD中，ADBC，ABC90，ADBCAB234，E、F分别是AB、CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，给出四个结论：DFBC；BDFC；平面DBF平面BFC；平面DCF平面BFC.在翻折过程中，可能成立的结论是()A B C D答案B解析因为BCAD，AD与DF相交不垂直，所以BC与DF不垂直，则不成立；设点D在平面BCF上的射影为点P，当BPCF时就有BDFC，而ADBCAB234，可使条件满足，所以正确；当点P落在BF上时，DP平面BDF，从而平面BDF平面BCF，所以正确；因为点D的射影不可能在FC上，所以平面DCF平面BFC不成立，即错误故答案为B.二、填空题7过正方形ABCD的顶点A作线段AP平面ABCD，且APAB，则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是_答案45解析可将图形补成以AB、AP为棱的正方体，不难求出二面角的大小为45.8如图，ABC是等腰直角三角形，BAC90，ABAC1，将ABC沿斜边BC上的高AD折叠，使平面ABD平面ACD，则折叠后BC_.答案1解析因为ADBC，所以ADBD，ADCD，所以BDC是二面角BADC的平面角因为平面ABD平面ACD，所以BDC90.在BCD中BDC90，BDCD，所以BC 1.9.如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，则这个五面体的五个面中两两互相垂直的共有_对答案4解析因为PA平面ABCD，所以平面PDA平面ABCD，平面PAB平面ABCD，又因为四边形ABCD为矩形，所以AB平面PAD，得平面PAB平面PAD，同理可得平面PBC平面PAB.故图中互相垂直的平面共有4对10如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)答案DMPC(或BMPC等)解析由定理可知，BDPC.当DMPC(或BMPC)时，即有PC平面MBD，而PC平面PCD，平面MBD平面PCD.三、解答题11如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AA1的中点求证：平面C1BD平面BDE.证明设ACBDO，则O为BD的中点，连接C1O，EO，C1E，如图因为EBED，点O是BD的中点，所以BDEO.因为C1BC1D，点O是BD的中点，所以BDC1O，所以C1OE即为二面角C1BDE的平面角因为E为AA1中点，设正方体的棱长为a，则C1O a，EO a，C1E a，所以C1O2EO2C1E2，所以C1OOE，所以C1OE90.所以平面C1BD平面BDE.12如图，在三棱锥PABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点已知PAAC，PA6，BC8，DF5.求证：(1)直线PA平面DEF；(2)平面BDE平面ABC.证明(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DEPA.又因为PA平面DEF，DE平面DEF，所以直线PA平面DEF.(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA6，BC8，所以DEPA，DEPA3，EFBC4.又因为DF5，故DF2DE2EF2，所以DEF90，即DEEF.又PAAC，DEPA，所以DEAC.因为ACEFE，AC平面ABC，EF平面ABC，所以DE平面ABC，又DE平面BDE，所以平面BDE平面ABC.13.如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，BCD60