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2015-2016学年吉林省长春十一中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1“x0”是“x0”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件2若直线x+2y+1=0与直线mx+y2=0互相平行，则m的值为（）A1 B C2 D3以椭圆=1的焦距为实轴，短轴为虚轴的双曲线方程为（）Ax24y2=2 Bx2y2=2 Cx22y2=1 D2x2y2=14圆O1：x2+y22x=0和圆O2：x2+y24y=0的位置关系是（）A相离 B相交 C外切 D内切5下列说法错误的是（）A命题p：“x0R，x02+x0+10”，则p：“xR，x2+x+10”B命题“若x24x+3=0，则x=3”的逆否命题是假命题C命题“若m0，则方程x2+xm=0有实数根”的否定是“若m0，则方程x2+xm=0没有实数根”D若pq为假命题，则pq为假命题6已知函数y=f（x），其导函数y=f（x）的图象如图所示，则y=f（x）（）A在（，0）上为减函数 B在x=1处取极小值C在x=2处取极大值 D在（4，+）上为减函数7已知变量x，y满足约束条件，则目标函数的取值范围是（）A B C D8已知过定点P（2，0）的直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积最大值时，直线l的斜率为（）A B1 C D9已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A（1，2B（1，2） C2，+） D（2，+）10P是椭圆上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|PF2|=12，则F1PF2的大小为（）A30 B60 C120 D15011已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，P是C上一点，Q（2，y0）是x轴上方一点，若PQF是等边三角形，则y0的值为（）A B C D12已知椭圆C1：与双曲线C2：有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，且PF1PF2，e1，e2分别是两曲线C1，C2的离心率，当4e12+e22取得最小值时，C1的离心率e1等于（）A B C D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13已知函数f（x）=x3+2x2ax+1在区间（0，1）上不是单调函数，则实数a的取值范围是14已知点F是抛物线x2=12y的焦点，点P是其上的动点，若，则点M的轨迹方程是15周长为3的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为16定义在R上的函数f（x）满足：f（1）=4，f（x）1f（x），f（x）是f（x）的导函数，则不等式ex+1f（x）ex+1+3（其中e为自然对数的底数）的解集为三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知p：x27x+100，q：x24mx+3m20，其中m0（1）若m=4，且pq为真，求x的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围18已知圆C过点P（1，4），Q（3，2），且圆心C在直线x+y3=0上（）求圆C的方程；（）若直线l：kxy2k+1=0与圆C交于A，B两点，当|AB|最小时，求直线l的方程及|AB|的最小值19已知抛物线y2=2px（1p3）的焦点为F，抛物线上的点M（x0，1）到准线的距离为（1）求抛物线的标准方程；（2）设直线MF与抛物线的另一交点为N，求的值20已知函数f（x）=2x33（a+1）x2+6ax，aR（）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程；（）求函数f（x）的单调区间21已知椭圆C： =1（ab0）的离心率为，其上一点P与左、右焦点F1，F2组成的三角形PF1F2的周长为2+2（）求椭圆C的标准方程；（）已知直线xy+n=0（n0）与椭圆C交于不同的两点A，B，若以线段AB为直径的圆过点，求MAB的面积22已知函数f（x）=lnx+，aR（）若函数f（x）在2，+）上是增函数，求实数a的取值范围；（）若x1，e，求函数f（x）的最大值和最小值2015-2016学年吉林省长春十一中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1“x0”是“x0”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若“x0”则“x0”成立，当x=0时，满足x0但x0不成立，即“x0”是“x0”的充分不必要条件，故选：A2若直线x+2y+1=0与直线mx+y2=0互相平行，则m的值为（）A1 B C2 