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文档简介
子群 8.1定义与例 8.2 等价条件 8.3 生成子群 8.4 子群的运算 8.1定义与例 讨论子对象是一个常用的代数方法.我们看一个 群 假如由 里取出一个非空子集 来,那么利 用 的乘法可以把 的两个元相乘对于这个乘法 来说, 很可能也作成一个群 定义 一个群 的一个非空子集 叫做 的一个子 群,假如 对于 的乘法来说作成一个群, 用符号 表示 例 给了一个任意群 , 至少有两个子群: ; 只包含单位元 的子集 例 , , 那么 是 的一个子群 因为: 对于 的乘法来说是闭的, , , , ; 结合律对于所有 的元都对,对于 的元也对; ; , 更多的例子 注1: 的乘法必须是 的乘法 注2: 验证 是子群时有些条件可以省略. 8.2 等价条件 引理:设 , 那么 (1) (2) , 对于 中运算 定理 一个群 的一个不空子集 作成 的一个 子群的充分而且必要条件是: () () 证明 若是(),()成立, 作成一个群 由于(), 是闭的; 结合律在 中成立, 在中自然成立; 因为 至少有一个元 ,由(), 也有 元 ,所以由(), 由(),对于 的任意元 来说, 有 元 ,使得 反过来看 ,假如 是一个子群 ,()显然成立 我们证明,这时()也一定成立 证完 (),()两个条件也可以用一个条件来代替 定理 一个群 的一个不空子集 作成 的一 个子群的充分而且必要条件是: () 证明 I. 我们先证明,()和()成立,()就 也成立 假定 , 属于 ,由(), ,由(), II.现在我们反过来证明,由()可以得到() 和() 假定 由(), ,于是 ()成立 假定 , 由刚证明的, ;由(), ,即 (i) 成立 证完 假如所给子集 是一个有限集合,那么 作成子群的 条件更要简单 定理 一个群 的一个不空有限子集 作成 的一 个子群的充分而且必要条件是: 证明 这个条件是必要的,无须证明我们证明它 是充分的因为 是有限集合,我们使用有限的定 义证明. 8.3 生成子群 现在我们要认识一种找一个子群的一般方法 我们在一个群 里任意取出一个非空子集 来, 包含元 , , , ,.那么 当然不见得是一个 子群, 但是我们可以把 扩大一点,而得到一个包 含的子群 利用 的元以及这些元的逆元我们可以作各种乘 积,比方说, , , , , 等等设集合 刚好包含所有这样的乘积, 可以证 明: (1). 作成一个子群 因为两个这样的乘积乘起来还是一个这样的乘积 , 一个这样的乘积的逆元也是一个这样的乘积, 由定理, (2) 对任何一个包含 的子群 , 一定包含 这一点容易看出: 既是一个子群,它又包含所 有 的元 , , ,两个条件,因而根 据定理1,它必须包含所有的上面所作的那些乘积; 这就是说, 由 (1)和(2), 是包含 的最小的子群 定义 如上得到的 叫做由 生成的子群,我们 用符号 来表示它 假如我们取一个只包含一个元 的子集 ,那么 是一个循环子群 例3 生成子群很复杂,给出一些简单的例子 8.4 子群的运算 两个子群的交仍然是子群 两个子群的并不一定是子群 群的子集的运算 容易证明: , , 设A,B是群G的两个非空子集,规定 等价条件的另外表达 定理1 一个群 的一个不空子集 作成 的一个 子群的充分而且必要条件是: () () 定理 一个群 的一个不空子集 作成 的一 个子群的充分而且必要条件是: () 定理3 一个群 的一个不空有限子集 作成 的 一个子群的充分而且必要条件是: 证明: 仅证明定理1 设H是G的子群, 那么 , (?) 另一方面, , 所以 , 注意: ,所以 . 反过来, 构成 的一个子群. 子群的乘积 例4 两个子群的乘积一般不是子群.S3 中,H=(1),(12) N =(1),(13), HN =(1),(13),(12),(132)不是子群 定理4 设H,K是G的两个子群,那么 HK是子群 HK=KH 证明: 如果HK是子群, 那么 (HK)-1=HK, 同时, (HK)-1=K-1H-1=KH, 所以 HK=KH 反过来, 如果HK=KH
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