压轴题思维导图干货版.pdf

1 压轴题压轴题思维思维导图导图总结（干货）总结（干货） 压轴题，山人自有妙计压轴题，山人自有妙计 先给大家推荐几本书目： 数学那玩意4.7 星，适合学完导数与解析几何的时候看，一 位数学牛人（学生）主编的，以学生的口吻解题，幽默风趣，其中包含了二次曲线系、过原二次曲线系、过原 点的两条直线点的两条直线、积分放缩（一部分）、积分放缩（一部分） ； 神奇的圆锥曲线与解题秘诀4.4 星，适合学完解 析几何的时候看，总结了许多有用的二级结论； 更高更妙的高中数学思想方法与指导 3.8 星， 个人认为虽然题目比较难， 但是方法归纳比较散， 不系统， 看了收获不是很大； 五 三 和天利 38 套适合刷题，不做评价。 另外，将自己高中收集的个人认为蛮有用的资料、压轴题ppt（带高三家教的时候整理 的，学生反映不错）都发给陆老师了。 先来说说三大“杀手锏”： 解析几何的二次二次曲线系曲线系、 导数的分析通项分析通项 （与n 有关的不等式， 求和、求积型）和洛必达法则洛必达法则（分离变量后不可求值型） 。此外，对于高考水平的求和类不 等式形如aka）处取得，一般不用洛必达法则，直接代入 b 即可。 若 f(x)min 在 x=a 处取得，但 x (,+)，并且产生0 0型极限，这时候就利用洛必 达法则，如果求一次导还是0 0型，那就再求一次导直到求出极限为止。 二次曲线系解题步骤：二次曲线系解题步骤： 1、 找出 4 个交点（3 个点的情况一般切线隐藏） ，它们为 2 个二次曲线的交点。 2、 找出第 3 个过这 4 个交点的二次曲线，构造等式。 2 3、 对比等式两边的系数，求出未知数。 说明：对比系数时，要尝试选出有用的等式，不要将式子展开，那样会很麻烦，只需单 独对比某个项的系数即可。另外，两个直线方程相乘=一个退化的二次曲线。 下面不妨以思维导图来总结压轴题的题型和解题套路。 （1 1）解析几何）解析几何 一、知识储备一、知识储备 直线直线 直线方程形式 点斜式 两点式 斜截式 截距式 一般式 与直线有关重要内容 倾斜角与斜率 点到直线距离 夹角公式 弦长公式 两条直线位置关系 圆锥曲线圆锥曲线 圆锥曲线的方程形式 标准式 距离式 参数式 极坐标式 与圆锥曲线有关的二级结论 1、焦半径公式 2、焦点三角形面积公式 3、过圆锥曲线上某点的切线方程 4、极线定理 5、弦与中线斜率积为定值 6、细看中点弦方程，恰似中点弦轨迹 7、抛物线性质 端点投影在准线， 连接焦点垂直线 焦弦切线成直角 切线平分焦弦的倾角 直角梯形对角线为原点 两臂乘积是定值 3 二、二、方法储备方法储备 、点差法、点差法(中点弦题型，联系了弦斜率与弦中点坐标的关系) 求弦中点的轨迹方程 求圆锥曲线方程 求直线斜率 确定参数范围 证明定值问题 处理存在性问题 2、设而不求法设而不求法(PQ = QM 题型，Q 为定点，P、M 为圆锥曲线两动点) 定值问题 定点问题 定直线问题 取值范围问题 3、巧设直线巧设直线 = + 当直线过 x轴上的某个定点 I.端点向量相等 II.斜率不为0，但可能不存在 当圆锥曲线是抛物线y2= 2px 4、极坐标极坐标极点在焦点(焦点弦题型，焦点弦的 6个性质) 极点在坐标原点(过原点的两条垂直直线题型) 5、过原点的两条直线过原点的两条直线(设斜率为k1、k2)，若与k1 +k2 k1k2 有关，将方程转化为 k 的二次方程。 、数形结合，常见的模型及目标函数数形结合，常见的模型及目标函数 斜率，如y b x a 距离，如(xa)2+(y b)2 截距，如 ax+by 点到直线距离，如|ax+ by+c| 、参数方程（求弦长、距离、最值）、参数方程（求弦长、距离、最值） 椭圆：x= acos，y= sin， 表示离心角 双曲线:x = asec，y = tan， 表示离心角 抛物线:x = 2pt2，y= 2pt 直线：x= x0+ tcos，y= y0+ tsin t 表示到定点(x0，y0)的方向距离 (x 0，y0)上方，t 0；(x0，y0)下方，t c2) 与椭圆x 2 a2 + y2 b2 = 1 有相同离心率的椭圆系为x 2 a2 + y2 b2 = ( 0) 双曲线系双曲线系 与双曲线x 2 a2 y2 b2 = 1 共焦点的双曲线系方程为x 2 y2 c2 = 1(0 0)。 