概率统计试卷A卷及答案.pdfVIP

一、单项选择题（每小题一、单项选择题（每小题 3 分，满分分，满分 24 分）分） 1、设随机变量X的概率密度为 1 |, 22 ( )4 0, xx f x 其它 , 则11XP()。 (A) 0.75,(B) 0.5 ,(C) 0.25,(D) 0。 2、已知随机变量X的分布函数为xbaxFarctan)(,x, 若实数c满足 1 6 P Xc，则c（） 。 （A） 3 3 ； （B）3； （C）1；（D） 3 。 3、设随机变量),( 2 NX,则 4 (| )EX（） 。 (A) 4 3 ；(B) 4 4； (C) 4 5； (D) 4 6 。 4、设BA,为任意两事件,则下列关系成立的是(). (A)ABBA)(；(B)()ABABA; (C)ABBA)(;(D)()()ABABBAAB。 5、一盒内装有 5 个红球和 15 个白球,从中不放回取 10 次,每次取一个球, 则第 5 次取球时得到的是红球的概率是（） 。 （A） 1 5 ；（B） 1 4 ；（C） 1 3 ； （D） 1 2 。 6、设每次试验成功的概率为p) 10(p,则在 5 次重复试验中至少失败 一次的概率为（） 。 (A) 5 1p,(B) 4(1 )pp, (C) 5 (1)p,(D) 14 5 (1)C pp。 7、设二维随机变量 22 1 (, ) (1,2 ;2,3 ;) 2 X YN,则) 12(YXD()。 (A) 13,(B) 14,(C) 19 ,(D) 37. 8、甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次,其命中率分别为 0.6 和 0.5, 现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为（） 。 (A)0.6,(B) 11 6 ,(C)0.75 ,(D) 11 5 。 A6-1 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，满分分，满分 24 分）分） 1、设总体X的概率密度为 x xe xf x , 0 , ),( )( , 又 n xxx, 21 为来自于总体X的样本值,则参数的极大似然估计 。 2、设BA,为随机事件,85. 0)|(, 8 . 0)(, 6 . 0)(ABPBPAP,则)|(BAP。 3、三门火炮同时炮击一敌舰(每炮发射一弹).设击中敌舰一、二、三发炮弹的概率分别 为 0.5、0.3、0.2,而敌舰中弹一、二、三发时被击沉的概率分别为 0.3、0.6、0.8。 则敌舰被击沉的概率为。 4、设 n XXX, 21 是来自正态总体) 1 , 0(N的一个样本,nm 1, 则统计量 22 11 1 () mn kk kk m YXX m 服从的分布为。 5、设 12 , n XXX是来自总体X的样本，且 2 ,EXDX，记 1 1 1 n k k AXX n ， 2 2 1 1 () n k k BXX n ，若 22 12 AcB是 2 的无偏估计量， 则常数c 。 6、有 5 个独立的电子装置,它们的寿命5 , 4 , 3 , 2 , 1kXk服从同一指数分布, 其分布函数为 1,0 0,0 x ex F x x ， 将这 5 个电子装置串联组成整机, 则整机寿命),min( 521 XXXY 的概率密度( ) Y fy 。 7、设 n XXX, 21 是来自正态总体),( 2 N的样本，其中未知， 2 已知。 欲使的置信水平为1的置信区间的长度不超过给定L(0L)， 则样本容量n至少需取。其中01，()z。 8、设 129 ,XXX是来自总体),( 2 NX的简单随机样本, 6 1 1 1 6 k k YX , 9 2 7 1 3 k k YX , 9 22 2 7 1 () 2 k k SXY , S YY Z )(2 21 , 则统计量Z服从的分布为。 