D【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【分析】利用两条直线平行，它们的斜率相等或斜率都不存在的性质求解【解答】解：直线x+2y+1=0与直线mx+y2=0互相平行，=m，m=，故选：B3以椭圆=1的焦距为实轴，短轴为虚轴的双曲线方程为（）Ax24y2=2 Bx2y2=2 Cx22y2=1 D2x2y2=1【考点】椭圆的简单性质【分析】求出椭圆的焦点坐标和短轴的端点坐标，设出双曲线的方程为=1（a，b0），求得a=b=，即可得到所求方程【解答】解：椭圆=1的焦点为（，0），短轴的两端点为（0，），设双曲线的方程为=1（a，b0），则a=，b=，即有双曲线的方程为x2y2=2故选：B4圆O1：x2+y22x=0和圆O2：x2+y24y=0的位置关系是（）A相离 B相交 C外切 D内切【考点】圆与圆的位置关系及其判定【分析】求出半径，求出圆心，看两个圆的圆心距与半径的关系即可【解答】解：圆O1：x2+y22x=0，即（x1）2+y2=1，圆心是O1（1，0），半径是r1=1圆O2：x2+y24y=0，即x2+（y2）2=4，圆心是O2（0，2），半径是r2=2|O1O2|=，故|r1r2|O1O2|r1+r2|两圆的位置关系是相交故选 B5下列说法错误的是（）A命题p：“x0R，x02+x0+10”，则p：“xR，x2+x+10”B命题“若x24x+3=0，则x=3”的逆否命题是假命题C命题“若m0，则方程x2+xm=0有实数根”的否定是“若m0，则方程x2+xm=0没有实数根”D若pq为假命题，则pq为假命题【考点】命题的真假判断与应用【分析】A根据含有量词的命题的否定进行判断B根据逆否命题的等价性进行判断C根据命题的否定进行判断D根据复合命题真假之间的关系进行判断即可【解答】解：A命题p：“x0R，x02+x0+10”，则p：“xR，x2+x+10”，正确，B若x24x+3=0，则x=3或x=1，则原命题为假命题，则命题的逆否命题为假命题，故B正确，C命题“若m0，则方程x2+xm=0有实数根”的否定是“若m0，则方程x2+xm=0没有实数根”，故C正确，D若pq为假命题，则p，q至少有一个为假命题当一真一假时，pq为真命题，故D错误，故选：D6已知函数y=f（x），其导函数y=f（x）的图象如图所示，则y=f（x）（）A在（，0）上为减函数 B在x=1处取极小值C在x=2处取极大值 D在（4，+）上为减函数【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】根据图象得到f（x）的符号，从而求出函数的单调区间和极值点，得到答案【解答】解：由图象得：x（，0）时，f（x）0，f（x）递增，x（0，2）时，f（x）0，f（x）递减，x（2，4）时，f（x）0，f（x）递增，x（4，+）时，f（x）0，f（x）递减，x=0，4是极大值点，x=2是极小值点，故选：D7已知变量x，y满足约束条件，则目标函数的取值范围是（）A B C D【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，由的几何意义，即可行域内的动点与定点P（1，1）连线的斜率求得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，A（1，0），联立，解得B（1，4），的几何意义为可行域内的动点与定点P（1，1）连线的斜率，数的取值范围是，故选：A8已知过定点P（2，0）的直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积最大值时，直线l的斜率为（）A B1 C D【考点】直线与圆的位置关系【分析】由曲线y=表示在x轴上方以及含与x轴的交点半圆，设出直线l的方程，利用AOB的面积取最大值时，OAOB，求出圆心O到直线l的距离d=1，从而求出直线的斜率k【解答】解：由y=，得x2+y2=2（y0），曲线y=表示圆x2+y2=2在x轴上方的部分（含与x轴的交点）；由题知，直线的斜率存在，设直线l的斜率为k（k0），则直线方程为y=k（x+2），即kxy+2k=0，当AOB的面积取最大值时，OAOB，此时圆心O到直线l的距离d=1，如图所示；d=1，k=故选：C9已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A（1，2B（1，2） C2，+） D（2，+）【考点】双曲线的简单性质【分析】若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围【解答】解：已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，离心率e2=，e2，故选C10P是椭圆上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|PF2|=12，则F1PF2的大小为（）A30 B60 C120 D150【考点】椭圆的简单性质【分析】根据椭圆的定义可判断PF1|+|PF2|=8，平方得出PF1|2+|PF2|2=40，再利用余弦定理求解即可【解答】解：P是椭圆上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，|PF1|+|PF2|=8，|F1F2|=2|PF1|PF2|=12，（|PF1|+|PF2|）2=64，|PF1|2+|PF2|2=40，在F1PF2中，cosF1PF2=，F1PF2=60，故选：B11已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，P是C上一点，Q（2，y0）是x轴上方一点，若PQF是等边三角形，则y0的值为（）A