高中数学第二章随机变量及其分布2.4第1课时正态分布学案新人教A版.docx

24 第一课时 正态分布一、课前准备1课时目标(1) 理解正态分布的定义；(2) 了解正态分布图像的性质；(3) 能利用正态分布图像的对称性求概率2基础预探1如果随机变量X的概率密度函数为，其中实数和（0）为参数.我们称的图象为_曲线，简称_曲线.2一般地，如果对于任何实数，随机变量X满足，则称X的分布为正态分布.正态分布完全由参数确定，因此正态分布常记作_.3.如果随机变量X服从正态分布，则记为X_.把_的正态分布叫做标准正态分布.二、学习引领1现实生活中有哪些正态分布在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布.例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等，一般都服从正态分布.所以，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中. 一般地，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计. 2正态曲线的特点（1）曲线位于轴上方，与轴不相交，故此曲线以轴为渐近线，函数的值域为正实数集的子集；（2）曲线是先增后减，以直线为对称轴，在处达到最大值； （3）曲线与轴之间的面积为1；（4）当一定时，曲线随着的变化而沿轴平移；当一定时，曲线的对称轴位置固定，但形状由确定： 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.3利用正态曲线的对称性求概率的步骤根据正态密度函数的性质或者均值得到对称轴，做出函数的草图；观察已知的概率值与要求的概率值在图像上对应的部分是否具备某种对称关系；利用性质：正态密度曲线下方，x轴上方之间的总面积为1，通过适当的运算得到需要的概率值.例如：我们可用标准正态总体N（0,1）求概率值的过程来说明这种对称性.如图，的概率值为阴影部分的面积：根据正态密度函数的性质可知：+=1.易知，非阴影部分的概率值为.根据标准正态曲线关于轴对称，所以.当然，通过其它的一些对称，还可以得到更复杂的性质.同样的，对称轴为的正态分布也具备类似的性质，只不过对称轴位置不同而已.三、典例导析题型一 正态曲线的特点例1 设三个正态分布、的密度函数图象如图所示，则、按从小到大的顺序排列是_ _；、按从小到大的顺序排列是 .思路导析：正态曲线的对称轴为，形状的“胖瘦”由确定，观察图像即可知其取值特点.解析：由于正态曲线对称轴为，所以；当一定时，曲线的形状由确定越小，曲线越“高瘦”；越大，曲线越“矮胖”，所以.所以填；方法规律：解决正态曲线问题应抓住图像的特点：曲线关于直线x=对称，因此位置由数学期望确定；形状的“胖瘦”由方差确定，可简记为“大胖小瘦”. 变式训练：如图是三种不同的正态曲线N(0，)的图象，那么、的大小关系是( )A B C D题型二 正态曲线的对称性例2 已知随机变量服从正态分布,则（ ） A B C D思路导析：作出正态分布的草图，观察与的对称关系便可得到相应的概率值.解：因为随机变量服从正态分布，所以正态分布的图象关于x=2 对称，其图象如图所示，所以，故选D规律总结：求正态分布在给定区间上的概率问题时，要将所给区间化为已知其概率值的区间，一般要利用数形结合的思想去解决利用正态图象的对称性，可避免复杂的计算，简化解题过程变式训练：已知服从正态分布,，且，则 .题型三 概率密度函数的性质例 标准正态分布的概率密度函数是.（1）求证：是偶数函数；（2）利用指数函数的性质说明的增减性;（3）求的最大值.思路导析：标准正态分布函数与指数函数比较密切，我们可以借助研究指数函数的方法来研究它.解：（1）对任意，有，所以是偶数函数.（2）任取，且，有，所以，所以.即当0时，是递增的。又是偶数函数，由偶函数性质知，当0时，是递减的.（3）由（2）知关于x=0对称，且左增右减。故当时，取最小值，此时取得最大值.规律总结：本题利用指数函数的性质对标准正态函数进行了研究,从而对正态函数有了更深刻的了解，对以后的解题有很大的帮助.