A6-2 三、 （满分 16 分）三、 （满分 16 分）设二维随机变量(, )X Y的概率密度为 22 3 2 1 ( , )(1 sinsin ) 2 xy f x yexy , x y , （1）求(, )X Y关于X的边沿概率密度( ) X fx； （2）求(, )X Y关于Y的边沿概率密度( ) Y fy； （3）X与Y是否相互独立？ (4)利用本题结果可以用于说明概率论中一个什么样的问题？ A6-3 四、 （满分 16 分）四、 （满分 16 分）设随机变量YX,的二阶矩 22 (),()E XE Y存在， 证明：成立不等式 11 22 22 |()| () ()E XYE XE Y。 （要求用最直接的方法给予证明，并注意分别讨论 2 0EX 和 2 0EX 的情形。 ） A6-4 五、五、 （满分 8 分） （此题学过 1-9 章和 11-13 章的学生做，仅学过 1 至 9 章的学生不做此题学过 1-9 章和 11-13 章的学生做，仅学过 1 至 9 章的学生不做） 设随机过程)sin()(tatX,其中a和是非零常数,是在)2 , 0(上服从均匀 分布的随机变量。 试求：(1)写出的概率密度( )f；（2）求)(tXE; (3)求)()(tXtXE；(4)判断)(tX是否为平稳过程？ (备用公式:)cos()cos( 2 1 sinsin) 五、五、 （满分 8 分） （此题仅学过 1 至 9 章的学生做；学过 1 至 9 章和 11-13 章的学生不做此题仅学过 1 至 9 章的学生做；学过 1 至 9 章和 11-13 章的学生不做） 设某昆虫产k个卵的概率为 ! k e k ,(0为常数), ,2, 1 ,0k. 每个卵能孵化成幼虫的概率为) 10( pp,且各个卵能否孵化成幼虫是相互独立的。 试求： （1）该昆虫没有后代的概率；（2）该昆虫有后代的概率。 A6-5 六、六、 （满分 12 分）（此题学过 1 至 9 章和 11-13 章的学生作，仅学过 1 至 9 章的学生不做此题学过 1 至 9 章和 11-13 章的学生作，仅学过 1 至 9 章的学生不做） 传输数字 0 和 1 的通讯系统,每个数字的传输需经过若干步骤, 设每步传输正确的概率为 0.95,传输错误的概率为 0.05.以 n X表示第n步传输出的数字, 则, 2 , 1 , 0, nXn是一齐次马尔可夫链; 试求： （1）写出状态空间S和一步转移概率矩阵P; （2）求两步转移概率矩阵 )2( P; (3) 求0|0, 1 21 nnn XXXP。 六、六、 （满分 12 分）（此题仅学过 1 至 9 章的学生做，学过 1-9 章和 11-13 章的学生不作此题仅学过 1 至 9 章的学生做，学过 1-9 章和 11-13 章的学生不作） 设某种零件尺寸( ,1.21)XN, 今从此种一批零件中随机取 9 件,测得样本均值31.4x ， 当检验水平05. 0时，能否认为此批零件尺寸的均值为32.5？ （96. 1 025. 01 z，645. 1 05. 01 z， 1 0.025(8) 2.306t ， 1 0.05(8) 1.8595t ， xXP） A6-6 答案及评分细则 A 卷一、一、单项选择题（每小题 3 分，满分 24 分）单项选择题（每小题 3 分，满分 24 分） 1、C；2、B；3、A；4、D；5、B；6、A；7、D；8、C。 二、填空题（每小题 3 分，满分 24 分）二、填空题（每小题 3 分，满分 24 分） 1、 12 min , n x xx，2、7 . 0)|(BAP； 3、0.49;4、 222 11 1 ()(1) mn kk kk m YXXnm m ； 5、 1 1n ；6、 5 5,0 ( )( ) 0,0 y YY ey fyFy y ； 7、 2 2 2 2 11 22 24 zz LL ；8、 (2)t。 