《概率论与数理统计》A,B卷含答案.pdf

中南财经政法大学中南财经政法大学 20112012 学年第二学期学年第二学期 期末考试试卷期末考试试卷 A 得分 评阅人 一一、填空题填空题： （： （共共 8 题题，每题每题 2 分分，总分总分 16 分分） 1. 10 个人任意站成一排，则甲乙两人恰好站在一起的概率为 。 2设 A、B、C 是三个随机事件，A、C 互不相容，()0.3P AB ，( )0.4P C ， 则()P AB C 。 3. 设随机变量(, )(1,2,1,4,0.5)X YN，则(2)DXY 。 4. 设随机变量X服从指数分布，且10EX ，则(10)P X = 。 5. 设随机变量X服从参数为的泊松分布，且(1)(4)0EXX，则 。 6. 设总体 2 ,XN ， 2 已知， 12 , n XXX是取自总体 X 的样本，在置 信水平1下，未知参数的置信区间的长度为 。 7. 设随机变量(, )X Y的联合概率分布为 X Y 0 1 0 0.1 0.2 1 0.3 0.4 则cov(, )X Y 。 8. 设随机变量 1 0,6 , (12, ) 4 XUYB，且,X Y相互独立，试用切比雪夫不 等式估计概率(33)P XYX 。 得分 评阅人 二二、选择题选择题： （： （共共 5 题题，每题每题 2 分分，总总 10 分分） 1设 A、B 是两个随机事件，则()()ABAB表示（ ） 。 A 必然事件 B. 不可能事件 C. A 与 B 恰有一个发生 D. A 与 B 不同时发生 2设0( )1,0( )1P AP B，且 A 与 B 相互独立，则有 ( )。 A A 与 B 互不相容 B. A与B互不相容 C. AB D. A与B互不相容 3 若(0,1),(1,1)XNYN, 且 X, Y 相互独立, 则 ( ). 1 A. 1 (0) 2 P XY B. 1 (1) 2 P XY C. 1 (0) 2 P XY D. 1 (1) 2 P XY 4 设 123 ,XXX 是来自总体 2 (0,)(0)N的简单随机样本， 则统计量 1 23 2X XX 的 分布是( )。 A . (0,1)N B. (1)t C . 2(1) D. (1,1)F 5设连续型随机变量 X 的密度函数( )f x是偶函数，其分布函数为( )F x，则 ( )。 A . ( )F x是偶函数 B. ( )F x是奇函数 C . ()2 ( ) 1FxF x D . 0 1 ()( ) 2 x Fxf t dt 得分 评阅人 三三、判断说明题判断说明题： （： （共共 4 题题，每题每题 5 分分，总分总分 20 分分） 1若随机变量X与Y不独立, 则X与Y的相关系数0 XY 。 2. 设0( )1P B，若()()P A BP A B，则事件A与B独立。 3. 设 123 ,XXX 是来自正态总体( ,1)N的一个样本，则在的下列两个无偏估计 量 1123 122 555 XXX， 212 11 22 XX中， 2 比 1 更有效。 4. 设随机变量 X 的密度函数( )f x是连续函数， 其分布函数为( )F x， 则2 ( ) ( )f x F x 是一个概率密度函数。 得分 评阅人 四四、计算题计算题(共共 6 题题，每题每题 8 分分，总分总分 48 分分) 1. 已知一批产品中有 95%是合格品，检查产品质量时，一个合格品被误认为是 次品的概率为 0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为 0.03，求一个经检验是 合格品的产品确实是合格品的概率。 2. 设随机变量X的概率密度为 1 , 10, 2 1 ( ), 02, 4 0, X x fxx 其他. ，令 2 XY ，求Y的概率密 度函数( ) Y fy 。 2 3设二元随机变量(, )X Y具有下列联合密度函数 1 3 2 ,1,1 ( , ) 0, y e xy f x y x 其他 ， （1）求(, )X Y 关于X和Y的边缘密度函数( ) X fx 和( ) Y fy ； （2）问X与Y是否 独立？ 4. 一袋中装有 1 个红球，2 个黑球，3 个白球，现有放回地从袋中取两次球， 每次取 1 球。用 X，Y，Z 分别表示两次取球中的红，黑，白球的个数。 （1）求10P XZ； （2）求,X Y的联合分布律。 5设总体X的概率密度为 2 3 3 ,0, ( ) 0, x x f x 其他. ， 12 , n XXX为取自总体X 的一个样本，求未知参数的矩估计量 和极大似然估计量 L 。 6. 设随机变量 X 和 Y 相互独立，均服从(0,1)区间上的均匀分布，求 max,EX Y。 