2018版高中数学第一章立体几何初步1.1.7柱锥台和球的体积学案含解析新人教B版.docx

1.1.7柱、锥、台和球的体积1.了解柱、锥、台和球的体积计算公式.(重点)2.能够运用柱、锥、台、球的体积公式求简单几何体的体积.(重点)3.台体的体积及简单几何体的体积计算.(难点)基础初探教材整理1祖暅原理阅读教材P28P29“中间”以上内容，完成下列问题.1.“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”.2.作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的某个平面所截，如果截得的两个截面面积相等，则这两个几何体的体积相等.()(2)锥体的体积只与底面积和高度有关，与其具体形状无关.()(3)由V锥体Sh，可知三棱锥的任何一个面都可以作为底面.()【答案】(1)(2)(3)教材整理2柱体、锥体、台体和球的体积公式阅读教材P29P31“第2行”以上内容，完成下列问题.其中S、S分别表示上、下底面的面积，h表示高，r和r分别表示上、下底面圆的半径，R表示球的半径.名称体积(V)柱体棱柱Sh圆柱r2h锥体棱锥Sh圆锥r2h台体棱台h(SS)圆台h(r2rrr2)球R3圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其体积为()A.15B.30C.12D.36【解析】圆锥的高h4，故V32412.【答案】C小组合作型求柱体的体积 某几何体的三视图(单位：cm)如图11100所示，则该几何体的体积是()图11100A.72 cm3 B.90 cm3 C.108 cm3 D.138 cm3【精彩点拨】【自主解答】该几何体为一个组合体，左侧为三棱柱，右侧为长方体，如图所示.VV三棱柱V长方体433436187290(cm3).【答案】B1.解答此类问题的关键是先由三视图还原作出直观图，然后根据三视图中的数据在直观图中求出计算体积所需要的数据.2.若由三视图还原的几何体的直观图由几部分组成，求几何体的体积时，依据需要先将几何体分割分别求解，最后求和.再练一题1.一个几何体的三视图如图11101所示，该几何体的体积是()图11101A.164 B.124 C.8 D.4【解析】由三视图可知，该几何体是一个平放的直三棱柱，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以该几何体的体积为2224，选D.【答案】D求锥体的体积如图11102三棱台ABCA1B1C1中，ABA1B112，求三棱锥A1ABC，三棱锥BA1B1C，三棱锥CA1B1C1的体积之比.图11102【精彩点拨】【自主解答】设棱台的高为h，SABCS，则S4S.VSABChSh，VShSh.又V台h(S4S2S)Sh，VV台VVShSh，体积比为124.三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可求锥体的体积和柱体或台体的体积关系，割补法在立体几何中是一种重要的方法.再练一题2.在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是() 【导学号：45722032】A. B.C.D.【解析】如图，去掉的一个棱锥的体积是，剩余几何体的体积是18.【答案】D求台体的体积已知正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面积是780 cm2.求正四棱台的体积.【精彩点拨】可以尝试借助四棱台内的直角梯形.求出棱台底面积和高，从而求出体积.【自主解答】如图所示，正四棱台ABCDA1B1C1D1中，A1B110 cm，AB20 cm.取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E是侧面ABB1A1的高.设O1、O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1是直角梯形.由S侧4(1020)E1E780，得EE113，在直角梯形EOO1E1中，O1E1A1B15，OEAB10，O1O12，V正四棱台12(1022021020)2 800 (cm3).故正四棱台的体积为2 800 cm3.求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高.要注意充分运用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系.再练一题3.本例若改为“正四棱台的上、下两底的底面边长分别为2 cm和4 cm，侧棱长为2 cm，求该棱台的体积.”【解】如图，正四棱台ABCDA1B1C1D1中，上、下底面边长分别为2 cm和4 cm，则O1B1 cm，OB2 cm，过点B1作B1MOB于点M，那么B1M为正四棱台的高，在RtBMB1中，BB12 cm，MB(2) (cm).根据勾股定理MB1(cm).S上224 (cm2)，S下4216(cm2)，V正四棱台(416)28 (cm3).求球的体积过球面上三点A，B，C的截面到球心O的距离等于球的半径的一半，且ABBCCA3 cm，求球的体积和表面积.【精彩点拨】解决本题要充分利用已知条件，尤其是球半径，截面圆半径和球心距构成的直角三角形.【自主解答】如图，设过A，B，C三点的截面为圆O，连接OO、AO、AO.ABBCCA3 cm，O为正三角形ABC的中心，AOAB (cm).设OAR，则OOR，OO截面ABC，OOAO，AOR (cm)，R2 cm，V球R3(cm3)，S球4R216(cm2).即球的体积为 cm3，表面积为16 cm2.球的基本性质是解决与球有关的问题的依据，球半径、截面圆半径和球心到截面的距离所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要方法.再练一题4.如果三个球的半径之比是123，那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的()A.1倍 B.2倍C.3倍D.4倍【解析】半径大的球的体积也大，设三个球的半径分别为x,2x,3x，则最大球的半径为3x，其体积为(3x)3，其余两个球的体积之和为x3(2x)3，(3x)33.【答案】C探究共研型空间几何体的体积探究1设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.若它们的侧面积相等，且，求的值.【提示】设两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，由，得，则.由圆柱的侧面积相等，得2r1h12r2h2，即r1h1r2h2，则，所以.探究2把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积.【提示】设圆柱的底面半径为r，母线长为l，当2r6时，r，l3，所以V圆柱r2l3.当2r3时，r，l6，所以V圆柱r2l6.所以这个圆柱的体积为或.如图11103所示，在长方体ABCDABCD中，用截面截下一个棱锥CADD，求棱锥CADD的体积与剩余部分的体积之比. 【导学号：45722033】图11103【精彩点拨】先求出棱锥的体积，再求得剩余部分的体积，最后求得体积之比.【自主解答】法一设ABa，ADb，DDc，则长方体ABCDABCD的体积Vabc，又SADDbc，且三棱锥CADD的高为CDa.V三棱锥CADDSADDCDabc.则剩余部分的几何体体积V剩abcabcabc.故V棱锥CADDV剩abcabc15.法二已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱ADDABCCB，设它的底面ADDA面积为S，高为h，则它的体积为VSh.而棱锥CADD的底面面积为S，高为h，因此棱锥CADD的体积VCADDShSh.剩余部分的体积是ShShSh.所以棱锥CADD的体积与剩余部分的体积之比为ShSh15.1.常见的求几何体体积的方法(1)公式法：直接代入公式求解.(2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可.(3)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.2.求几何体体积时需注意的问题柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算.再练一题5.如图11104所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥.图11104(1)求剩余部分的体积；(2)求三棱锥AA1BD的高.【解】(1)VSABDA1AABADA1Aa3.故剩余部分的体积VV正方体Va3a3a3.(2)由(1)知VVa3，设三棱锥AA1BD的高为h，则VSh(a)2ha2h，故a2ha3，解得ha.1.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4，那么圆柱的体积等于()A.B.2C.4D.8【解析】设轴截面正方形的边长为a，由题意知S侧aaa2.又S侧4，a2.V圆柱22.【答案】B2.如图11105，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是()图11105【解析】由三视图的概念可知，此几何体高为1，其体积VShS，即底面积S，结合选项可知，俯视图为三角形.【答案】C3.已知圆锥SO的高为4，体积为4，则底面半径r_.【解析】由已知得4r24，解得r.【答案】4.一个几何体的三视图如图11106所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.图11106【解析】此几何体是由一个长为3，宽为2，高为1的长方体与底面直径为2，高为3的圆锥组合而成的，故VV长方体V圆锥3211