等轴双曲线系为：22= ( 0) 两条直线两条直线(退化的二次曲线退化的二次曲线) 定义： 设直线l1和l2为 Ax+By +C = 0(A = A1、A2，B= B1、B2)， 则(A1x+B1y +C1 )(A 2x+B2y+ C2)= 0 表示两条直线l1、l2， 即退化的二次曲线l1l2。 用法：可同时表示双直线l1和l2所有的点。 注：注：二次曲线系二次曲线系一般形式为2+2+ + + = 0(a和 b 不同时为 0)。它可表 示 圆，当且仅当 xy 的系数为 0、a= b,半径 r 0。 椭圆、双曲线、抛物线。 两条直线，当且仅当可以分解为(A1x+B1y+C1 )(A 2x+B2y +C2) = 0。 一条直线，即可以分解为(Ax+By +C)2= 0。 一个点，当且仅当可以分解为 a(xx0)2+b(y y0)2= 0。 5 二、方法储备：二、方法储备：9、二次曲线系的应用、二次曲线系的应用 结论结论：若两二次曲线 f(x,y)= 0 和 g(x,y) =0 的交点是P(a,b),则过交点 P(a,b)的 第三个二次曲线方程为f(x,y)+g(x,y)= 0。 推论推论 1、若圆锥曲线f(x,y) = 0 和 g(x,y) = 0 有四个交点， 则过两曲线的交点的第三个曲线方程为f(x,y)+ g(x,y) = 0。 2、若直线l1、l2与圆锥曲线 f(x,y)= 0 有四个不同交点，则过这四个交点的 第三个二次曲线方程为(A1x+ B1y+C1 )(A 2x+ B2y+C2)+f(x,y) = 0。 3、若四直线l1、l2、l3、l4与圆锥曲线 f(x,y)= 0 有四个不同交点， 则过这四个交点的第三个二次曲线方程为 (A 1x+B1y +C1 )(A 2x+B2y+C2)+ (A3x+B3y+C3 )(A 4x +B4y+C4) = f(x,y)。 4、Pi(i =1,2,3)不共线三点，直线PiPi+1(i = 1,2,3,P4= P1)的方程为 li(x,y) = (Aix+ Biy+Ci) = 0,则过这三点的曲系线方程为 l1(x,y)l2(x,y)+l2(x,y)l3(x,y)+ l3(x,y)l1(x,y)= 0。 二次曲线系解题的三大图景二次曲线系解题的三大图景 图景 1：两条直线与圆锥曲线的四个交点 图景 2：四条直线与圆锥曲线的四个交点 图景 3：三条直线与圆锥曲线的三个交点(第四条线即切线隐藏) 6 （2 2） 、导数） 、导数 一、导数不等式（与一、导数不等式（与 n n 有关型）有关型） 方法储备 分析通项分析通项 乘积型 a 恒成立，则有f(x)min a。 2、x D,均有 f(x) g(x)恒成立，则有f(x)g(x)min a。 4、x D,均有 f(x) g(x2)恒成立，则有f(x)min g(x)max。 6、x1 D,x2 E,均有 f(x1) a 成立，则有f(x)max a。 2、x0 D,使得 f(x0) g(x0)成立，则有f(x)g(x)max a。 4、x0 D,使得f(x0) g(x2)成立，则有f(x)max g(x)min。 6、x1 D,x2 E,使得 f(x1) g(x2)成立，则有f(x)min g(x)min。 x1，x2，使得 f(x1) g(x2)成立，则有f(x)max g(x)max。 注注： 恒成立)()(不一定推出 图像上方)(图像恒在函数)(函数 恒成立)()(，有对于.2 恒成立)()(有,对 恒成立)()(有,对于.1 ”型的差异：)()(”型与“)()(小结：辨析“ maxmin maxmin 2121 21 xgxf xgxf xgxfDx xgxfDx xgxfDxx xgxfxgxf 9 三、导数的零点问题三、导数的零点问题 定理储备定理储备 1、零点定理 2、介值定理 变号零点 不变号零点 3、二分法 方法储备方法储备 四种方法 一、数形结合：一般针对小题的超越函数零点不可求问题 二、单调性法 I.函数在所研究区间单调时， 直接利用单调性和零点存在定理。 II.函数在所研究区间不单调时，借助某些特点 将此区间划分为几个单调区间，再结合最值， 零点存在定理间接判断零点。 三、借助一元二次方程根的分布的思想解决函数零点存在问题。 四、放缩法：主要将复杂函数放缩成简单函数解决零点问题 超越函数的基本不等式 I. x x+1 ln(x+1) x，x (1,+) II.ex x+1，x R III.sinx x tanx，x 0, 2) 两种策