得分 评阅人 五五、证明证明题题(6 分分) 设,X Y是两个随机变量， 12 ,ZaXb ZcYd （其中, , ,a b c d为常数，0ac ） ， 试证明： 12 Z ZXY 。 概率论与数理统计概率论与数理统计A 卷标准答案及评分标准卷标准答案及评分标准 一一、填空题填空题： （： （共共 8 题题，每题每题 2 分分，总分总分 16 分分） 1， 1 5 ； 2，0.5； 3，4； 4， 1 e； 5，2；6， 2 2 u n ； 7，0.02； 8， 5 12 。 二二、选择题选择题： （： （共共 5 题题，每题每题 2 分分，总总 10 分分） 1.B；2.A；3.B；4.B；5.C 三三、判断说明题判断说明题： （： （共共 4 题题，每题每题 5 分分，总分总分 20 分分；判断判断 2 分分，理由理由 3 分分） 1，正确正确。因为ABA，则0()( )0P ABP A，于是()0P AB 。 2，正确正确。因为()D XYDXDYcov(, )0X Y ()E XYEX EY。 3，正确正确。因为 2 (2)1 2 P X ， 3 且 4 (4)1111 4 P Y ， 所以，(2)(4)P XP Y。 4，错误错误。因为 2 222 1 E XD XE X n 。 四四、计算题计算题： （： （共共 6 题题，每题每题 8 分分，总分总分 48 分分） 1解：设事件A 挑选的一人是男性， B 不是色盲患者, 则 ( )0.5P A ，( )0.5,P A ()0.95,P B A ()0.9975,P B A 由贝叶斯公式 ( ) () () ( ) ()( ) () P A P B A P A B P A P B AP A P B A 0.5 0.950.95 0.4878 0.5 0.950.5 0.99751.9475 2解 先求随机变量 Y 的分布函数( ) Y Fy 当0y 时， 2 ( )()()0 Y FyP YyP Xy 当01y时， 2 ( )()() Y FyP XyPyXy 0 0 113 244 y y dxdxy 当14y时， 2 ( )()() Y FyP XyPyXy 0 10 1111 2424 y dxdxy 当4y 时，( )1 Y Fy ，于是，Y 的分布函数为 0, 0, 3 , 01, 4 ( ) 11 ,14, 24 1, 4 Y y yy Fy yy y 则 Y 的密度函数为 ( )( ) YY fyFy 3 , 01, 8 1 , 14, 8 0, y y y y 其他. 4 3解 （1）( )( , ) X fxf x y dy 12 2(1),01, 0,. x dyxx 其他 ( )( , ) Y fyf x y dx 0 22 ,01, 0,. y dxyy 其他 （2）由于存在面积不为零的区域，使得( , )( )( ) XY f x yfx fy，所以X与Y不独立。 4解 （1）10P XZ 2 1 22 14 39 （2）,X Y的所有可能取值为 0,0 , 0,1 , 0,2 , 1,0 , 1,1 , 2,0， 2 2 31 0,0 64 P XY， 2 2 33 21 0,1 63 P XY ， 2 2 21 0,2 69 P XY ， 2 1 33 11 1,0 66 P XY ， 2 1 22 11 1,1 69 P XY ， 2 2 11 2,0 636 P XY 即,X Y的联合概率分布为 Y X 0 1 2 0 1 4 1 3 1 9 1 1 6 1 9 0 2 1 36 0 0 5. 解（1） 1 1 ( ) 1 EXxf x dxxdx x ，则 1 EX EX ， 由矩估计法，用样本矩X代替总体矩EX得的矩估计量为 1 X X （2）似然函数为 1 11 ( )( ),(1,1,2, ) nn ii ii i Lf xxin x 1 1 1 1 ,(1,1,2, ) nn i n n i ii i xin x x ， 对数似然函数为ln ( )L 1 ln(1)ln,(1,1,2, ) n ii i nxxin 5 令 ln ( )dL d 1 ln0 n i i n x 得 1 ln n i i n x ， 且 2 2 ln ( )dL d 2 0 n ， 因此ln ( )L 在 1 ln n i i n x 处取得最大值。于是，参数的极大似然估计值为 1 ln L n i i n x ，的 极大似然估计量为 1 ln L n i i n X 6. 