变式训练：某正态曲线的密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为，求总体位于区间-4，-2的概率.四、随堂练习1.下列是正态密度函数的是( ).A.B.C. D.2在某校高二期中考试中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布图如图所示（由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布）， 则下列说法中正确的一个是（ ）.A甲科总体的标准差最小 B丙科总体的平均数最小C乙科总体的标准差及平均数都居中 D甲、乙、丙的总体的平均数不相同 3. 正态分布密度函数为，则总体的平均数和标准差分别是( ).A0和8 B0和4 C0和2 D0和4. 已知随机变量服从正态分布， ，则=_.5.设随机变量服从正态分布，且，那么=_6.设随机变量X服从N（0，1）,记.已知,求下列各式的值：（1）； （2）P(|X|1.44).五、课后作业1.把一条正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b，下列说法中不正确的是（ ）.A.曲线b仍然是正态曲线.B.曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等.C.以曲线b为正态分布的总体的方差比以曲线a为正态分布的总体的方差大2.D.以曲线b为正态分布的总体的期望比以曲线a为正态分布的总体的期望大2.2. 已知随机变量x服从正态分布N(，2)，且P(2x2)0.9544，P(x)0.6826，若4，1，则P(5x6)(). A0.1358 B0.1359 C0.2716 D0.27183.关于正态曲线，下列说法正确的是 .曲线上任一点M(x0,y0)的纵坐标y0表示X=x0的概率；表示总体取值小于的概率；正态曲线在x轴上方且与x轴一定不相交；正态曲线关于x=对称；一定时，越小，总体分布越分散；越大，总体分布越集中.4.设随机变量服从正态分布,若,则c= .5一台机床生产一种尺寸为10mm的零件，现从中抽测10个，它们的尺寸分别如下（单位：mm）：10.2，10.1，10，9.8，9.9，10.3，9.7，10，9.9，10.1.，如果机床生产零件的尺寸X服从正态分布，求正态分布的概率密度函数表达式6.某正态总体的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为，求总体落入区间（1.2，0.2）内的概率（已知 ）.参考答案：24 第一课时 正态分布2基础预探1正态分布密度 正态2 3. 0，1三、典例导析例1 变式训练答案：D解析：当时，正态曲线.在x=0时，取最大值,故由正态曲线的性质，当一定时，曲线的形状由确定越小，曲线越“高瘦”；越大，曲线越“矮胖”，于是有，故选D例2 变式训练答案：解析：例3 变式训练解：由正态曲线的密度函数是偶函数知=0.由最大值为知=2，所以，所以，.四、随堂练习1.答案：B 解析：对照正态密度函数易知B正确，此时=0，=1.2答案：A 解析：三条曲线的对称轴相同,所以三科的平均数是相同的.而甲的曲线最“高瘦”，丙最“矮胖”，故甲科总体的标准差最小,丙的标准差最大.3.答案：C 解析：根据已知条件，可知，应选C4.答案：A解析：因为正态曲线关于对称，所以5.答案: 解析：因为 ，所以，所以.6.解析：由正态分布密度曲线的对称性可计算如下（也可借助图形理解）：（1）.（2）方法1：.方法2：.五、课后作业1.答案： C 解析：由于平移前后曲线a、b的形状相同.因此，两曲线的方差也相同，故C错误.2.答案：B解析：由题知，XN(4,1),作出相应的正态曲线,如图.依题意P(2X6)=0.9544P(3X5)=0.6826即曲边梯形ABCD的面积为0.9544曲边梯形EFGH的面积为0.6826其中A、E、F、B的横坐标分别是2、3、5、6由曲线关于直线x=4对称可知曲边梯形FBCG的面积为=0.1359即P(5X6)=0.1359故选B3.答案： 解析：不对，因为密度曲线中面积代表概率，而不是纵坐标；