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第2章 柯西不等式与排序不等式及其应用 2.4 最大值与最小值问题,优化的数学模型学业分层测评 新人教B版选修4-5 (建议用时:45分钟)学业达标一、选择题1.若x,y是正数,则的最小值是()A.3B.C.4D.【解析】由题意知:2224,等号成立的条件是不矛盾,故“”能成立.【答案】C2.设abc0,则2a210ac25c2的最小值是() 【导学号:38000047】A.2B.4C.2D.5【解析】原式a(ab)aba210ac25c2a(ab)ab(a5c)22204.当且仅当a(ab)1,ab1,a5c0时取等号,即当a,b,c时等号成立.【答案】B3.若x,y,z是非负实数,且9x212y25z29,则函数u3x6y5z的最大值为()A.9B.10C.14D.15【解析】u2(3x6y5z)2(3x)2(2y)2(z)212()2()29981,当且仅当x,y,z1时等号成立,u9.【答案】A4.设实数x1,x2,xn的算术平均值是,a(aR),并记p(x1)2(xn)2,q(x1a)2(xna)2,则p与q的大小关系是()A.pqB.pqC.pqD.不确定【解析】设函数f(x)(x1x)2(x2x)2(xnx)2,则f(x)nx22(x1x2xn)x(xxx).当x时f(x)取最小值,故p1)的最小值为_.【解析】y(x1)5259.当且仅当x12,x1时取等号.【答案】97.已知a0,b0,c0,且abc1,对于不等式:abc;27;abbcca.其中正确的不等式的序号是_. 【导学号:38000048】【解析】a,b,c均大于0,1abc3,0abc,27.当且仅当abc时等号成立.从而正确,也正确.又22(abc)2(a2b2)(b2c2)(c2a2)4ab4bc4ca2ab2bc2ca4ab4bc4ca6(abbcca),0abbcca,当且仅当abc时等号成立,正确.【答案】8.函数y2的最大值为_.【解析】利用柯西不等式进行变形,得到()212()2()2(2)2,即33(2)2,当且仅当x0时等号成立,23.【答案】3三、解答题9.某单位要建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房,房屋正面的造价为每平方米1 200元,房屋侧面的造价为每平方米800元,屋顶的总造价为5 800元,如果墙高3米,且不计房屋背面的费用,问怎样设计房屋能使总造价最低,最低总造价是多少?【解】设房屋正面长为x米,则侧面长为米.于是总造价W35 8003 6005 8003 60025 80034 600(元).等号成立xx4.答:房屋正面长为4米,侧面长为3米时,房屋有最低总造价为34 600元.10.经过长期预测得到:在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间的函数关系为y(v0).(1)在该时段内,当汽车的平均速度v为多少时,车流量最大?最大车流量为多少(精确到0.1千辆/小时)?(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时,则汽车的平均速度应在什么范围内?【解】(1)依题意y,当且仅当v,即v40时等号成立.ymax11.1(千辆/小时).当v40千米/小时时,车流量最大,约为11.1千辆/小时.(2)由条件得10,整理得v289v1 6000,即(v25)(v64)0.解得25v64.所以,如果在该时段内车流量超过10千辆/小时,则汽车的平均速度应在2564千米/小时.能力提升1.爬山是一种简单有趣的野外运动,有益于身体健康,但要注意安全,准备好必需物品,控制好速度.现有甲、乙两人相约爬山,若甲上山的速度为v1,下山(原路返回)的速度为v2(v1v2),乙上下山的速度都是(v1v2)(两人途中不停歇),则甲、乙两人上下山所用时间t1,t2的关系为()A.t1t2B.t1t2C.t1t2D.不能确定【解析】设S为上山路程,则下山路程亦为S.t2,t2,t1t2.【答案】A2.某人要买房,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高,当住第n层楼时,上下楼造成的不满意度为n,但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随楼层升高,环境不满程度降低,设住第n层楼时,环境不满意程度为,则此人应选()A.1楼B.2楼C.3楼D.4楼【解析】此人不满意程度越小,楼层越好,设yn,可求出此函数的单调减区间为(0,2),增区间为2,),当n2时,y6,当n3时,y5,因此3层楼不满意度最少.【答案】C3.已知0x,则x(12x)的最大值是_. 【导学号:38000049】【解析】由0x,知12x0,x(12x)2x(12x),当且仅当2x12x,即x时等号成立.【答案】4.设函数f(x)x,x0,).(1)当a2时,求函数f(x)的最小值;(2)当0a0,0,x12.当且仅当x1,即x1时,f(x)取最小值.此时,f(x)min21.(2)当0a1时,f(x)x11,若x12,则当

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