解法 1 随机变量 X 和 Y 的密度函数分别为 1 ,0, ( ) 0,. X x fx 其他 ， 1 ,0, ( ) 0,. Y y fy 其他 ， 因为 X，Y 相互独立，所以,X Y的联合密度函数为 2 1 ,0,0, ( , ) 0,. xy f x y 其他 max(, )max( , ) ( , )EX Yx y f x y dxdy 22 0000 112 ()() 3 yx ydx dyxdy dx 解法 2 令max(, )ZX Y，则( )2( )( ) ZXX fzFz fz 2 2 ,0, 0, z z 其他. 所以， 2 22 0 222 max(, ) 3 z EX YEZzdzz dz 五五、证明题证明题： （： （6 分分） 证 因为随机变量,X Y独立同分布，所以 12 cov,cov,Z ZaXbY aXbY 22222 a DXb DYab 22222 1 ()()D ZD aXbYa DXb DYab， 22222 2 ()()D ZD aXbYa DXb DYab 6 于是， 1 Z与 2 Z的相关系数为 12 12 12 cov(,) Z Z Z Z DZDZ 222 22 22 222 ab ab abab 中南财经政法大学中南财经政法大学 20112012 学年第二学期学年第二学期 期末考期末考试试卷试试卷 B 得分 评阅人 一一、填空题填空题： （： （共共 8 题题，每题每题 2 分分，总分总分 16 分分） 1. 设 A、B、C 是三个随机事件，则事件“A、B、C 不都发生”可表示 为 。 2. 假定每人的生日在一年的各个月份的机会是相等的，一个宿舍中住有 6 位 同学，则这 6 人中恰有 4 人生日在同一月份的概率为 。 3设 A、B 是随机事件，( )0.8P A ， ()0.5P AB ，则()P AB 。 4. 若随机变量(, )(1,2,1,4,0.5)X YN，则(2)DXY 。 5. 设 随 机 变 量X的 分 布 函 数 为 0,0, 1 ( ),01, 2 1,1. x x F xx ex 则 1P X 。 6. 设随机变量(10,)XBp ，已知 2EX ，则DX 。 7. 设总体 2 ,XN ， 2 已知， 12 , n XXX是取自总体 X 的样本，在置 信水平1下，未知参数的置信区间的长度为 。 8. 设随机变量(, )X Y的联合概率分布为 X Y 0 1 0 0.1 0.2 1 0.3 0.4 则cov(, )X Y 。 得分 评阅人 二二、选择题选择题： （： （共共 5 题题，每题每题 2 分分，总总 10 分分） 1设 A、B、C 是任意事件，在下列各式中，不成立不成立的是（ ） A . ()ABBAB B. ()ABAB 7 C.()ABABABAB D. ()()()AB CACBC 2设(3, 4)XN，且常数c满足()()P XcP Xc。则常数c等于（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 1/3 3随机变量,X Y相互独立，且它们的分布函数分别为( ),( ) XY Fx Fy ，则 min(, )ZX Y的分布函数( ) Z Fz 为（ ） A. ()() XY Fx Fy B. 1 1( )1( ) XY FzF z C. 1( )( ) XY Fx Fy D. 1( )1( ) XY FxFy 4设 1234 ,XXXX 是来自总体 2 (1,)(0)N的简单随机样本，则统计量 12 34 2 XX XX 的分布是( ). A . (0,1)N B. (1)t C . 2(1) D. (1,1)F 5设二元随机向量( , )(0,1,0,1,0)X YN，( )x为标准正态分布函数，则下列结论 错误错误的是( ). A. X 与Y 都服从(0,1)N分布 B. X 与Y 相互独立 C. cov(, )1X Y D. （,X Y）的联合分布函数是( ) ( )xy 得分 评阅人 三三、判断说明题判断说明题： （： （共共 4 题题，每题每题 5 分分，总分总分 20 分分） 1设 A、B 是两个随机事件，若( )0P A ，则()0P AB 。 2. 若随机变量 X，Y 满足()D XYDXDY，则有()E XYEX EY。 3. ( ,4)XN，( ,16)YN， 则无论取何值， 都有(2)(4)P XP Y 4. 设 1, , n XX是来自总体( ,1)XN的样本， 1 1 n i i XX n ，则 2 X是参数 2 的 无偏估计量。 得分 评阅人 四四、计算题计算题(共共 6 题题，每题每题 8 分分，总分总分 48 分分) 1. 已知人群中5%的男性和0.25%的女性是色盲患者。假设男性和女性各占一 半，现随机地挑选一人，发现此人不是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 8 2. 