三、 （满分 16 分） 解（1）解（1） dyyxfxfX),()( 22 3 2 1 (1 sinsin ) 2 xy exy dy 222 3 222 1 (sinsin ) 2 xyy eex ey dy 22 22 1 0 2 xy eedy 22 22 11 2 22 xx ee ，x ；4 分 （2）( )( , ) Y fyf x y dx 22 3 2 1 (1 sinsin ) 2 xy exy dx A6-7 222 3 222 1 (sinsin ) 2 yxx eex ey dx 22 22 1 0 2 yx eedx 2 2 1 2 y e ，y ；8 分 （3）因为（3）因为( , )( )( ) XY f x yfx fy，所以X与Y是不相互独立12 分 （4）本题提供了例子，仅有X与Y的分布，不能确定(, )X Y的分布， 或由X与Y都服从一维正态分布，不能推出(, )X Y服从二维正态分布。16 四、 （满分 16 分）四、 （满分 16 分） 证明 对任意实数t,恒有 2222 ()20E YtXt EXtEXYEY,4 分 当 2 0EX 时，取 2 EXY t EX ，代入上式，8 分 则有 2 2 2 () 0 EXY EY EX ； 222 () EXYEXEY, 即得 11 22 22 | E XYEXEY；12 分 （或直接由判别式 2 40bac ，得 222 (2)4 0EXYEXEY， A6-8 即得 222 () EXYEXEY, 于是 11 22 22 | E XYEXEY。 ） 当 2 0EX 时，对任意实数t, 2222 ()2E YtXt EXtEXYEY 2 2tEXYEY 恒有 2 20tEXYEY， 必有0EXY ，自然成立 11 22 22 | E XYEXEY14 分 综合以上情形， 于是有 11 22 22 | E XYEXEY，16 分 五、五、（满分 8 分）（此题学过 1 至 9 章和 11-13 章的学生作，仅学过 1 至 9 章的学生不做此题学过 1 至 9 章和 11-13 章的学生作，仅学过 1 至 9 章的学生不做） 解 （1）的概率密度 其它, 0 20 , 2 1 )( f ，2 分 (2)(tXE dftataE)()sin()sin( 0 2 1 )sin( 2 0 dta，4 分 (3)()(tXtXE)(sin()sin(tataE dftata)()(sin()sin( dta 2 1 )2)2(cos(cos 2 1 2 0 2 cos 2 2 a ， 6 分 (4)( 2 tXE 2 2 a ， A6-9 因为0)(tEX是常数， 2 ( )()cos 2 a E X t X t仅依赖于， )( 2 tXE存在，所以)(tX是平稳过程8 分 六、六、（满分 12 分） （此题学过 1 至 9 章和 11-13 章的学生作，仅学过 1 至 9 章的学生不做此题学过 1 至 9 章和 11-13 章的学生作，仅学过 1 至 9 章的学生不做） 解(1)状态空间S=0,1,2 分 一步转移概率矩阵 05. 0 95. 0 P 95. 0 05. 0 , 4 分 (2)两步转移概率矩阵 05. 0 95. 0 2)2( PP 95. 0 05. 0 05. 0 95. 0 95. 0 05. 0 095. 0 905. 0 905. 0 095. 0 ;8 分 (3)0|0, 1 21 nnn XXXP 0, 1|00|1 121 nnnnn XXXPXXP 1|00|1 121 nnnn XXPXXP 0025. 005. 005. 0 1001 pp. 12 分 五、五、 （满分 8 分） （此题仅学过 1 至 9 章学生做，学过 1-9 章和 11-13 章学生不做此题仅学过 1 至 9 章学生做，学过 1-9 章和 11-13 章学生不做） 解设A该昆虫有后代, k B 该昆虫产k个卵, ,2, 1 ,0k, 易知,事件组 , 210n BBBB是一完备事件组, ! )( k e BP k k , ,2, 1 ,0k, A该昆虫没有后代每个卵都没孵化成幼虫, k k pBAP)1 ()|(, ,2, 1 ,0k,4 分 由全概率公式得 （1） )|()()( 0 k k k BAPBPAP k k k p k e )1 ( ! 0 0 ! )1 ( k k k p e A6-10 pp eee )1( ,6 分 （2）从而 p e