B C D【考点】抛物线的简单性质【分析】设P点的坐标为（x1，y1），x10，根据点与点之间的距离公式和抛物线的性质，以及PQF是等边三角形，得到|PF|=|PQ|，|PF|=|QF|，继而得到y1=y0，结合y12=8x1，即可求出x1的值，代值计算即可【解答】解：抛物线C：y2=8x，焦点F（2，0），准线x=2，设P点的坐标为（x1，y1），x10|PF|=x1+2，|PQ|=，|QF|=，PQF是等边三角形，|PF|=|PQ|，|PF|=|QF|，y1=y0，（x1+2）2=16+y02，y12=8x1，（x1+2）2=16+y12=16+8x1，解得x1=6，y02=y12=86=48，P是C上一点，Q（2，y0）是x轴上方一点，y0=4故选：A12已知椭圆C1：与双曲线C2：有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，且PF1PF2，e1，e2分别是两曲线C1，C2的离心率，当4e12+e22取得最小值时，C1的离心率e1等于（）A B C D【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质【分析】由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴为2a2，令P在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推志出a12+a22=2c2，由此能求出4e12+e22的最小值及对应e1【解答】解：由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴为2a2，令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1|PF2|=2a2，由椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a1，又PF1PF2，|PF1|2+|PF2|2=4c2，2+2，得|PF1|2+|PF2|2=2a12+2a22，将代入，得a12+a22=2c2，4e12+e22=+=+=+2=当且仅当=，即为a12=2a22，即有a12=，即e1=时，取得最小值故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13已知函数f（x）=x3+2x2ax+1在区间（0，1）上不是单调函数，则实数a的取值范围是（0，7）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】求出函数的导数，得到关于a的不等式组，解出即可【解答】解：对函数求导可得，f（x）=3x2+4xa函数f（x）=x3+2x2ax+1在区间（0，1）上不是单调函数，解得：0a7，故答案为：（0，7）14已知点F是抛物线x2=12y的焦点，点P是其上的动点，若，则点M的轨迹方程是x2=6y9【考点】抛物线的简单性质【分析】根据题意算出抛物线的焦点为F（0，3），设M（x，y）、P的坐标为（t， t2），由，建立关于x、y、t的方程组，再消去参数t即可得到动点M的轨迹方程【解答】解：设M的坐标为（x，y），P的坐标为（t， t2）抛物线y2=12y中，2p=12，可得p=6，抛物线的焦点为F（0，3），=（x，y3），=（tx， t2y），又动点M满足，（x，y3）=（tx， t2y），可得，消去参数t可得x2=6y9，即为动点M的轨迹方程故答案为：x2=6y915周长为3的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】由已知中周长为3的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，我们设出圆柱的长和宽，然后可以写出圆柱体积的表达式，利用导数法，分析出体积取最大值时，自变量的值，代入即可求出圆柱体积的最大值【解答】解：矩形的周长为3，设矩形的长为x，则宽为x，设绕其宽旋转成一个圆柱，则圆柱的底面半径为x，高为x，则圆柱的体积V=R2h=x2（x），则V=3x2+3x，令V=0，则x=0，或x=1，故当x=1，圆柱体积取最大值，此时V=，故答案为：16定义在R上的函数f（x）满足：f（1）=4，f（x）1f（x），f（x）是f（x）的导函数，则不等式ex+1f（x）ex+1+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（，1）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】构造函数g（x）=ex+1f（x）ex+1，（xR），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：设g（x）=ex+1f（x）ex+1，（xR），则g（x）=ex+1f（x）+ex+1f（x）ex+1=ex+1f（x）+f