设随机变量X的概率密度为 1 , 10, 2 1 ( ), 02, 4 0, X x fxx 其他. ，令 2 XY ，求Y的概率密度 函数( ) Y fy 。 3 设 二 元 随 机 变 量(, )X Y具 有 下 列 联 合 密 度 函 数 2,0, 01 ( , ) 0, xyy f x y 其他. 。 （1）求(, )X Y 关于X和Y的边缘密度函数 ( ) X fx 和( ) Y fy ； （2）问X与Y是否独立？ 4. 一袋中装有 1 个红球，2 个黑球，3 个白球，现有放回地从袋中取两次球， 每次取 1 球。用 X，Y，Z 分别表示两次取球中的红，黑，白球的个数。 （1）求10P XZ； （2）求,X Y的联合分布律。 5 设 12 , n XXX为 取 自 总 体X的 一 个 样 本 ，X的 密 度 函 数 为 1 ,1, ( )(1) 0,1 x f xx x , 。试求未知参数的矩估计量和极大似然估计量。. 6. 设随机变量 X 和 Y 相互独立，均服从(0, )区间上的均匀分布，求 max,EX Y。 得分 评阅人 五五、证明证明题题(6 分分) 设随机变量,X Y独立同分布， 2 DXDY， 12 ,ZaXbY ZaXbY（其 中, a b是不全为零的常数） ，试证明： 12 22 22 Z Z ab ab 。 概率论与数理统计概率论与数理统计B 卷标准答案及评分标准卷标准答案及评分标准 一一、填空题填空题： （： （共共 8 题题，每题每题 2 分分，总分总分 16 分分） 1，ABC或ABC； 2， 42 14 126 111 0.0073 1212 C C ； 3， 0.7； 4， 4； 5， 1 1 2 e； 6，1.6； 7， 2 2 u n ； 8，0.02。 二二、选择题选择题： （： （共共 5 题题，每题每题 2 分分，总总 10 分分） 9 1.C；2.C；3.B；4.B；5.D 三三、判断说明题判断说明题： （： （共共 4 题题，每题每题 5 分分，总分总分 20 分分；判断判断 2 分分，理由理由 3 分分） 1，错误错误。例如 2 (0,1),XNYX，则X与Y不独立, 但0 XY 。 2，正确正确。因为()()P A BP A B ()() ( )( ) P ABP AB P BP B ()( ) ( )P ABP A P B，则事件 A与B独立。 3，错误错误。因为 21 DD，所以 2 比 1 更有效。 4， 正确正确。 因为2 ( ) ( )0f x F x ， 且 2 2 ( ) ( )2 ( )( )( )1f x F x dxF x d F xFx 。 四四、计算题计算题： （： （共共 6 题题，每题每题 8 分分，总分总分 48 分分） 1解：设事件A 产品是合格品， B 产品经检验是合格品, 则 ( )0.95P A ，( )0.05,P A ()0.02,P B A ()0.98,P B A ()0.03,P B A 由贝叶斯公式 ( ) () () ( ) ()( ) () P A P B A P A B P A P B AP A P B A 0.95 0.98 0.9984 0.95 0.980.05 0.03 2解 先求随机变量 Y 的分布函数( ) Y Fy 当0y 时， 2 ( )()()0 Y FyP YyP Xy 当01y时， 2 ( )()() Y FyP XyPyXy 0 0 113 244 y y dxdxy 当14y时， 2 ( )()() Y FyP XyPyXy 0 10 1111 2424 y dxdxy 当4y 时，( )1 Y Fy ，于是，Y 的分布函数为 0, 0, 3 , 01, 4 ( ) 11 ,14, 24 1, 4 Y y yy Fy yy y 则 Y 的密度函数为 ( )( ) YY fyFy 3 , 01, 8 1 , 14, 8 0, y y y y 其他. 3解 （1）( )( , ) X fxf x y dy 1 33 1 22 ,1, 0,1. y e dyx xx x 10 ( )( , ) Y fyf x y dx 1 1 3 1 2 ,1, 0,1. y y e dxey x y （2）因为( , )( )( ) XY f x yfx fy，所以X与Y独立。 4解 （1）10P XZ 2 1 22 14 39 （2）,X Y的所有可能取值为 0,0 , 0,1 , 0,2 , 1,0 , 1,1 , 2,0， 2 2 31 0,0 64 P XY， 2 2 33 21 0,1 63 P XY ， 2 2 21 0,2 69 P XY ， 2 1 33 11 1,0 66