（x）1，f（x）1f（x），f（x）+f（x）10，g（x）0，y=g（x）在定义域上单调递减，ex+1f（x）ex+1+3，g（x）3，又g（1）=e0f（1）e0=41=3，g（x）g（1），x1，不等式的解集为（，1）故答案为：（，1）三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知p：x27x+100，q：x24mx+3m20，其中m0（1）若m=4，且pq为真，求x的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假【分析】（1）分别化简命题p，q，又pq为真，p，q都为真即可得出；（2）由q是p的充分不必要条件，即qp，pq，其逆否命题为pq，q推不出p，即可得出【解答】解：（1）由x27x+100，解得2x5，所以p：2x5；又x24mx+3m20，因为m0，解得mx3m，所以q：mx3m当m=4时，q：4x12，又pq为真，p，q都为真，所以4x5（2）由q是p的充分不必要条件，即qp，pq，其逆否命题为pq，q推不出p，由（1）p：2x5，q：mx3m，所以，即：18已知圆C过点P（1，4），Q（3，2），且圆心C在直线x+y3=0上（）求圆C的方程；（）若直线l：kxy2k+1=0与圆C交于A，B两点，当|AB|最小时，求直线l的方程及|AB|的最小值【考点】直线与圆的位置关系【分析】（）设圆的标准方程，利用待定系数法求解即可；（）直线转化为点斜式，得出过定点M（2，1），显然点M在圆内，利用数形结合可知当直线L与CM垂直时，弦|AB|最小，求解即可【解答】解：（）设圆的方程为（xa）2+（yb）2=r2，a+b3=0，（1a）2+（4b）2=r2，解得：a=1，b=2，r=2，圆的方程为（x1）2+（y2）2=4，（）直线L的方程可化为y1=k（x2），过定点M（2，1），显然点M在圆内，当直线L与CM垂直时，弦|AB|最小，kcm=1，k=1，L的方程为xy1=0|CM|=，r=2，|AB|=219已知抛物线y2=2px（1p3）的焦点为F，抛物线上的点M（x0，1）到准线的距离为（1）求抛物线的标准方程；（2）设直线MF与抛物线的另一交点为N，求的值【考点】抛物线的简单性质【分析】（1）由题意，解得即可求出p的值，写出抛物线的方程即可；（2）先求出直线MF的方程为4x+3y4=0，联立方程得方程组，求出x，y的值，由由焦半径公式|MF|=+1=，|NF|=4+1=5，问题得以解决【解答】解：（1）由题意，消去x0得2p25p+2=0，因为1p3，解得p=2，所以x0=，所以抛物线标准方程为y2=4x（2）因为F（1，0），M（，1），所以kMF=，直线MF的方程为4x+3y4=0，联立方程得方程组，消去x得y2+3y4=0，解得y=4或1，将y=4代入y2=4x，解得x=4，由焦半径公式|MF|=+1=，|NF|=4+1=5，所以=20已知函数f（x）=2x33（a+1）x2+6ax，aR（）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程；（）求函数f（x）的单调区间【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）先求出f（2），再求出导数f（x），从而求出f（2）即为切线的斜率，再用点斜式方程写出切线方程并化为一般式；（）求出函数的导数，通过讨论a的范围，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可【解答】解：（）当a=1时，f（x）=2x36x2+6x，导数f（x）=6x212x+6，所以f（2）=622122+6=6，又因为f（2）=223622+62=4，所以曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程为y4=6（x2），即6xy8=0；（）f（x）=6（x1）（xa），令f（x）=0，解得：x=1或x=a，a=1时，f（x）=6（x1）20，函数在R递增，a1时，令f（x）0，解得：xa或x1，令f（x）0，解得：ax1，f（x）在（，a），（1，+）递增，在（a，1）递减；a1时，令f（x）0，解得：x1或xa，令f（x）0，解得：1xa，f（x）在（，1），（a，+）递增，在（1，a）递减21已知椭圆C： =1（ab0）的离心率为，其上一点P与左、右焦点F1，F2组成的三角形PF1F2的周长为2+2（）求椭圆C的标准方程；（）已知直线xy+n=0（n0）与椭圆C交于不同的两点A，B，若以线段AB为直径的圆过点，求MAB的面积【考点】椭圆的简单性质【分析】（）椭圆的离心率及其上一点P与左、右焦点F1，F2组成的三角形PF1F2的周长为2+2，列出方程组求出a，c，由此能求出椭圆方程（）联立方程组，得：2x2+2nx+n22=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量数量积、直线方程、点到直线距离公式、弦长公式，结合已知能求出MAB的面积【解答】解：（）椭圆C： =1（ab0）的离心率为，其上一点P与左、右焦点F1，F2组成的三角形PF1F2的周长为2+2，解得a=，c=1，b2=a2c2，解得b=1，椭圆方程为（）联立方程组，消去y整理得：2x2+